理论力学第三版-课件

1、理论力学教程（第三版）电子教案理论力学教程（第三版）电子教案使用方法本电子教案是用Microsoft Office中的PowerPoint应用程序制作而成. 在所有安装了Microsoft Office应用程序, 并能够运行自如的计算机上都能够操作使用.本电子教案共分五章, 每章内容都是是以节为单位建立一个独立的PPT文件.使用时, 可以由两种不同的方法打开文件： 1. 直接打开相应章节的PPT文件； 2. 在电子教案的目录中点击相应的章节.使用方法本电子教案是用Microsoft Office中的P前言本电子出版物是与周衍柏编理论力学教程(第三版)主教材配套的电子教案, 其内容涵盖了该教材的

2、全部基本知识点, 其中的章与节完全按照主教材的顺序编排, 每节有一个小结, 每章有部分作业讲解.本课件层次清晰, 界面设计及色彩搭配美观,操作简便, 设计规范. 配合讲解, 穿插了大量的彩色图形和丰富的例题.前言本电子出版物是与周衍柏编理论力学教程(第三版)主教材第0章 绪论 第2章 质点组力学 第3章 刚体力学第4章 转动参考系第5章 分析力学理论 力 学目录第1章 质点力学第0章 绪论 第2章 质点组力学 第3章 刚体力学第4章 0.1 力学的研究对象 0.2 理论力学的内容结构 0.3 力学简史 0.4 力学单位制 0.5 量纲(dimension) 0.6 微积分预备知识 0.7 矢量

3、基本知识第零章 绪论 0.1 力学的研究对象第零章 绪论0.1 力学的研究对象力学（mechanics）的研究对象是机械运动（mechanical motion）经典力学研究在弱引力场中宏观物体的低速运动力学: 运动学、（静力学）、动力学Nature and natures law lay hid in night: God said: let Newton be! And all was light！0.1 力学的研究对象力学（mechanics）的研究对象理论力学与普物力学的关系理论力学是力学的延续与提高主要的概念和定律一样理论力学用高等数学方法处理物理问题分析力学理论力学与普物力学的关系

4、理论力学是力学的延续与提高研究物体机械运动的一般规律理论力学的任务理论力学的研究对象有限个自由度的力学体系两个模型质点刚体研究物体机械运动的一般规律理论力学的任务理论力学的研究对象有理论力学研究的条件宏观低速下质量不变 绝对时间 绝对空间 * v c* 物体的尺度原子,分子尺度理论力学研究的条件宏观低速下质量不变 绝对时间 绝对空理论力学的学习预备知识: 普通力学+高等数学以公理、定律为依据，应用数学推演的方法导出其他定理和结论偏重于问题的提出、求解严格基础训练、强化现代技术应用注重问题的延拓分析培养科学精神理论力学的学习预备知识: 普通力学+高等数学梁昆淼. 力学. (上册) 第四版, 高等

5、教育出版社, 2009梁昆淼. 力学. (下册) 第四版 , 高等教育出版社, 2010赵凯华. 力学. 第二版, 高等教育出版社, 2004卢德馨. 大学物理学.第二版, 高等教育出版社,2003参考书 科学是一种方法，它教导人们：一些事物是怎样被了解的，什么事情是已知的，现在了解到什么程度（因为没有事情是绝对已知的），如何对待疑问和不确定性，证据服从什么法则，如何去思考事物，做出判断，如何区别真伪和表面现象。 理查德. 费曼梁昆淼. 力学. (上册) 第四版, 高等教育出版社, 200.2 理论力学的内容结构 矢量力学是以牛顿运动定律为基础，从分析质量和物体受力情况，由此探讨物体的机械运动

