金属材料成形工艺及控制课件：轧制理论与工艺 (2)-

金属塑性成形工艺及控制金属轧制理论及工艺【教学目标】通过本章的学习：1）应了解和掌握轧制基本理论知识；2）掌握轧制生产的基本知识；3）熟悉各类轧材的生产工艺过程及相应的技术装备；4）了解当前国内外轧制生产的新技术及新成就。

轧制的概念轧制是靠两旋转轧辊与轧件之间的摩擦力将轧件拉入辊缝，轧件受到压缩产生塑性变形的过程，通过轧制使轧件的横断面积减小而长度增大，并具有一定的性能。应用：利用轧制方法可以生产型材、板材和管材等。优点：轧制是金属发生连续塑性变形的过程，易于实现批量生产，因此生产效率高，是塑性加工中应用最广泛的方法。轧制产品占所有塑性加工产品的90％以上，钢铁、有色金属、某些稀有金属及其合金均可以采用轧制方法进行加工。由此可见，轧制在冶金工业及国民经济生产中占有十分重要的地位。（成型原理介绍过）轧制技术发展概况近年来，轧制技术发展迅速，薄板坯连铸造轧技术、近终形薄带铸轧技术、高精度板带、钢管及型线材轧制技术、无头轧制及自由规程轧制等现代轧制技术日新月异，尤其是自动化控制技术、智能控制技术和现代工程控制管理技术的应用，轧制已成为复杂的系统工程。本章主要介绍轧制过程的基本理论及常用轧材的生产工艺与生产装备，并对相关新技术的应用进行了介绍。9.1轧制基本理论9.1.1轧制过程基本概念1.变形区主要参数轧制时金属在轧辊间产生塑性变形的区域称为轧制变形区，即从轧件入辊的垂直平面到轧件出辊的垂直平面所围成的区域ABCD（如图9.1所示），通常称为几何变形区。实际上，在出、入口端面附近（几何变形区之外）局部区域内，轧件也有少许塑性变形存在，这两个区域称为非接触变形区。非接触变形区以外的区域，称为？外端、刚端、外区图9.1几何变形区示意图

外端的概念

外端：是指变形过程中某瞬间不直接承受轧辊作用而处于塑性变形区以外的部分。外端又称外区或刚端。即下图（a）中，ABCD变形区（几何变形区）以外的区域。由于不变形的外端与变形区直接相连接，所以在变形过程中它们之间要发生相互作用。金属的变形、应力及速度分布都受外端的影响；反之它们又影响外端，这种相互作用还波及到一定区域。

在变形不均匀的情况下：

1）变形区可能扩展到几何变形区之外；

2）而外端也可能伸展到几何变形区的内部。

理想变形区与实际变形区

1.变形区主要参数轧件的原始高度、宽度、长度、横断面积分别为H、B、LH、FH，轧件的轧后高度、宽度、长度、横断面积分别为h、b、Lh、Fh，则轧件的绝对压下量为△h=H-h，相对压下量为ε=△h/H，绝对宽展△B=b-B，相对宽展为为△B/B，延伸系数λ=Lh/LH=FH/Fh。轧制时金属在轧辊间产生塑性变形的区域称为轧制变形区，通常指从轧件入辊的垂直平面到轧件出辊的垂直平面所围成的区域ABCD（如图9.1所示），称为几何变形区。实际上，在出、入口端面附近，即几何变形区之外的局部区域内，轧件也有少许塑性变形存在，这两个区域称为非接触变形区。一般地轧制过程主要以几何变形区为研究对象。几何变形区的主要参数有：接触角α；变形区长度l；轧件在入口和出口处的厚度（H和h）及宽度（B和b）；变形区形状参数l/和B/，其中：＝(H+h)/2。1)接触角α轧件与轧辊相接触的圆弧所对应的圆心角称为接触角，也叫咬入角。由图9.1看出，压下量与轧辊直径及接触角之间存在如下的关系：

在接触角比较小的情况下（α<10°～15°），由于1－cosα＝2sin2≈，所以有：

2)变形区长度变形区长度是指接触弧AB的水平投影长度，也叫咬入弧长度，即图9.1中的线段AE。变形区长度的计算分以下二种情况：(1)不考虑轧辊弹性压扁时变形区长度。从图9.1中的几何关系可以得到：

由于公式(9-3)中根号里的第二项较第一项小得多，可忽略不计，则变形区长度公式可简化为：

(2)考虑轧辊弹性压扁时变形区长度。在轧制压力作用下，轧辊会产生局部的弹性压缩变形，称为轧辊的弹性压扁，其结果使接触弧长度增加。轧件在变形区内，也伴随产生弹性压缩变形，虽然该变形在轧件出辊后即恢复，但也增大了接触弧长度。尤其在热轧薄板和冷轧板时，必须考虑轧辊和轧件的弹性压缩变形对接触弧长度的影响。轧辊弹性压扁时变形区长度可由西齐柯克公式计算：式中，E1—轧辊的弹性模数，对于钢轧辊E=2.1×105MPa；

γ1—波松系数，对于钢轧辊γ=0.3；

—考虑轧辊压扁时的平均单位压力，MPa。实际利用公式(9-5)计算l′比较困难，因为公式中还含有未知量。利用斯通图解法求l′则比较方便，详细见9.1.3节的内容。3)变形区几何形状系数变形区几何形状系数有l/和B/两个，其中l/反映了对轧制过程纵向的影响，B/反映了对轧制过程横向的影响。

轧辊和轧件弹性变形对变形区长度的影响图B1：最理想的位置B2：轧件有弹性恢复，轧辊刚性B3：轧件有弹性恢复，轧辊有压扁轧制位置：B2

（课下了解内容）

对于冷轧板带材和热轧薄板，尤其用粗轧辊轧制硬而薄的合金，因单位压力较大，有时候接触弧长可增加30%~50%，这种情况下，轧辊的弹性压扁更不能忽略。轧辊和轧件的弹性压缩对变形区长度的影响，如上图所示。图中△2代表轧件局部的弹性压缩值，△1为轧辊的弹性压缩值。考虑轧辊和轧件的弹性压缩值后，为得到所需要的轧件尺寸和压下量，必须使轧辊多压下△1

+△2的距离，即通过调整压下使轧辊中心由Ｏ′移到Ｏ点的位置。此时，金属与轧辊的接触弧是，其水平投影长度为变形区长度ι′。调整后未压扁或空载时假想的接触弧是，为忽略轧辊和轧件弹性变形的接触弧，其水平投影是变形区长度ι。

