函数单调性教师

1、函数的单调性知识梳理1函数的单调性(1)单调函数的定义增函数减函数定义一般地，设函数f(x)的定义域为I，区间DI，如果x1，x2D当x1x2时，都有f(x1)f(x2)，那么就称函数f(x)在区间D上单调递增当x1f(x2)，那么就称函数f(x)在区间D上单调递减图象描述自左向右看图象是上升的自左向右看图象是下降的(2)单调区间的定义如果函数yf(x)在区间D上单调递增或单调递减，那么就说函数yf(x)在这一区间具有(严格的)单调性，区间D叫做yf(x)的单调区间常用结论1x1，x2D且x1x2，有eq f(fx1fx2,x1x2)0(0(0或f(x)0)在公共定义域内与yf(x)，yeq

2、f(1,fx)的单调性相反4复合函数的单调性：函数yf(u)，u(x)在函数yf(x)的定义域上，如果yf(u)与u(x)的单调性相同，那么yf(x)单调递增；如果yf(u)与u(x)的单调性相反，那么yf(x)单调递减题型一确定函数的单调性例1 下列函数中，在上单调递增的函数是（）ABCD【答案】B【分析】根据题意，依次分析选项中函数的单调性，综合可得答案【详解】解：对于，是二次函数，在上单调递减，在上单调递增，不符合题意；对于，是幂函数，在上单调递增，符合题意；对于，是幂函数，在上单调递增，不符合题意；对于，在区间上为减函数，不符合题意故选：B例 2 已知.(1)求的解析式；(2)试用函数

3、单调性定义证明：在上单调递增.【答案】(1)(2)证明见解析【分析】（1）根据可得解可得a、b的值，即可得解析式；（2）根据题意，设，利用作差法分析可得函数单调性.（1）由题意得，解得，.（2）证明：设，则，由，得，即，故在上单调递增.训练巩固1.在上是增函数的是（）ABCD【答案】C【分析】根据基本初等函数的单调性结合复合函数的单调性即可逐一求解.【详解】对A，函数在上是增函数，所以在上是减函数，不满足题意；对于B，函数在上是增函数，在上是减函数，不满足题意；对于C，函数在上是增函数，所以在上是增函数，满足题意；对于D，函数在上是减函数，不满足题意故选：C2.若函数在上是增函数，则与的大小关

4、系是（）ABCD【答案】B【分析】由一次函数性质得，再由单调性比较函数值大小.【详解】依题意，即，由于在上单调递增，所以.故选：B3.已知函数，判断并证明在区间上的单调性【答案】单调递增，证明见解析【分析】利用单调性的定义证明，先任取，且，然后作差，变形，判断符号，即可得结论.【详解】在区间上单调递增，理由如下：任取，且，因为，所以，所以所以，所以，即，所以函数在区间上单调递增题型二二次函数的单调性例3 “”是“函数在区间上单调递减”的（）A必要不充分条件B充分不必要条件C充要条件D既不充分也不必要条件【答案】B【分析】由函数在区间上单调递减可得，进而可判断为充分不必要条件.【详解】对于函数，

5、当时，在R上单调递减；当时，若要使得在上单调递减，需满足且，解得.“故”是“函数在区间上单调递减”的充分不必要条件，故选:B.例4 若函数，在R上单调递增，则a的取值范围为（）ABCD【答案】B【分析】由于函数在R上单调递增，所以函数在每段上要为增函数，且当时，从而可求得答案【详解】由题意得，解得故选：B训练巩固4.若函数在上是增函数，则实数的取值范围是（）ABCD【答案】D【分析】根据二次函数的性质得到不等式，解得即可；【详解】解：函数的对称轴为，开口向上，依题意可得，解得，即；故选：D5.函数在上单调递减，则实数的取值范围是（）ABCD【答案】B【分析】由分段函数单调性列不等式组求解【详解

6、】，故在上单调递减，由题意得解得，故选：B题型三函数单调性的应用例5 已知函数，则不等式的解集为（）ABCD【答案】D【分析】由题可得函数在上是减函数，进而即得.【详解】因为所以函数在上是减函数，所以，解得故选：D例6 已知函数.若对于任意，都有，则a的取值范围是（）ABCD【答案】A【分析】首先利用换元法求出的解析式，依题意等价于，令，则在上单调递减，根据反比例函数的性质即可得到不等式，解得即可；【详解】解：令，则，所以，即，因为时等价于，即.令，则在上单调递减，所以或，解得或，即.故选：A例7 已知是定义域为上的单调增函数，且对任意，都有，则的值为（）A12B14CD18【答案】B【分析】