6、规律. 在矢量力学中，涉及的量多数是矢量，如力、动量、动量矩、力矩、冲量等. 力是分析力学中最关键的量. 分析力学以达朗贝尔原理为基础，从分析质量和质量系能量情况，由此探讨物体机械运动规律. 分析力学中涉及的量多数是标量，如动能、势能、拉格朗日函数、哈密顿函数等。动能和势能是最关键的量.矢量力学（即牛顿力学）分析力学0.2 理论力学的内容结构 矢量力学是以牛顿运动定律为0.3 力学简史牛顿力学的建立：在哥白尼(日心说)推翻了托勒密的地心说，和在第谷布拉赫积累的天文观察资料基础上,开普勒发现了行星三定律总结万有引力定律，牛顿总结了三定律(自然哲学的数学原理,1687).分析力学:（1788）拉格

7、朗日力学建立(至此认为力学天衣无缝).近代力学：19世纪末、20世纪初出现了经典力学无法解释的矛盾. 1）高速（与c比）：相对论（爱因斯坦）；2）微观粒子： 量子力学（薛定谔）；3）纳米技术：0.1100nm尺度起关键作用 (原子直径10-10m; 人头发10-4m；人100m).0.3 力学简史牛顿力学的建立：在哥白尼(日心说)推翻了托0.4 力学单位制物理理论组成：概念、概念的数学表示假定、方程组（物理量的关系）选出几个相互独立的物理量作为基本量； 通常基本量都是选取可以直接测量的物理量.由物理规律或定义推出用基本量表示的其他量（导出量）的关系式（称为导出关系式）.确定出基本量的单位（基本

8、单位）；力学常用基本量为 长度： 米（m）、质量：千克（kg） 、时间：秒（s） 单位制通过以下步骤建立：0.4 力学单位制物理理论组成：概念、概念的数学表示假定由导出关系式确定出导出量的单位（导出单位）；基本量的量纲为其本身，并规定用基本量的符号的正体大写字母作为基本量的量纲的符号.导出量的量纲通过导出关系式用基本量的量纲表示.单位制：按照上述方法制定的一套单位.常用单位制: MKS、 CGS、自然单位制.单位制制订要考虑不易变化以及测量的方便程度.由导出关系式确定出导出量的单位（导出单位）；理论力学第三版-课件PPT时间(time)的计量以前定义: 1秒为地球绕自身轴线转动一周(1天)的1

9、/86400.目前时间标准：1秒的长度等于与铯133原子基态两个超精细能级之间跃迁相对应的辐射周期的9 192 631 770倍.未来定义: 原子氢微波激射器？因为它比铯原子钟稳定度高100倍.时间(time)的计量以前定义: 1秒为地球绕自身轴线转动时钟的改进时钟的改进长度(length)的计量空间反映物质运动的广延量, 在三维空间里位置可由三个相互独立的坐标来确定. 空间中两点间的距离为长度.1889年， 第一届国际计量大会: 法国国际计量局铂铱合金棒在0oC时两条刻线间的距离定义为1米.1960年，第十一届国际计量大会：采用氪86原子橙黄光波长的1 650 763.73倍定义为1米, 实

10、现了自然基准.1983年，第十七届国际计量大会：1米定义为光在真空中传播(1/299 792 458)秒的时间间隔内所经路程的长度.长度(length)的计量空间反映物质运动的广延量, 在三维质量(mass)的计量物体所含物质的多少.惯性质量引力质量1889年，第一届国际计量大会：1千克质量的实物基准是保存在法国巴黎国际计量局中的一个特制的、直径和高均为39mm的铂钇合金圆柱体，称为国际千克原器.未来标准: 是否采用自然基准?质量(mass)的计量物体所含物质的多少.物质世界的层次和数量级物质世界的层次和数量级物质世界的层次和数量级物质世界的层次和数量级目前已知质量范围已知宇宙 1053kg银

11、河系 2.21041kg 地球 6.0 1024kg 人 6.0 101kg 灰尘 6.7 10-10kg 烟草花叶病毒 2.3 10-13kg 质子 1.7 10-27kg 电子 9.1 10-31kg 目前已知质量范围已知宇宙 力学量的单位力学量MKS制CGS制工程制长度质量时间速度加速度力动量冲量功,能m(米)kg(千克)s(秒)m/s (米/秒) m/s2(米/秒2)N(牛顿)cm(厘米)g(克)s(秒)cm/s (厘米/秒)cm/s2(厘米/秒2)dyn(达因) erg(尔格)m(米)kgf/ (ms2)s(秒)m/s (米/秒) m/s2(米/秒2)kgf(千克力)力学量的单位力学