3．变形区几何形状系数

变形区形状系数和可用下式表示：

式中：B—轧件宽度（不计宽展）；

—轧件平均厚度。

变形区形状系数对轧制时轧件的应力状态有影响。因此，此参数在研究轧制时的金属流动、变形及应力分布等具有重要意义。

2.实现轧制过程的条件轧制道次：一个完整的轧件从入轧辊、到出轧辊，被轧制一次的过程。在一个轧制道次内，轧件的轧制过程可以分为开始咬入、拽入、稳定轧制和轧制终了4个阶段，分别如图9.3（a）、（b）、（c）、（d）所示。稳定轧制：其中稳定轧制是轧制过程的主要阶段，金属的流动、应力应变状况及轧制工艺的控制、产品质量控制都是基于此过程的。另外，开始咬入阶段虽然在瞬间完成，但它是轧制过程能否建立的前提条件，不能咬入轧制过程就无法进行。下面就咬入条件和稳定轧制条件分别介绍。图9.3轧制过程示意图(a)咬入；(b)拽入；(c)稳定轧制；(d)轧制终了1)咬入条件依靠轧辊与轧件之间的摩擦力，轧件被拖入轧辊之间的现象称为咬入。轧制过程能否建立，首先决定于轧件能否被旋转的轧辊咬入。因此，咬入是轧制过程的先决条件。为使轧件进入轧辊，轧辊对轧件必须有与轧制方向相同的水平作用力。轧件咬入时受力分析如图9.4所示。考虑水平方向的受力平衡可以得到：式中，Q—后推力；

T—摩擦力，T=fP；

P—轧辊对轧件的正压力。将T=fP代入式（9-1）得：

图9.4轧件咬入时的受力图示

根据物理概念f=tgβ，β为摩擦角。如无后推力，即Q=0，则有：

tgβ≥tgα

（9-3）

β≥α

（9-4）因此：（1）当β>α时，称为自然咬入条件。它表示在无张力（或推力）作用的情况下，轧件被轧辊咬入的条件是必须使摩擦角大于咬入角，这是咬入的充分条件；（2）当β=α时，称为咬入的临界条件。此时的咬入角称为最大咬入角，用αmax表示；最大咬入角αmax取决于轧辊和轧件的材质，以及润滑条件、轧制温度和轧制速度等。（3）当β<α时，无法实现自然咬入。表9-1为几种有色金属热轧时最大咬入角和摩擦因数。表9-2是钢铁材料在冷轧及热轧时的最大咬入角和摩擦因数。金属轧制温度/℃最大咬入角/°摩擦因数铝铜镍锌35090095020020～22272217～190.36～0.400.500.400.30～0.35表9-1有色金属热轧时的最大咬入角与摩擦因数轧制条件摩擦因数最大咬入角/°比值△h/R热轧在有刻痕和焊痕的轧辊钢坯轧制型钢轧制钢板及扁钢0.45～0.620.36~0.470.27～0.3624～3220~2515～201/6~1/31/8~1/71/14~1/8冷轧在一般光面辊间轧制镜面轧辊间轧制镜面轧辊间轧制，用蓖麻油等润滑0.09~0.180.05~0.080.03~0.065~103~52~41/130~1/331/350~1/1301/600~1/200表9-2钢铁材料轧制时的最大咬入角与摩擦因数2)稳定轧制条件随着轧件的咬入，接触压力水平分量逐渐减小，辊缝完全被轧件充满，进入稳定轧制过程，如图9.5所示。假设摩擦力沿接触弧均匀分布（实际上摩擦力的分布不是均匀的），摩擦力作用点在接触弧中点，则有稳定轧制所需的摩擦条件：

式（9-11）即为稳定轧制的条件。将其和咬入条件相对比，可看出:（1）开始咬入时所要求的摩擦条件高，即摩擦系数相对要大一些。（2）而稳定轧制条件比自然咬入条件要“宽松”，只要满足了自然咬入条件，就一定能满足稳定轧制条件。（3）当无法实现自然咬入时，但若在外力作用下实现了强迫咬入，仍有可能进行稳定轧制。图9.5稳定轧制阶段受力图

3)改善咬入条件的途径根据咬入条件β≥α，便可以得出：凡是能够提高β角的一切因素和降低α角的一切因素都有利于咬入。降低咬入角α的方法有：①轧件前端做成锥形或圆弧形，以减小咬入角，易于实现自然咬入；②采用大辊径轧辊，可使咬入角减小，以满足大压下量轧制；③必要时减小道次压下量，降低其变形率；④强迫咬入，即给轧件施以顺轧制方向的水平推力；⑤咬入时调大辊缝，即减小压下量从而减小咬入角。提高摩擦系数（β角）的方法有：①改变轧件或轧辊的表面状态，以提高摩擦角。如在粗轧机轧辊上刻槽、焊点、滚花、打砂等，可以提高摩擦因数；（粗轧机轧制时咬入角相对较大）清除轧件的炉生氧化铁皮使摩擦因数降低；咬人时不润滑，或恶化润滑，稳定轧制后再润滑，也能改善咬入；②合理的调节轧制速度。实践表明，随轧制速度的提高，摩擦因数是降低的，因此可以低速实现自然咬入，稳定轧制建立后，再提高轧辊速度。在实际生产中改善咬入条件并不仅限于以上几种方法，而且往往是根据不同条件几种方法同时并用。9.1.2轧制过程中金属的变形规律1.轧制过程中的纵向变形1)轧制变形区金属质点水平运动速度金属被轧辊咬入后，产生塑性变形，变形情况可以借用平板压缩来分析。（成形原理：最小阻力定律）（1）如图9.5所示，当两行平板压缩时，金属向两个方向流动，以垂直对称线为分界线；（锻压行业：分流面）（2）如果压缩时两工具不平行（斜板压缩），金属容易向宽口一侧流动，此时流动分界面偏向另一侧；（3）轧制时的情况与斜板压缩相似，金属容易向入口侧流动，其中性面偏向出口侧。中性面所对应的圆心角称为中性角，常以γ表示。图9.5金属塑性流动示意由于变形区长度l一般小于轧件的宽度B(尤其板带轧制情况)，金属沿轧制方向流动所受阻力比金属向宽度方向流动所受阻力小，所以金属纵向延伸比宽展要大。图9.5（c）中的箭头是金属塑性流动的方向示意，不是轧件内部质点的“运动方向”。因为：实际上，轧制是一个连续轧制的动态过程，由于轧辊的旋转运动，金属由入口侧不断进入塑性变形区，由轧前高度H轧到轧后高度h，并不断由出口侧流出。（轧件的宏观运动是向轧制方向运动的）由于轧制变形区内部质点的“金属塑性流动”，轧制变形区各质点的“宏观运动”速度，也是有差别的！不是均匀的。这种差别很容易理解：a）在中性面上金属质点与轧辊表面无相对运动，因此该断面上金属质点运动速度（用Vr表示）与轧辊圆周速度的水平分速度相等；b）在轧件入口断面一侧，各断面上金属质点的运动速度（入口断面用V

