菲涅耳公式折反射定律

1、Chapter 1理论基础创作：欧阳计时间：2021.02. 11创作：欧阳计1.1介质中的Maxwells equations及物质方程迥atS警(M)VD=/?V.B=0传导电流密度J的单位为安培/米2(A/m2),自由电荷密度。的 单位为库仑/米2(C/m2)o同时有电磁场对材料介质作用的关 系式，即物质方程(或称本构方程)D-eE + P + (1-2)J=bE麦克斯韦方程组及物质方程描写了整个电磁场空间及全时 间过程中电磁场的分布及变化情况。因此，所有关于电磁波 的产生及传播问题，均可归结到在给定的初始条件和边界条 件下求解麦克斯韦方程组的问题，这也正是用以解决光波在 各种介质、各种

2、边界条件下传播问题的关键及核心。1.2积分形式及边界条件由于两介质分界面上在某些情况下场矢量E、B、方发 生跃变，因此这些量的导数往往不连续。这时不能在界而上 直接应用微分形式的Maxwells equations,而必须由其积分形式出发导出界面上的边界条件。jLH.di = f + sD.dS （1-3） 竝 DdS = Q 竝歹d = 0n x （2 -*!）= 0得边界条件为nx（H2-H,） = a（_4）式（i_4）的具体解释依 n（）2_QJ = b得边界条件为方（氏-&） = 0次如下（具体过程详见光学电磁理论P20）：（1）电场强度矢量左的切向分量连续，斤为界而的法向分量。（2

3、）&为界面上的面传导电流的线密度。当界面上无传导电流时，=0,此时的切向分量连续。比如在绝缘介质表面 无自由电荷和传导电流。（3）b为界面上的自由电荷面密度。（4）磁感应强度矢量鸟的法向分量在界面上连续。Chapter 2电磁波在分层介质中的传播2.1反射定律和折射定律光由一种介质入射到另一种介质时，在界面上将产生反射和折射。现假设二介质为均匀、透明、各向 为无穷大的平面，入社、反射和折射光均 场表达式为入射波 = EOi expz 反射波 Er = EOr expz(ey/-*r)折射波 Et = E()/ exp- 丘戸)界面两侧的总电场为：由电场的边界条件厉x(-E)= 0,有n x E

4、Oi expIK/ - & r） + nx EOrexpz（6?/一kr n x EOi expIK/ - & r） + nx EOr欲使上式对任意的时间t和界面上”均成立，则必然有:= q = 3 (15 )ki-f = kr-r=kt- r ( 1-6 )可见，时间频率3是入射电磁波或光波的固有特性，它不因 媒质而异，也不会因折射或反射而变化。伙；-）,=0& 一）=0（1-7）由于7可以在界面内选取不同方向，上式实际上意味着矢量 忆-E)和(E-E)均与界面的法线厉平行,由此可以推知，E、必、丘与方共面，该平面称为入射面。由此可得岀结论：反射 波和折射波均在入射面内。上式是矢量形式的折、

5、反射定律。将上式写成标量形式，并 约掉共同的位置量，可得kicos( -0i) = krcos( -0r) = ktcos( -0t) (1-8)24又由 丁 kj = nxco/c，kr = nAco/c, k= n2a)/c、得乜=0(反射角等于入射角)“、v. 1-9)叫sin q = n2 sin 0(折射定律)2.2菲涅耳公式折、反射定律给出了反射波、折射波和入射波传播方向之间 的关系。而反射波、折射波和入射波在振幅和位相之间的定 量关系由Fresnel公式来描述。电场E是矢量，可将其分解为一对正交的电场分量，一个振 动方向垂直于入射面，称为0分量，另外一个振动方向在(或 者说平行于

6、)入射面，称为0分量。首先研究入射波仅含*分量和仅含0分量这两种特殊情况。向外为正，向内为负。在界面上电场切向分量连续： 另外由式（1-5）. （1-6）,可得Es + Eg Eg （ 2-1）在界面上磁场的切向分量连续： 注意片二丄匸近,如图所示。所以同理有-H（）ipcos6； + H呵 cos? = - cos6；（ 2-2 ）非磁性各向同性介质中E、方的数值之间的关系： 那么式（21）整理为q&cosq +83。. =（2-3） 联立式（21） （2-3）可得（2）单独存在p分量的情形首先规定：P分量按照其在界而上的投影方向，向右为正, 向左为负。根据E、方的边界条件得： 再利用E、方

7、的数值关系以及正交彳 综上所述，s波及P波的反射系数， 上面左边的式子就是著名的Fresne Fresnel公式还可以写成右边的形式2.3反射波和透射波的性质23.1 nln2的情况（1）反射系数和透射系数两个透射系数ts和tp都随着入射角6；增大而单调降低， 即入射波越倾斜，透射波越弱，并且在正向规定下，ts和tp 都大于零，即折射光不发生相位突变。rs始终小于零，其绝对值随着入射角单调增大。根据正方 向规定可知，在界面上反射波电场的s分量振动方向始终与 入射波S分量相反，既存在兀相位突变（又称半波损失）。对于rp,它的代数值随着入射角6；单调减小，但是经历了 一个由正到负的变化。由公式_