12、量MKS制CGS制工程制长度m(米)cm(厘0.5 量纲(dimension)在不考虑数字因子时，表示一个物理量是由哪些基本量导出的以及如何导出的式子，称为这个物理量的量纲.在力学中CGS和MKS单位制的基本量是长度、质量和时间, 它们的量纲分别为L、M和T.任何力学量Q的量纲为Q=LMT，式中, , 为量纲指数.0.5 量纲(dimension)在不考虑数字因子时，量纲分析 定理 设我们在选定单位制中的基本量数目为m，它们的量纲为X1，X2，Xm. 用P代表导出量P的量纲,则上式取对数把lnX1, lnX2, ,lnXm看做m维空间的“正交基矢”，则（a1,a2,am）相当于“矢量”lnP在

13、基矢上的投影.量纲分析 定理 设我们在选定单位制中 设某物理问题内涉及n个物理量(包括物理常量) , 而我们所选的单位制中有m个基本量(nm),则由此可以组成n-m个无量纲的量 . 在物理量 之间存在的函数关系式定理可表达成相应的无量纲形式或者从上式把 解出来：n=m的情况下，有两种可能. 若 的量纲彼此独立，则不能由它们组成无量纲的量；如不独立，则还可能组成无量纲的量. 设某物理问题内涉及n个物理量(包括物理常量) 例1 虽然单个微粒撞击墙壁的力是局部而短暂的脉冲, 但大量粒子撞击的平均效果就是均匀而持久的压力. 如设粒子流中每个粒子的速度都垂直于墙壁,并大小一样, 皆为v. 粒子质量为m,

14、 单位体积内的粒子数为n. 试导出墙壁受到的压强与上述三个物理量之间的关系.解:这是一个力学问题,有三个基本量, 质量、长度和时间,即m=3.本题涉及的物理量: n, m ,v ,P (m=4)的量纲分别为:由于只有3个基本量, 相当于3维基矢空间, 所以上述4个量只有3个是线性无关的. 设前3个是无关量, 则有(1)例1 虽然单个微粒撞击墙壁的力是局部而短暂的脉冲, 但大量粒将(1)式代入,则有由于lnM,lnL,lnT是正交基矢,在上式中它们的系数应分别相等,求解上述方程组, 得到将(1)式代入,则有由于lnM,lnL,lnT是正交基矢,在于是我们得到从而得到k是一个无量纲的数学常数, 根

15、据具体情况不同, k可能变化, 而压强与这三个物理量的关系是不变的.总结: 利用量纲分析,虽然不能完全定量的给出物理问题的答案,但是能够对物理问题提供一个简便的分析思路,甚至不需要知道定律和物理机制的细节.于是我们得到从而得到k是一个无量纲的数学常数, 根据具体情况例2 用量纲分析法证明勾股定理解:直角三角形的面积A可由它的一边(例如斜边c)和一个锐角(如)所决定. 是无量纲的, 所以如图,作c边的垂线将三角形分成两个与原来相似的小直角三角形,它们各有一个同样的锐角, 故它们的面积应分别为由A=A1+A2得消去(),即得这样我们就利用量纲分析定量的得到了勾股定理.cab例2 用量纲分析法证明勾

16、股定理解:直角三角形的面积A可由它的0.6 微积分预备知识1 常见函数的导数0.6 微积分预备知识1 常见函数的导数2 导数运算定理2 导数运算定理3 常见函数的幂级数展开式函数 展开式 收敛范围3 常见函数的幂级数展开式函数 理论力学第三版-课件PPT4 基本不定积分公式函数 f (x) 不定积分4 基本不定积分公式函数 f (x) 5 积分运算定理(i) 如果f (x) =a u(x) (a是常量),则(ii) 如果f (x) = u(x) v(x), 则(iii) 如果f (x) = u(v) v(x), 则5 积分运算定理(i) 如果f (x) =a u(x) (a 标量(scalar