H表示）均落后于对应断面轧辊圆周速度的水平分速度；c）在轧件出入口断面一侧，各断面上金属质点的运动速度（出口断面用V

h表示）均大于对应断面轧辊圆周速度的水平分速度。轧制过程各断面金属质点运动速度示意如图9.6所示。

图9.7轧制变形区金属质点运动速度示意2)前滑、后滑及其测定轧件的出口速度Vh大于轧辊在该处圆周速度V的现象称为前滑。通常将轧件出口速度Vh与轧辊圆周速度V的相对差值称为前滑值；将轧件出口速度Vh与轧辊圆周速度V的比值称为前滑系数。即有：式中，Sh—前滑值；

—前滑系数；

Vh—轧件的出口速度；

V—轧辊的圆周速度。通过实验方法测定前滑值更准确，而且容易实现，通常采用轧辊刻痕的方法。轧件进入轧辊的速度小于入口断面上轧辊水平速度的现象称为后滑。后滑值是用入口断面轧件的速度与轧辊在该点圆周速度的水平分速度之比来表示：（9-14）

式中，SH—后滑值；

VH—轧件在入口处的速度；

α—接触角。按秒流量相等的原则可以得到前后滑和延伸的关系：（9-15）式中，λ—延伸系数，λ=Vh/VH=FH/Fh；

FH—轧件入口断面积（坯料断面积）；

Fh—轧件出口断面积（轧件制品断面积）。3)中性角γ中性角γ是决定变形区内金属相对轧辊运动的一个参量。（a）在中性面和入口断面间的后滑区内，金属有相对轧辊表面向后滑动的趋势；（b）相反，在中性面和出口断面间的前滑区内，金属有相对轧辊表面向前滑动的趋势。（c）在前、后滑区内轧件表面的摩擦力方向相反，都指向中性面。（这是实际情况，前面假定的摩擦力方向均为主动力）中性面的位置及中性角γ的大小可根据轧件受力平衡条件确定。若假定单位压力沿接触弧均匀分布，且符合库仑摩擦条件，即可导出带有前后张力时的中性角公式：（感兴趣的话课下推导）

中性角γ理论公式：（9-18）式中：α—接触角；

f—摩擦因数；

Q0—作用在轧件上的后张力；

Q1—作用在轧件上的前张力；

—平均径向单位压力；

—轧件的平均宽度；

R—轧辊的半径。当Q0=Q1或者Q0=Q1=0时，则可由式（9-18）导出前后张力相等或无张力时的中性角公式：（9-19）当α角很小时，得到中性角γ的简化公式：（9-20）简单思考：影响中性角γ的因素？4)前滑值的理论计算（课下推导、内容了解）计算前滑值时，必须对轧制过程予以简化。假设忽略宽展，根据秒流量体积不变原则，认为变形区出口断面金属的秒流量体积等于中性面处金属的秒流量体积，则可以推得：

此式即为E．芬克前滑公式。它反映了轧辊半径R，轧件出口处厚度h及中性角γ等主要工艺参数对前滑值的影响。轧制薄板时，咬入角α很小，即γ角很小。此时，所以

此即为S.E.艾克隆德前滑公式。以上公式都没有考虑宽展，当存在宽展时，实际上得到的前滑值将比上述公式所计算的小，生产中一般前滑值在2~10%之间变化。

5)影响前滑的因素由前滑值的计算公式可以看出，影响前滑的因素主要有：①中性角愈大，则前滑值愈大；②轧辊直径愈大，则前滑值愈大；③轧后轧件厚度愈小，则前滑值愈大；④摩擦因数愈大，则中性角愈大，所以前滑值就愈大；⑤前张力增加，中性角γ增大，所以前滑增加，相反，后张力过大，前滑减小，易产生打滑现象；⑥压下率越大，前滑也越大，其原因是由于高向压缩变形增加，纵向和横向变形都增加，因而前滑值增加。连轧中：在带材的多机架连轧生产中，在设计轧机和制定工艺制度时，要充分考虑前滑的影响，否则轧制过程将无法正常进行。比如连轧时，若前滑值估计不足，就会出现堆料和活套现象。2.轧制过程中高向的变形（变形规律-了解）在轧制过程中，轧件变形区内的应力、应变分布具有不均匀性，其不均匀性与几何形状系数有关。按几何形状系数的不同，可以把轧件沿断面高向的变形分成薄轧件和厚轧件两种情况进行讨论。1）薄轧件的变形特点薄轧件的几何形状系数>0.5～1.0，热轧薄板和冷轧一般属于这种情况。当较大时，轧件断面高度较小，变形容易深透到内部。由于轧件接触表面（表层）存在摩擦力，前后滑区接触摩擦力方向均指向中性面，从而阻碍金属的塑性流动，所以表层金属的延伸比中部小，变形呈单鼓形。此外，因轧制时的工具形状等因素影响，使金属的纵向流动远大于横向流动，所以金属的变形绝大部分趋于延伸，宽展很小。前述，平辊轧制时金属质点不仅有塑性流动，而且还有轧辊旋转带动所产生的机械运动。所以变形区内沿高向金属质点水平运动速度是这两种速度叠加的结果，如图9.7所示。其水平运动速度的不均匀分布主要是受摩擦力的影响。