7、根据题意转化为为常数，设（k为常数）可求出，进而可求出.【详解】因为是定义域为上的单调增函数，且对任意，都有，所以必是常数，设（k为常数），得，所以，解得，因此.故选：B巩固训练6.已知函数是定义在上的增函数，且，则（）ABC2D3【答案】B【分析】令，根据给定条件可得t为常数，再由、列式计算作答.【详解】令，即有，因函数是定义在上的增函数，则t为常数，因此，从而，解得，于是得，显然函数在上递增，所以.故选：B7.函数，对，且恒有，则的取值范围为（）ABCD【答案】B【解析】根据题意，判断函数在条件给定区间内为单调减函数，讨论二次项系数是否为0，结合二次函数性质列不等式，求a的取值范围【详解】

8、根据题意，对，且恒有，则函数在单调递减，1、当，符合题意；2、当 ，二次函数，其对称轴为x，若在（,4）上为减函数，必有，解可得：综上故选：B【点睛】关键点点睛：二次型不等式恒成立问题注意讨论二次项系数是否为0.题型四抽象函数的单调性例 7 已知函数的定义域为，对任意正实数、都有，且当时，求证：函数是上的增函数【答案】证明见解析【分析】任取、，且，可得出，结合已知条件可出、的大小关系，即可证得结论成立.【详解】证明：任取、，且，则因为，所以，所以，即，所以函数是上的增函数巩固训练8.已知定义在上的函数满足：当时，对任意都有，(1)求的值.(2)求证：对任意(3)证明：在上是増函数.【答案】(1

9、)4(2)见解析(3)见解析【分析】（1）根据即可得解；（2）令，求得，再根据当时，证明时，即可得证；（3）设，由，说明，即可得证.（1）解：因为，所以；（2）证明：令，则，所以，当时，所以，则，所以，所以对任意；（3）证明：设，则，所以，由，所以在上是増函数.课后练习1.已知函数在定义域内单调递减，且，则的取值范围是（）ABCD【答案】A【分析】根据函数的定义域和单调性列出不等式组，解出答案即可.【详解】由题意，.故选：A.2如果函数在区间上是单调函数，那么实数的取值范围是（）A或B或C或D【答案】A【分析】求出二次函数的对称轴，讨论在区间上单调递减和单调递增，列不等式即可求解.【详解】函数

10、的对称轴为，若函数在区间上是单调函数，若在区间上是单调递减，则，解得：，若在区间上是单调递增，则，解得：，故实数的取值范围是：或，故选：A.3函数在区间上单调递增，则实数的取值范围是（）ABCD【答案】B【分析】由利用函数的单调性可得答案.【详解】，依题意有，即，所以实数的取值范围是故选：B.4.若函数在上单调递减，则的取值范围是（）ABCD【答案】C【分析】根据项的系数分类讨论，时由二次函数性质得结论【详解】函数在上单调递减，当时，符合要求；当时，由题意可得且，解得.综上所述，的取值范围为.故选：C5.若函数是上的单调函数，则的取值范围（）ABCD【答案】B【分析】根据的开口方向，确定分段函

11、数在在上的单调递增，再根据分段函数在上的单调所要满足的条件列出不等关系，求出的取值范围.【详解】因为分段函数在上的单调函数，由于开口向上，故在上单调递增，故分段函数在在上的单调递增，所以要满足：，解得： 故选：B6.函数是定义在R上的单调函数，则（）A9B8C3D1【答案】C【分析】根据单调性可知为常数，根据与的关系，结合单调性可解.【详解】因为函数是定义在R上的单调函数，且，所以为常数，记，则，所以，不妨设函数单调递增，且，则，即（矛盾），故.所以，故.故选：C7.已知函数(1)求证：在上是增函数；(2)当时，求不等式的解集【答案】(1)证明见解析；(2)【分析】（1）利用函数单调性的定义与作差法即可证明；（2）将代入，然后求解不等式即可（1）任取，且，则，所以，所以，所以在区间上单调递增；（2）当时，由可得，解得，故不等式的解集为8定义在上的函数满足下面三个条件： 对任意正数，都有； 当时，； (1)求和的值；(2)试用单调性定义证明：函数在上是减函数；(3)求满足的的取值集合【答案】(1),(2)证明见解析(3)【分析】（1）赋值计算得解；（2）根据定义法证明单调性；（3）根据及单调性计算得解.(1)得，则，而， 且，则；(2)取定义域中的任