17、): 物理学中像质量、密度、能量、温度、压强等，在选定单位后仅需用一个数字来表示其大小的物理量. 矢量(vector): 像位移、速度、加速度、动量、力等,除数量大小外还有一定的方向,并遵从一定的合成法则与随坐标变换的法则的物理量.0.7 矢量基本知识xyzAxAyAz 标量(scalar): 物理学中像质量、密度、能量、温度1 矢量的加减法考虑n维矢量，则2 矢量的标积A和B是两个任意矢量,它们的标积定义为(交换律)(分配律)1 矢量的加减法考虑n维矢量，则2 矢量的标积A和B是两个任3 矢量的矢积(反交换律)和 是两个任意矢量,它们的矢积定义为3 矢量的矢积(反交换律)和 是两个任意矢量,

18、它们的4 矢量的三重积物理学中经常遇到矢量的三重积,常见的两种(i)三重标积(ii)三重矢积显然这个矢积还是在矢量B和C平面内.4 矢量的三重积物理学中经常遇到矢量的三重积,常见的两种(i第一章 质点力学1.1 运动的描述方式1.2 速度、加速度的分量形式1.3 平动参考系1.4 质点运动定律1.5 质点运动微分方程1.6 非惯性系动力学（一）1.7 功与能1.8 质点动力学的基本定理与基本守恒定律1.9 有心力第一章部分作业解答第一章 质点力学1.1 运动的描述方式质点运动学质点动力学质点运动学质点动力学研究物体运动的几何性质运动学所涉及的研究内容包括：1.建立物体的运动方程2.分析运动的速

19、度、加速度、角速度、角加速度等3.研究运动的分解与合成规律运动学的主要内容研究物体运动的几何性质运动学所涉及的研究内容包括：运动学的主质点运动学导读参考系、坐标系、质点位矢运动学方程、轨道位移、速度、加速度自然坐标系，切向、法向加速度相对运动, 绝对(加)速度、相对(加)速度、牵连(加)速度质点运动学导读参考系、坐标系、质点位矢本节导读质点、参考系、坐标系、质点位矢运动学方程、轨道位移、速度、加速度1.1 运动的描述本节导读质点、参考系、坐标系、质点位矢1.1 运动的描述1 质点具有一定质量的几何点自由质点：可以在空间自由运动的质点. 确定一个自由质点在空间的位置需要三个独立变量.2 参考系

20、坐标系参考系：为描述物体的运动而选取的参考物体用以标定物体的空间位置而设置的坐标系统坐标系：1 质点具有一定质量的几何点自由质点：可以在空间自由运动的质3 位置矢量与运动方程位置矢量（位矢）从坐标原点O出发，指向质点所在位置P的一有向线段位矢用坐标值表示为位矢的大小为位矢的方向P(x,y,z)zyxO3 位置矢量与运动方程位置矢量（位矢）位矢用坐标值表示为位矢运动方程参数形式轨道方程运动方程参数形式轨道方程4 位移设质点作曲线运动t 时刻位于A点，位矢t+t时刻位于B点，位矢 质点相对于某参考系运动时，位置连续变化. 在给定时间内，联结质点初位置A和末位置B的直线，并从A指向B加上箭头，叫做质

21、点在给定时间内的位移.zyxOBA4 位移设质点作曲线运动 质点相对于某参考系运动时5 速度速度是反映质点运动的快慢和方向的物理量定义：单位时间内质点所发生的位移(1)平均速度BAOzyx(2) 瞬时速度速度的方向为轨道上质点所在处的切线方向.5 速度速度是反映质点运动的快慢和方向的物理量定义：单位时间(3) 速率一般情况：当t0时：sBA(3) 速率一般情况：当t0时：sBA6 加速度加速度是反映速度变化的物理量平均加速度xOzy瞬时加速度6 加速度加速度是反映速度变化的物理量平均加速度xOzy瞬时第二章 质点组力学2.1 质点组2.2 动量定理与动量守恒定律2.3 动量矩定理与动量矩守恒定