图9.7金属水平运动速度沿断面高度的分布（单凹-单凸）在后滑区，轧件表面摩擦力的水平分量与轧件运动方向相同，并起动力作用。其结果是沿断面高向金属质点水平运动速度由表及里逐渐减小，其分布图呈中凹状。在前滑区，摩擦力为阻力，轧件表面的摩擦力方向与金属的流动和轧件水平运动方向都相反。同样表层金属受摩擦力的阻碍作用比中部大，所以，在前滑区内，表层金属质点水平运动速度比中部小，速度分布图沿高向呈中凸状。在中性面上，轧件与轧辊速度相等，轧辊与轧件间无相对滑动，此断面上高向速度分布均匀。在外端与后滑区之间的非接触变形区内，金属质点的水平运动速度随着向入辊处接近，其不均匀性逐渐增加。在外端与前滑区之间的非接触变形区内，其高向上金属质点的水平运动速度，沿出辊方向不均匀性逐渐减小。(＞0.5～1.0薄轧件)

图9.7金属水平法应力σx沿断面高度的分布（拉应力-压应力-拉应力）（成形基本原理：附加应力是由于不均匀变形引起，成对出现）由于金属质点的（塑性）流动速度沿断面高向分布不均匀，产生附加应力，因此沿断面高向的应力分布也呈现不均匀性。水平法向应力σx沿断面高向的分布，如图9.7（b）所示，表层金属受水平附加拉应力，而中部金属受水平附加压应力。这种附加应力与接触摩擦引起的基本应力相叠加，就是轧件中实际水平应力σx。当拉应力σx的值超过金属的强度极限时，轧件表面会产生横向裂纹。随不断增加（如轧制极薄带或箔材），轧件厚度很小，变形更容易深透到内部，整个变形区受接触摩擦力的影响很大，在轧件表层和中部都呈现较强的三向压应力状态。沿断面高向的应力和变形都趋于均匀，并可认为变形前的垂直横断面，在变形过程中仍保持为垂直平面，即所谓“平断面假设”，此时宽展可以忽略。

2)厚轧件的变形特点厚轧件的<0.5～1.0，铸锭或厚铸坯采用热轧开坯的前几道次一般属于这种情况。厚轧件的变形区形状系数较小，轧制过程受外端的影响较大，压缩变形不能深入轧件内部，即只有表层金属才发生变形，轧件中心层几乎不发生塑性变形，致使外端深入到几何变形区内，出现表面变形。由于受外端的影响，金属流动速度出现不均匀分布，如图9.8所示。此时轧件表面和轧辊出现粘着现象，其表面金属质点水平速度和轧辊表面的水平速度相同。在后滑区，断面上金属质点水平速度由表层向内部逐渐减小，速度图呈凹状；前滑区断面上金属质点水平速度，由表层向内部逐渐增大，速度图呈凸状。轧件中部的金属不变形，运动速度恒定。外端也不变形，沿高向速度分布均匀。

理想变形区与实际变形区（该图前面课件已有）

图9.8＜0.50～1.0时金属水平运动速度沿断面高度的分布（双凹-双凸）轧件轧制时金属的不均匀流动产生了不均匀变形，不均匀变形的结果就导致了附加应力的产生。在出、入口断面附近，由于表层区域的金属先变形，所以表层区域受附加压应力，而在中部区域内承受附加拉应力。变形区形状系数越小，附加应力就越大。在附加拉应力作用下，如果铸锭内部存在缺陷，当附加拉应力超过材料的断裂强度时，会被拉裂产生断裂，最后形成层裂、张嘴（见下图）。此外，如果厚铸锭热轧时的道次加工率较小，轧件和轧辊发生粘着时，表面金属不变形，而表层金属发生变形。这样，表层金属势必拉着表面金属一起延伸，所以表面金属受附拉应力作用，表面金属受附拉压应力，其结果就有可能在轧件表面出现横向裂纹。轧件中部基本不变形，所以也承受拉应力（图9.8）。措施：在实际生产中，主要是通过施加润滑防止粘辊，或增大加工率减小表层变形，来减小横裂现象。

轧制时的层裂、张嘴缺陷：

（课下了解）

轧件中部在水平拉应力作用下，如果铸锭存在铸造弱面，或低塑性材料及其他杂质时，会被拉裂产生断裂或空洞，最后形成层裂。特别是硬铝合金，当润滑冷却条件差时，粘着作用强，往往出现张嘴现象，严重时会缠辊。拉裂、张嘴与缠辊示意图

图9.8金属水平法应力σx沿断面高度的分布（拉应力-压应力-拉应力-压应力-拉应力）

＜0.50～1.0时，厚轧件外端对变形的影响

（课外阅读、分析）

1）外端对纵向变形有强迫“拉齐”作用

轧制过程，由于轧辊与轧件接触表面摩擦的影响，使轧件沿高向变形不均匀，由体积不变条件，也会导致纵向及横向不均匀变形。高向变形大的部位延伸与宽展也大，高向变形小的部位延伸与宽展也小。

由于金属是一个整体，上述不均匀延伸受到外端的限制，结果延伸大的部位受到纵向附加压应力，而延伸小的部位受到纵向附加拉应力作用，促使纵向延伸趋于一致。（例如：凸度型轧辊只有头部呈舌头状）所以外端能使金属沿纵向变形不均匀性减小。2）外端对横向变形的影响：不均匀性增加由于外端对纵向变形有强迫“拉齐”作用，使高向变形大的部位（宽展也大）受纵向压应力作用，被迫宽展（宽展量更大）；而高向变形小的部位（宽展也小）受纵向拉应力作用，使轧件宽度被拉缩（宽展量更小）。

所以外端能使横向变形不均匀性增加。例如：热轧开坯头几道次轧件侧面产生双鼓形，原因是轧件沿高向表面层变形大，中部变形小或不变形（受外端拉应力，宽展更小），受外端影响（表层金属）产生强迫宽展的结果。

课下思考：热轧开坯，头几道次轧件侧面产生双鼓形，说明外端对横向变形的影响？3.轧制过程中的横向变形（宽展）1)宽展的概念沿轧件宽度方向的变形即横向尺寸的变化称为宽展。它分为绝对宽展和相对宽展两种：绝对宽展量∆b＝b-B相对宽展量习惯上，把绝对宽展直接称为宽展。研究宽展在生产实际中有重要意义，例如在孔型设计中就必须正确地确定宽展的大小，否则不是孔型充不满，就是过充满。2)宽展的分类在不同轧制条件下，坯料在轧制过程中的展宽形式是不同的。根据金属沿横向流动的自由程度，宽展可分为自由展宽、限制展宽和强制展宽。