8、:史（Q_空, 当厂 0时有q + q = 90 , 即sin q = cos q , 又由折P tan（0+q） P射定律qsinQ = “,sinq ,联立可得此时入射角为布儒斯特角0B =tgl仝。_,2i布儒斯特定律内容：如果平面波以布儒斯特角入射，则不论 入射波的电场振动如何，反射波不再含有P分量，只有S分 量；反射角与折射角互为余角。（2）反射率和透射率上图中44A为波的横截面面积，人为波投射在界面上的而 积。若入射光波的强度为人，则每秒入射到界面上人面积的能量为 又由光强表达式/=丄|耳）|2，上式可写成2如类似地，反射光和折射光的能量表达式为于是反射率和折射率分别为类似地，当入

9、射波只含有p分量的时，可以求出p分量的反 射率Rp和透射率Tp：/?,与7；之间、心与7；之间均存在，互补，关系，即：这表明，在界面处，入射波的能量全部转换为反射波和折射 波的能量（条件：界面处没有散射、吸收等能量损失）。当入射波同时含有s分量和p分量时，由丁-两个分量的方向 互相垂直，所以在任何地点、任何时刻都有： 从而有：类似还有叱=叱$+%,比=%+%可以定义反射率R和透射率T为：R =,T =W,Wi注意：入射光波的s分量（p分量）只对折射率、反射率的s分 量（P分量）有贡献。如果入射波中s和p分量的强度比为a,比则有:曲+即和厂1 + Q刃;+0即R和T分别是&、心和7；、7；的加权

10、平均。但是仍然有:R + T = 正入射时,s分量和P分量的差异消失。若用R0和T0表不 此时的反射率和透射率，则有：恥汗（g恥汗（g）2以及人宀q + n2nA兄（勺 +$）2利用这两个等式可以估算非正入射但是入射角很小佩n2 的情况这种情形即由光密媒质入射到光疏媒质的情形。由折射定律可知，把0=90所对应的入射角称为全反射临界角，用0表示。即 sinQ =匕。因此分QV Q和Q Oe两种情况来讨论。（1）当时此时90 ,可以直接用Fresnel公式来讨论反射波和折射波 的性质，分析方法和nl0，说明无半波损失，正如 上图中的蓝线所示；对于p分量来说，在Q5范围内，r0, 说明有半波损失，而

11、在如0,说明无半波 损失。注意sin0 =tan% =生，所以必然是色n2还是nl0c 时因为全反射临界角满足sinQ二生。由该式可见，当时，会出现sinq生的现象，这显然是不合理的。此时折射定律 吶叱=勺血6不再成立。但是为了能够将菲涅耳公式用于全 反射的情况，在形式上仍然要利用关系式sinq =/isin on2由于在实数范围内不存在，可以将有关参量扩展到复数领 域。而6；始终是实参量，为此应将COS0写成如下的虚数形式: 有关COS&取虚数的物理意义及其取正号的原因，留在后面说 明。将上式代入菲涅耳公式，得到复反射系数并且有式中，n = n2/?!,是二介质的相对折射率；I耳I、巧,1为

12、反射光 与入射光的S分量、p分量光场振幅大小之比。久、冷为全 反射时，反射光中的S分量、p分量光场相对入射光的相位 变化。由上式可见，发生全反射时，反射光强等于入射光强, 而反射光的相位变化较复杂。他们之间的相位差由下式决 定：因此，在n定的情况下，适当地控制入射角，即可改变相 位差，从而改变反射光的偏振状态。比如菲涅耳棱镜的原理。 当光由光密介质射向光疏介质，并在界面上发生全反射时， 投射光强为零。这就有一个问题：此时在光疏介质中有无光 场呢？当把ts、tp的Fresnel公式推广到复数域进行计算，将会发 现ts、tp都不等于零，亦即光疏媒质内有折射光波。在发生 全反射时，光波场将透入到第二

13、个介质很薄的一层（约为光 波波长）范围内，这个波叫倏逝波。现假设介质界面为xOy平面，入射面为xOz平面，则在一般 情况下可将透射波场表示为上式可改写为这是一个沿着z方向振幅衰减，沿着界面x方向传播的非均 匀波，也就是全反射的倏逝波。由此可以说明前面讨论的正 确性：只有csq取虚数形式，并且取正号，才可以得到客观 上存在的倏逝波。倏逝波在入射波刚刚达到界面之初需要花一定的能量以建 立倏逝波电磁场外，当达到稳定状态之后，不需要再向它提 供能量，倏逝波只沿着界面处传播，不进入第二媒质内部。 因而全反射时Rs=l tsHO和Rp=l tpHO并不违反能量守恒 定律。具体性质参看物理光学与应用光学P382.4 Stocks倒逆关系Stokes reversible relation可以导岀不同介质两侧折射系数、 反射系数的关系。如上左图所示，假设入射光束的振幅为A,相应反射光束与 折射光束为Ar, Ato再设一束振幅为Ar的光束逆向传播（上 右图中蓝色光束Ar）相应反射和折射分别是Arr、Art；再设 一束振幅为t的光束逆向传