22、律2.4 动能定理与机械能守恒定律2.5 两体问题2.6 质心坐标系与实验室坐标系2.7 变质量物体的运动2.8 位力定理第二章部分作业解答第二章 质点组力学2.1 质点组第二章 质点组力学第二章 本节导读质点组系统内力系统外力 质心2.1 质点组本节导读质点组2.1 质点组1质点组的内力和外力设 有n个质点构成一个系统第i个质点：外力内力质量im1m21质点组的内力和外力设 有n个质点构成一个系统第i个质点：2 质心 质点组质量分布的平均位置，称为质点系的质量中心简称“质心”n个质点，质量： m1，m2，mn质心位置：位置矢量： ，zyxC2 质心 质点组质量分布的平均位置，称为质点系的质量

23、中心简质心位置的分量式：连续体的质心位置：对于密度均匀，形状对称的物体，其质心都在它的几何中心.说明：质心位置的分量式：连续体的质心位置：对于密度均匀，形状对称的 例1 水分子 H2O 的结构如图. 每个氢原子和氧原子之间距离均为 d = 1.010 -10 m, 氢原子 和氧原子 两条连线间的夹角为 = 104.6. 求水分子的质心OHHoCdd52.3o52.3o 解: 由于氢原子对 x 轴对称，故 yC = 0 .代入数据 xC = 6.810-12 m 例1 水分子 H2O 的结构如图. 每个 例2 求半径为 R 的匀质半薄球壳的质心. 解 在半球壳上取一圆环, 其质量 由于球壳关于

24、y 轴对称，故 xC = zC = 0OR 例2 求半径为 R 的匀质半薄球壳的质心. 小 结1 质点组有许多相互联系着的质点所组成的系统2 内力: 质点组中质点间相互作用力3 质点组中任何两个质点相互作用满足牛顿运动第三定律4 质心: 质点组的全部质量可以认为集中在质心上.小 结1 质点组有许多相互联系着的质点所组成的系统4 质心:第三章 刚体力学3.1 刚体运动的分析3.2 角速度矢量3.3 欧拉角3.4 刚体运动方程与平衡方程3.5 转动惯量3.6 刚体的平动与绕固定轴的转动3.7 刚体的平面平行运动3.8 刚体绕固定点的转动3.9 重刚体绕固定点转动的解第三章部分作业解答第三章 刚体力

25、学3.1 刚体运动的分析第三章 刚体力学第三章 刚体学习方法类比法刚体学习方法类比法本节导读 描述刚体运动的自由度 刚体运动分类：平动、转动3.1 刚体运动的分析本节导读 描述刚体运动的自由度3.1 刚体运动的分析形状和大小都不变的物体任意两质点之间的距离保持不变的质点系刚体：形状和大小都不变的物体任意两质点之间的距离保持不变的质点系刚1 平动: 刚体在运动过程中, 其上任意两点的连线始终保持平行. 可以用一个质点的运动来描述刚体的平动. 刚体平动 质点运动1 平动: 刚体在运动过程中, 其上任意两点的连线始终保持平2 转动: 刚体上所有质点都绕同一直线作圆周运动. 这 条直线称为转轴. 转动

26、由转轴位置参量和圆周运动参数来描述.2 转动: 刚体上所有质点都绕同一直线作圆周运动. 这转动由定轴转动：转轴固定不动的转动.转轴上的质点不动. 只需一个量描述刚体绕该轴转动的角度, 就确定了刚体的位置(一个变量).定轴转动：转轴固定不动的转动.转轴上的质点不动. 只需一个量3 平面平行运动： 一点始终在固定平面内运动. 这时运动可分解为一平面内一点的平动及绕通过此点且垂直于固定平面的固定轴的转动(三个变量).3 平面平行运动： 4 定点转动： 一点固定不动, 刚体围绕过这点的某一瞬时轴转动(三个变量).4 定点转动： 一点固定不动,5 一般运动： 刚体不受任何约束，可以在空间任意运动. 质心