（1）自由宽展。坯料在轧制过程中，金属流动除受接触表面的摩擦阻力外，不受其它任何的阻碍和限制的宽展，如平辊上轧制矩形断面轧件，扁平材孔型内轧制、立辊轧制等，称为自由宽展，如图9.9所示。自由宽展轧制是最简单的轧制情况。（2）限制展宽。金属质点横向移动时，除受接触面上的摩擦阻力外，还受到某种额外限制（例如孔型侧壁的限制），因而破坏了自由流动条件而形成的宽展。如在孔型侧壁起作用的凹型孔型中轧制时就属于此类宽展，如图9.10所示。

（3）强迫宽展。坯料在轧制过程中，金属质点由于某种原因被迫向横向流动而形成的宽展，称为强迫宽展。例如在凸型孔型中轧制及有强烈局部压缩的轧制条件下轧制就属于这种情况，如图9.11所示。在孔型轧制时，由于孔型侧壁的作用和轧件宽度上压缩的不均匀性，确定金属在孔型内轧制时的宽展是十分复杂的。

3)宽展的影响因素（1）加工率的影响。加工率越大，宽展量就越大。这是因为随加工率增大，金属受压缩的体积增加，使宽展增加。另外，压下量增加使变形区长度增大，从而纵向阻力增大，金属质点就容易朝横向流动，导致宽展增加。（2）轧辊直径的影响。宽展随轧辊直径增加而增加，因为轧辊直径增加，变形区长度也增加，使纵向阻力增大。（3）轧件宽度的影响。在其它条件相同时，宽展随轧件宽度的增大而增加。但当轧件宽度增大到一定值后（具体多大-尚不确定），宽度再增加时宽展不再出现明显变化。这是因为轧件宽度很大时，轧件与轧辊的接触面积增大，金属沿横向流动的摩擦阻力增大，大部分金属将向纵向流动。（4）摩擦的影响。宽展随摩擦系数增大而增加。根据金属流动最小阻力定律，金属流动总是延伸区大于宽展区（见下页附图）。摩擦系数增加时，延伸和宽展的摩擦力都增加。但是延伸区的接触面积比宽展区大，所以轧件延伸的阻力比宽展的阻力增加的快，使宽展增加。所有使摩擦系数增大的因素，都促使宽展量加大。例如：孔型磨老（变粗糙），轧的宽展量就会增大。因为钢轧辊不如铸铁轧辊耐磨，所以，在轧制一段时间之后，用钢轧辊轧制的轧件比用铸铁轧辊轧制的轧件宽展量大。（5）轧制速度与温度对宽展的影响当轧制速度超过2m/s时，轧制速度愈高，摩擦系数愈低。热轧时温度愈高，摩擦系数愈低。凡是使摩擦系数降低的因素都是减小轧件宽展的因素。

了解内容关于轧制速度对摩擦因数的影响原因，有关研究认为：（1）轧制速度提高，应变速率增加，使金属强度增加，从而降低轧辊与轧件间的粘着力，最终减小了摩擦因数；（2）轧制速度增加，轧件与轧辊间的接触时间缩短，轧件热量损失减小，温度更高，变形抗力更小，轧制负荷和摩擦因数也下降了。关于轧件入口温度对摩擦因数的影响原因，有关研究认为：在800~1000℃，随着入口温度的提高，摩擦因数逐渐降低，原因是在较高温度下，轧辊与轧件间的黏着易断开，降低了黏着强度，从而使摩擦因数降低。附图变形区水平投影分区图示（分区宽展理论）

4)宽展的计算宽展的影响因素很多，很难用一个确定的公式来表示。虽然目前有很多计算宽展的公式，但还没有一个公式能适应各种情况。在实际生产中习惯用一些经验公式，或者是根据具体轧制条件，实测宽展值。下面介绍几个典型的宽展计算公式。它们仅考虑主要因素对宽展的影响，而其他因素是用一个系数加以矫正，其计算结果与实验有少许误差。(1)西斯公式。（9-21）式中，△h—压下量；

c—宽展系数，c＝0.35～0.48。硬金属取下限，软金属取上限。西斯认为宽展与压下量成正比，由于只考虑了绝对压下量这一主要因素对△B的影响，其他因素在中考虑，因此不太准确。但西斯公式计算简单，应用比较方便，在一些要求不太精确的场合常被应用。(2)谢别尔公式。

（9-22）式中，R—轧辊半径；

H—轧件的轧前厚度；

c—金属性质及轧制温度等的影响系数，如表9-1。谢别尔公式认为宽展与加工率、变形区长度成正比，即同时考虑了加工率和变形区长度两个因素，其他因素在c中考虑，因此其计算结果比西斯公式准确。表9-1常用金属的c值金属轧制温度，℃c值铜铝黄铜铅钢铁300-800400-450580-800<20<11800.360.450.2650.330.34(3)古布金公式。

（9-23）式中，f—摩擦因数。此公式是在实验的基础上得到的，反映了多种因素对宽度的影响，因此比较全面。(4)S.Ekelund埃克伦德公式。

（9-24）式中，

b—轧后宽度；

B—轧前宽度；

m—系数，；

l—变形区长度，；

f—外摩擦系数,对铸铁辊轧钢可按f=0.8（1.05-0.0005t）计算；

t—轧件温度(℃)。埃克伦德公式考虑了压下量、咬入弧长、摩擦系数、轧前宽度和厚度等共五个因素对宽展的影响，计算结果较为准确。9.1.3轧制压力计算1.轧制压力计算的一般形式轧制压力：是指轧制时轧件给轧辊合力的垂直分量。轧制时金属对轧辊有两个作用力：一个是与接触表面相切的摩擦力T，另一个是垂直于接触表面的正压力N，轧制力就是这两个力在垂直于轧制方向上的投影之和，即通过压力传感器在压下螺丝下面测得的总压力。若忽略沿轧件宽度方向上的摩擦力和单位压力的变化，轧制力可用下式来表示（如图9-12所示）：教材更正：图中θ改为φ。

后滑区单元：注意摩擦力tx的方向（主动力）若忽略沿轧件宽度方向上的摩擦力和单位压力的变化，轧制力可用下式来表示（如图9-12所示）：（9-25）式中，—轧件的平均宽度，

px—单位压力；

tx—接触面上的单位摩擦力。式（9-25）中右边的第二项和第三项分别为后滑区和前滑区摩擦力在垂直方向上的分力，它们远小于第一项的数值，工程计算时可以忽略不计，则轧制力可简化为：