27、的平动绕质心的转动+5 一般运动： 小结刚体运动形式: 平动 定轴转动 平行平面运动 定点运动 一般运动对应自由度数: 3 3 33 6小结刚体运动形式: 对应自由度数: 第四章 转动参考系4.1 平面转动参考系4.2 空间转动参考系4.3 非惯性系动力学（二）4.4 地球自转所产生的影响第四章部分作业解答第四章 转动参考系4.1 平面转动参考系第四章 转动参考系第四章 4.1 平面转动参考系 在平板参考系上取坐标系O-xy, 它的原点和静止坐标系原点O重合, O-xy绕着通过O点并垂宜于平板的直线(即z轴)以角速度转动.令单位矢量 固着在平板上的x轴和y轴上. P为平板上一质点因 P 和坐标

28、轴都以角速度 运动, 4.1 平面转动参考系 在平板参考系上取坐标系O-x则P 点相对静止坐标系的速度上式中 和 为P对转动参考系(平板)诸轴的分速度, 合成应为相对速度v. 而y和x，是由于平板转动而带动P一同转动所引起的，故应为牵连速度 ，因此相对速度 牵连速度则P 点相对静止坐标系的速度上式中 和 为P对P的加速度为相对加速度 向心加速度 切向加速度 科里奥利加速度P相对平板 平板转动 平板变速转动 牵连和相对纠缠也可以简写为相对加速度 牵连加速度 科里奥利加速度P的加速度为相对加速度 向心加速度 科里奥利加速度, 简称科氏加速度. 在静止系中的观察者看来, 牵连运动(即 )可使相对速度

29、 发生改变, 而相对运动 ( 即 ) 又同时使牵连速度 中的 发生改变, 即科里奥利加速度 是由牵连运动与相对运动相互影响所产生的. 其方向垂直于 及 所决定的平面并且依右手螺旋法则定其指向. 如 与 者中有一为零, 则此项加速度即为零. 科里奥利加速度, 简称科氏加速度. 小结相对速度 牵连速度相对加速度 向心加速度 切向加速度 科里奥利加速度P相对平板 平板转动 平板变速转动 牵连和相对纠缠平面转动参照系小结相对速度 牵连速度相对加速度 向心加速第五章 分析力学5.1 约束与广义坐标5.2 虚功原理5.3 拉格朗日方程5.4 小振动5.5 哈密顿正则方程5.6 泊松括号与泊松定理5.7 哈

30、密顿原理5.8 正则变换第五章部分作业解答第五章 分析力学5.1 约束与广义坐标第五章分析力学拉格朗日哈密顿第五章拉格朗日哈密顿 为什么要学习分析力学? 前面是按“牛顿方式”研究力学问题, 它着重分析力、动量、速度、加速度、角动量、力矩等矢量, 称作“矢量力学”. 它运用牛顿运动定律处理力学问题, 称作“牛顿力学”. 建立了运动方程,并不意味着大功告成.因为还没有一般方法求得运动微分方程的解. 如何寻找方程的积分以及利用这些积分,如何定性研究解的结构和定量地进行计算,这些都是力学中极为重要的课题.牛顿方式在这些问题上会遇到困难 实际力学系统往往存在限制(约束),而约束力又取决于运动情况,它们作