（9-26）

从上式可看出轧制压力为微分体上之单位压力px与该微分体积接触表面之水平投影面积乘积的总和。

如果用平均值表示，则（9-26）式为：（9-27）式中：P—轧制压力；

F—接触面积，即轧件与轧辊的实际接触面积的水平投影；

—平均单位压力，根据（9-26）及（9-27），下式决定：

注意概念：接触面积并非轧件与轧辊的实际接触面积，而是实际接触面积的水平投影，习惯上称该面积为接触面积。

因此，确定轧制压力，归根到底在于解决下列两个问题：

(1)计算轧件与轧辊的接触面积；(即实际接触区域水平投影)(2)计算平均单位压力。第一个问题：接触面积的确定

轧制时，轧件与轧辊的接触面积和轧件变形前后的几何尺寸、轧制压力、压下率、轧辊尺寸与材质等有关。下面分不考虑轧辊弹性压扁和考虑轧辊弹性压扁两种情况，讨论如何确定轧制时的接触面积。

1)不考虑轧辊弹性压扁接触面积F的值，通常可用下式确定：

式中：l—变形区的长度。可见确定接触面积主要是计算变形区长度l。将式:

代入上式，可求得简单轧制情况下的接触面积:

（9-29）

2）考虑轧辊弹性压扁考虑轧辊弹性压扁时接触面积按下式计算：

式中：—轧辊弹性压扁后变形区的长度；按希契科夫公式或斯通图解法。

—轧制前后轧件宽度的平均值。在轧制压力的作用下，轧辊和轧件将产生局部的弹性压缩变形，导致接触弧的几何形状发生变化，使接触弧长增加，而接触面积增大。轧辊的弹性压缩变形，一般称为轧辊的弹性压扁。

第二个问题：平均单位压力的确定平均单位压力的确定大致有3种方法：①实测法：即针对某种轧制条件用测压装置直接测定轧制压力，再除以接触面积即可；多用于工程生产②经验公式或图表法：可查阅相似轧制设备及轧制工况的有关实测曲线图得到；③工程近似解法：即根据不同轧制条件单位压力的公式，按式（9-28）积分。多用于工艺设计教材中简要介绍的几种工程近似解法，它们均是由2个著名的单位轧制压力微分方程：即卡尔曼单位压力微分方程和奥罗万单位压力微分方程推得的。2.单位压力的微分方程1）卡尔曼单位压力微分方程卡尔曼微分方程式的假设条件：①轧件在变形区内沿横断面高度上各点的金属流动速度、应力及变形分布均匀；②忽略宽展，把轧制问题简化为平面变形问题；轧件在变形区内各横断面沿高度方向无剪应力作用，水平法应力σx沿断面高度均匀分布。平面变形状态的应力特点思考：σz=?③认为轧制时，轧件高向、纵向和横向的变形都与主应力方向一致，忽略切应力的影响；假定坐标的3个面即为主平面④认为金属质点在变形过程中，性质处处相同；均质假定⑤认为轧辊和轧件不产生弹性变形；⑥在接触弧上的摩擦系数为常数，即f＝c（c为常数）。

摩擦条件

2.微分方程的建立

从变形区的后滑区内截取一个单元体abcd，并研究此单元体力的平衡条件，如图所示。取单位宽度的轧件进行研究，分析单元体沿水平方向所受和作用力。轧制右部分对单元体的水平作用力为σxhx；轧件左部分对单元体的水平作用力为(σx+dσx)·(hx+dhx)；两个轧辊作用在单元体上的径向压力和切向摩擦力，其水平投影分别为：2pRdθsinθ、2tRdθcosθ。由于接触摩擦力在前后滑区方向相反，取在后滑区水平方向为正，前滑区为负。单元体满足静力平衡条件，则∑X=0。展开上式，并略去高阶无穷小，t=f·p代入后得：后滑区内单元体的受力图

式为卡尔曼方程的原形，式中正号适用于前滑区；负号适用于后滑区。后来史密斯假设图中单元体的上下界面ab、cd为斜平面，则式中的Rdθ=dx/cosθ，结果公式变为：展开上式，得：

若对上式求解，首先要确定单位压力p和应力σx之间的函数关系。从假设条件可知，坐标主轴与应力主轴重合，可用平面变形条件下的近似塑性条件：屈雷斯加σ1-σ3=K（K=2Tmax为平面变形抗力σs，Tmax为材料屈服时的最大剪切应力）。

对于所研究的单元体，由假设条件，可将垂直法应力和水平法应力当做主应力σ1和σ3，因此σ1可表示为（微元体受力分析得）：上式右边第2项与第1项相比很小，可忽略不计，由此得：，而由近似塑性条件则：则有：代上式入（3-16）式，得：由图可知，dhx/dx=2tgθ，上式变为：

式中正号为后滑区；负号为前滑区。

上式为卡尔曼微分方程的另一形式，或者写成一般形式：

从卡尔曼微分方程何以看出：

1）单位压力p和x坐标有关，这说明单位压力沿接触弧是变化的；

2）第2项反映单位压力大小及分布规律，与金属本性、压下量及轧辊直径有关；

3）同时考虑了单位压力分布与轧辊和轧件之间的接触摩擦条件密切相关。但是求解方程式的通解有很大困难，必须知道式中：单位摩擦力沿接触弧的变化规律，即物理条件；接触弧方程，即几何条件；以及边界条件。将上述不同的简化条件代入方程，可以求出不同的解，即得到不同的单位压力计算公式。

2）奥罗万单位压力微分方程奥罗万在推导单位压力微分方程时采用了卡尔曼所作的某些假设，其中主要是假设轧件在轧制时无宽展，即仅发生平面变形。奥罗万的假设与卡尔曼的假设的最主要区别是：（a）认为接触弧上各点的摩擦系数不恒定，轧件与轧辊之间是否产生滑移取决于摩擦力的大小。（b）当摩擦力小于材料剪切屈服极限时，产生滑移；摩擦力等于材料剪切屈服极限时，则不产生滑移而发生粘着。（c）同时认为热轧时出现粘着现象。由于粘着现象的存在，轧件沿高度方向变形不均匀，因而水平应力σx沿轧件断面高度的分布不均匀，且认为在垂直横断面上有剪应力存在。垂直横断面上有剪应力？

根据以上条件，奥罗万基本假设如下：①忽略轧件宽展，变形为平面变形；②认为在变形区内，金属与轧辊的接触表面不产生滑移而发生粘着。可用剪应力代替接触表面的摩擦力。同时还认为剪应力在轧件高度方向呈线性分布，即在轧件与轧辊接触表面τ=K/2，轧件中心层τ=0；③由于水平应力沿轧件断面高度分布不均匀，因此用水平应力的合力Q来代替，如图9.14所示。

更正：教材图9.14中θ改为φ。根据上述假设导出了奥罗万单位压力微分方程式：整理后得：（9-35）要想解微分方程（9-35），必须知道水平力Q与单位压力px间的函数关系，奥罗万借用纳达依的粗糙倾斜平板间压缩金属楔的应力分布理论，确定出它们的关系式：（9-36）

西姆斯公式、勃兰特-福特公式均是以奥罗万微分方程为基础推得的。3.几个典型的单位压力计算公式1)全滑动的采利柯夫公式采利柯夫在求解卡尔曼微分方程时，在卡尔曼假设的基础上又做了一些假定：①假定接触弧上轧件与轧辊近似于完全滑动，在此条件下，变形区内接触弧上的摩擦条件基本服从库仑干摩擦定律，即，摩擦系数为常数；②在接触角不大的情况下，接触弧方程近似地采用直线，即以弦代替弧(如图9.1)；③平面变形抗力K为常数，并考虑前后张力的影响。在上述假设条件下对卡尔曼单位压力微分方程求解，并根据前、后滑区内的不同边界条件，推导出单位压力的计算公式：在前滑区：（9-37）在后滑区：（9-38）式中，δ—简化系数，；

ξh—简化系数，；

ξH—简化系数，；

qH—后张力；

qh—前张力。2)全滑动的斯通公式如图所示，斯通把冷轧薄板轧制过程近似为平行平板间的压缩，将其假设的边界条件代入卡尔曼微分方程，简化得到下式：斯通理论变形区图示

同时斯通假定接触表面为全滑动，单位摩擦力，并根据近似塑性条件，则上式变为（式中负号为后滑区，正号为前滑区）：

将上式积分，并根据前、后滑区不同的边界条件可求得斯通单位压力公式：后滑区：（9-39）前滑区：（9-40）式中，m—简化系数，；

—轧件平均厚度，；

qH—后张力；

qh—前张力；

l—变形区长度，一般应考虑弹性压扁时的变形区长度。3)全粘着的西姆斯公式西姆斯基于奥罗万单位压力微分方程又做了两点假设：①把轧制区看成在粗糙斜锤头间的镦粗，利用奥罗万对水平力Q的研究结论；②沿整个接触弧都有粘着现象，即有t=K/2。并利用抛物线代替接触弧，最后得到单位压力公式：在后滑区（9-41）在前滑区（9-42）西姆斯公式考虑了轧辊与轧件接触表面的摩擦条件为粘着状态和水平应力沿变形区横断面分布不均匀的情况，所以该公式较适用于热轧情况。4）混合摩擦条件下轧制单位压力计算公式斯通公式和西姆斯公式都分别是在一定的特殊条件下即全滑动和全粘着的情况下得出的，因此适用范围具有局限性。实际轧制时接触表面不仅存在滑动摩擦，而且还存在粘着摩擦，从而单位压力沿接触弧的分布也不同。我国学者陈家民将轧制视为平面压缩，并把接触表面按混合摩擦考虑，即在滑动区按，在粘着区取，采用平面变形的精确塑性条件导出了单位压力及平均单位压力的计算公式，并将后者绘成如图9.18的曲线。

（图9.18见后面内容）

课外阅读知识轧件高向上的不均匀变形实验

轧制时，轧件高向上的不均匀变形，塔尔诺夫斯基等人用坐标网络法进行了研究，得到了充分证明。实验结果如图2-12所示。图中的曲线表示轧件表面层和中心层各个单元体的变形（相对变形），沿变形区长度上的变化情况。图中纵坐标是以ln(H/hx)表示相对变形，这里：

H——轧前任意断面上的单元体的高度

hx——轧后任意断面上的单元体的高度课外阅读知识

沿轧件断面高向上变形分布图课外阅读知识

从上图看出：

1）轧件拽入辊前和出辊后表面层和中心层都发生变形。说明外端与几何变形区之间确实存在着非接触变形区，其变形和运动速度都是不均匀分布的。

2）图中曲线1与曲线2的交点相当于中性面的位置。

3）中性面与入口断面之间，表层金属比中心层金属变形要大；

4）相反，在中性面与出口断面之间，中心层的金属比表层金属变形大，说明沿轧件断面高向变形是不均匀的。

5）曲线1的水平段，其相对变形量保持不变，这说明轧件表面与轧辊无相对滑动，即存在粘着区。根据实验研究把轧制变形区绘成下图，以描述轧制时变形的情况。

（与塑性原理圆柱墩粗的情况相似）

轧制变形区（＞0.8）

课外阅读知识

4.平均单位压力的影响因素由塑性成形基本原理知道：平均单位压力受以下2类因素的影响：①影响轧件变形抗力的因素；②影响轧件应力状态的因素。所以平均单位压力可用以下通式表示：＝nσσφ

（9-43）式中，σφ

—金属的实际变形抗力（有的资料用表示实际变形抗力）；

nσ—应力状态影响系数。由成形基本原理知道：影响轧件应力状态的因素有外摩擦力、外端及张力等，因此应力状态系数nσ可写成下式：nσ＝nβ·n′σ·n′′σ·n′′′σ

（9-44）式中，nβ—考虑轧件宽度影响的应力状态系数；

n′σ—外摩擦影响系数；

n′′σ—考虑外端影响的系数；n′′′σ—考虑张力影响的系数。由成形基本原理知道：影响金属实际变形抗力的因素主要有有材料本身的特性、温度、变形程度和变形速度，可写成下式：σφ＝ntnεnμσs式中，nt—变形温度对轧件机械性能的影响系数；

nε—变形程度对轧件机械性能的影响系数；

nμ—变形速度对轧件机械性能的影响系数；

σs—在一定温度、变形程度和变形速度下测得的材料屈服强度。综上所述，为确定平均单位压力，必须求得应力状态影响系数nσ及轧件的实际变形抗力σφ。有关实际变形抗力σφ的计算在材料成形基本原理已详细介绍过，针对轧制条件下的实际变形抗力σφ的计算参考《有色金属板带材生产》等书籍。5.应力状态系数nσ的确定应力状态系数nσ比其他系数对平均单位压力的影响更大，因此准确确定应力状态系数nσ非常重要。下面就对式nσ＝nβn′σn′′σn′′′σ中的各应力状态系数逐一分析：