31、为未知量出现于运动方程中, 牛顿方式对于受约束的力学系统并不方便. 为什么要学习分析力学? 前面是按“牛顿方式” 研究光、电磁场、微观粒子等物理现象时,整个牛顿力学的基本观念都受到了挑战.在人们不得不承认新的物理事实相对论效应,波粒二象性等之后,就需要在古典力学理论中寻找这样一种理论,它能较顺利地超越古典概念的束缚,自然地跳向非古典力学相对论力学、量子力学等 分析力学是数学、力学研究者为克服上述困难所取得的成果的一部分, 在一定程度上解决了上述问题(并未全部解决,有关的研究现在还在继续). 它给出了力学系统在完全一般性的广义坐标下具有不变形式的动力学方程组，并突出了能量函数的意义. 研究光、电

32、磁场、微观粒子等物理现象时,整个牛顿力学的基 分析力学概括了比牛顿力学广泛得多的系统, 分析力学的数学形式有着极好的性质, 它不仅提供了解决天体力学及一系列动力学问题的较佳途径, 同时给量子力学的发展提供了启示, 最适于成为引向现代物理的跳板. 其最小作用量原理提供了建立相对论力学和量子力学最简练而富有概括性的出发点. 分析力学代表作：1788年拉格朗日的分析力学. 全书没有一张图, 是完全用数学分析来解决所有的力学问题. 1834年哈密顿：坐标和动量为独立变量, 将微分方程的阶数降为一. 1843年引入变分法, 提出了哈密顿方程, 完善了分析力学. 直到最近, 分析力学在非线性非完整系统中的

33、研究, 非保守系统中奇异吸引子的发现以及有关“浑沌”现象的研究等等, 正在丰富着分析力学的内容, 且大大开阔了它的应用范围. 分析力学概括了比牛顿力学广泛得多的系统, 分析力学的本节导读 约束的概念 约束方程 约束分类 约束力自由度广义坐标5.1 约束与广义坐标本节导读 约束的概念 5.1 约束与广义坐标1 约束的概念 机械运动是物体空间位置随着时间的推移而变动, 对机械运动所加的强制性的限制条件称为约束. 约束条件对运动的限制由一些力来体现, 这些力一般不是给定的, 而是与运动状况有关的未知力. 因此, 对于动力学问题, 约束也应作为一个基本因素加以考虑. 一个质点可用矢径 或三个坐标表示,

34、 n个质点组成的系统, 则由n个矢径或3n个坐标描述, 它们确定每一时刻各质点的位置以及质点组的形状确定系统的位形. 1 约束的概念 机械运动是物体空间位置随着时 位形不能决定系统的“力学状态”, 仅由某时刻的位形不能预言在下一个时刻系统的位形. 对于n个质点的系统，还需知道n个速度矢量才能确定系统的状态 给定了某一时刻的坐标和速度, 由动力学方程原则上单值地确定该时刻的加速度, 因而能够唯一地确定下一个时刻(或前一个时刻)的坐标和速度, 以此类推, 当知道某一时刻的状态, 就知道了系统在任一时刻的状态 位形不能决定系统的“力学状态”, 仅由某时刻的位 几乎所有的力学系统都存在着约束. 例如,

35、 刚体内任意两质点间距离不变, 两个刚体用铰链连接, 轮子无滑动地滚动, 两个质点用不可伸长的绳连接等等. 对状态的限制也就是对力学系统内各质点的位置和速度加以限制, 其数学表示式是 约束方程坐标和速度必须满足的条件称为约束条件. 几乎所有的力学系统都存在着约束. 例如, 刚体 某些约束仅对力学系统的几何位置加以限制, 而对各质点的速度没有限制, 这种约束称为几何约束, 其数学表示式是例如，刚体内任意两点间的距离保持不变就是一种几何约束. 对于涉及力学系统运动情况的约束, 即对速度也有限制的, 则称为运动约束, 约束中显含速度. 某些约束仅对力学系统的几何位置加以限制, 而例如: 半径为R的圆