1)考虑轧件宽度影响的应力状态系数nβ的确定修正的屈雷斯加屈服准则通过引入修正系数nβ来考虑中间主应力σ2的影响。

·当为纯切状态或平面变形状态，σ2的影响最大，此时nβ=1.155；

·当为单向应力状态或轴对称应力状态时，

nβ最小，此时nβ=1。故系数nβ在1～1.155范围内，其平均值为1.077。因为K=nβσφ，而卡尔曼方程、采利柯夫公式是由假设为平面变形状态导出的，所以轧制时平面变形抗力K=1.155σφ，平均单位压力可写成：=n′σn′′σn′′′σK（9-45）一般轧制问题均应考虑中间主应力的影响，即取nβ=1.1552)张力影响系数n′′′σ的确定张力影响系数n′′′σ较难确定，通常用简化的方法，把张力对平均单位压力的影响考虑成影响了平面变形抗力K，即认为张力降低了K值。在入辊处K值降低K－qH；出辊处K值降低K－qh，所以K值的平均降低值K′为：

(9-46)当前后张力相差很大时可用下列公式予以修正：

3)外端影响系数n′′σ的确定外端影响系数n′′σ的确定比较困难，因为外端对单位压力的影响很复杂。研究表明，当变形区几何形状系数

>1时（轧制薄板时），可认为n′′σ≈1，即不考虑外端的影响。对于轧制厚轧件，外端会引起表面变形而出现附加应力，从而使平均单位压力增大，当0.05<<1时，可用下列经验公式计算n′′σ值：

4)外摩擦影响系数n′σ的确定外摩擦影响系数取决于金属和轧辊接触表面的摩擦规律。前面介绍的几种典型的单位压力公式，对摩擦情况的考虑和假定不同，因此确定出的n′σ的值也就不同。目前所有的平均单位压力公式，实际上最关键的就是解决n′σ的问题。关于金属和轧辊接触表面的摩擦规律大致有三种观点：即全滑动、全粘着和混合摩擦，不同摩擦规律得出的平均单位压力的计算公式是不同的，下面分别按上述三种观点进行平均单位压力的计算。6．按全滑动摩擦规律计算平均单位压力1）采利柯夫平均单位压力公式

平均单位压力，如果不考虑外端和张力的影响，则公式简化为。根据采利柯夫单位压力公式（9-37）和（9-38）式，经积分后，得出计算平均单位压力的采利柯夫公式：（9-49）式中：设，

f——为摩擦系数；

hγ——中性面上轧件的厚度；

——按下式计算：（9-49）式还可写成：

式中：ε=△h/H为道次加工率。由（3-49）和上式可知，与δ和ε存在一定的函数关系。为了简化计算，采利柯夫作出图9-15所示曲线，根据ε和δ的值，可从图中查出，由，计算平均单位压力。并从图中曲线看出，随加工率、摩擦系数和辊径增加，平均单位压力增大。应指出：（1）在应用以上两公式，或查图9-15计算平均单位压力时：冷轧条件一定要考虑轧辊的弹性压扁，即ι要用ι′代替；（2）如果带张力轧制，其K值要用考虑张力影响后的K′代替；（3）摩擦系数大小的确定，对轧制时平均单位压力影响很大，根据具体轧制条件正确选取（参考有关技术资料）；另外，带张力轧制时，也可以用考虑张力的平均单位压力公式，但计算相当繁杂，不便于工程应用。

2.斯通公式

根据斯通单位压力公式（9-39）和（9-40）式，经积分后得出斯通平均单位压力公式：

（9-51）式中：m′——系数，；

——考虑轧辊弹性压扁后的平均单位压力；

——轧辊弹性压扁时的变形区长度；

e——自然对数的底（e=2.718）。当无前、后张力时，（3-50）可写成：

只要计算出m或m′（需求出），即可从下表中查出的值，根据公式（3-51）式，计算带张力或不带张力的平均单位压力，比较方便。也可直接用上述公式计算，但比较繁杂。

函数值

利用斯通图解法求压扁后变形区的长度：

斯通把他的平均单位压力公式和希契柯克公式（9-5）式联立起来，并用图解的方法计算轧辊压扁后变形区的长度。按（9-5）式，压扁后变形区长度为：

（9-5）将上式两边同乘以，并令及，则有：

整理后得：

将斯通的平均单位压力公式（9-50）代入上式，得：

（9-51）

设，，，则上式可写为：（9-52）为了计算方便，根据上述方程作出轧辊压扁时变形区长度的计算图，如图9-16所示。由轧制条件先计算出z（即m）和y值，然后在图中作连接z（即m）和y两点的直线，该直线与中间的曲线之交点即为x的值。根据，计算出。如果计算平均单位压力：可用m′值查前面函数表求得的值；或者将m′直接代入（3-50）式计算平均单位压力。另外，把求出的代入下式计算平均单位压力也很简便：

图3-20轧辊弹性压扁时的变形区长度计算图

在应用图9-16时，如果连接m和y的直线与中间曲线相交于两点，宜取较小值；如没有交点，则表示该道次所采用的压下量产生的弹性压扁过大，以致轧制不能进行。

上述平均单位压力计算公式，适于冷轧压力计算，尤其斯通公式更适用冷轧薄板带的压力计算。下面是教材习题2利用斯通图解法的求解举例：

按全粘着摩擦规律计算平均单位压力

1．西姆斯公式将西姆斯的单位压力公式（9-41）和（9-42）两式，经积分后得出西姆斯平均单位压力计算公式：

上式还可写成下列形式：为了计算方便，西姆斯把应力状态系数与加工率和R/h的关系，根据上式绘成曲线，如图9.17所示。由ε和R/h的值可从图中查出n′σ，即可求出平均单位压力。西姆斯公式适用于热轧。西姆斯公式也可采用下列简化形式：

(9-53)2．温克索夫公式

温克索夫把轧制比拟为斜面锤头间镦粗过程，按接触弧的倾角等于接触角的一半，并假定整个接触弧长度上为粘着区，导出下列公式：