36、柱在地面上沿着直线作无滑动地滚动. 这意味着着地点的速度为零.运动约束亦称为微分约束或速度约束 几何约束的约束方程虽然不显含速度项, 但实际上它在对位置限制的同时也对系统的速度给予了限制, 事实上, 由式(5.1)对时间求全导数, 得COyxvCC*例如: 半径为R的圆柱在地面上沿着直线作无滑动地滚动. 这意 有些运动约束又可以通过积分成为几何约束. 例如圆柱无滑动地滚动的约束方程很容易积分为化成几何约束的约束方程. 可积分的运动约束与几何约束在物理实质上没有区别, 合称为完整约束. 不可积的运动约束, 即不能化为几何约束的运动约束, 它们在物理实质上不同于几何约束,称为非完整约束. 几何约束

37、和运动约束是按数学表达形式来分类的, 完整约束和非完整约束是按物理实质来分类的. 有些运动约束又可以通过积分成为几何约束. 例如非完整约束举例 具有尖锐边缘的薄圆盘在粗糙面上无滑动地滚动, 则圆盘的着地点的速度为零. 薄圆盘的盘面是可以转动的, 但如盘面始终保持竖直, 着地点的速度为零,可表为 把上式投影到x轴和y轴上,得 式中x0和y0是盘心的坐标. 这两个微分关系是不能积分的.非完整约束举例 具有尖锐边缘的薄圆盘在粗糙面上无滑动因为当薄圆盘沿着长度各不相同的不同闭合曲线循行一周回到原处时，盘心坐标(x0，y0)和角都可以回复到原来的值，但 却未必也恰好回复原值. 这就是说，在x0, y0,

38、 和之间并不存在一种确定不变的关系. 这种运动约束是不可能积分的.因为当薄圆盘沿着长度各不相同的不同闭合曲线循行一周回到原处时 例 冰面上滑行的冰刀的简化模型. 假定将冰刀抽象为以刚性轻杆相连的两个质点,并设两质点质量相等, 杆长为l, 当冰刀在冰面上运动时, 质心(杆的中点)的速度只能沿杆的方向. 选两质点在冰面上的坐标为(x1,y1)和(x2,y2)，则约束条件为OyxAx2y2x1y1BvA 例 冰面上滑行的冰刀的简化模型. 假定将冰刀抽象为以刚前一个约束条件反映杆长不变, 是几何约束, 即完整约束. 后一个约束条件反映质心速度沿杆的方向, 是运动约束; 由于它是不可积的, 即不能化为几

39、何约束, 因而是非完整约束. 后一个约束也可表示为这意味着它是对无限小变化的限制.前一个约束条件反映杆长不变, 是几何约束, 即完整约束. 后 约束还分为稳定约束和不稳定约束. 稳定约束不直接依赖于时间, 其数学表达式不显含时间; 不稳定约束则明显依赖于时间, 其效学表达式显含时间. 此外，约束还可分为单侧约束(可解约束)和双侧约束(不可解). 单侧约束只在某一侧限制系统的运动, 至于向另一侧的运动则是 完全自由的. BByxOyxO 约束还分为稳定约束和不稳定约束. 例如: 单摆的不可伸长的悬绳限制摆球不得向绳伸长的方向运动，但向绳缩短的方向运动却是自由的. yxOAA0lyxOAA0l例如

40、: 单摆的不可伸长的悬绳限制摆球不得向绳伸长的方向运动，单侧约束的数学表示式是不等式, 一般可写为 称为约束不等式. 单侧约束是有可能解除的. 约束是否解除或者何时解除, 需要从运动方程解出约束力, 再从约束力的指向是否正确来判断. 双侧约束限制着不论哪一侧的运动,其数学表示式是 (5.1)或(5.2)所示的约束方程.单侧约束的数学表示式是不等式, 一般可写为 称为约束不2 约束力 根据牛顿定律, 一切影响质点机械运动的因素都归结为力.因此约束作用也可以归结为力.约束力的大小随力学系统违背约束的趋势的不同而自动调节, 使约束条件总是得以满足.因此出现在运动方程中的约束力不可能预先给定,它只能由运动方程并结合约束方程解出来. 一般将作用于第i个质点的约束力记作Ri, 而把作用于同一质点的其余的力称为主动力，记作Fi. 有的资料把约束力称为约束反力，因为这种