最新正弦定理知识点总结(精华)与试题

1、精品文档正弦定理知识点总结（精华）与试题1特殊情况： 直角三角形中的正弦定理：sinA=acsinB=bcsinC=1即： c=asin Ac=bsin Bc=csin Casin Ab=sin B=csin C2能否推广到斜三角形？证明一（传统证法）在任意斜ABC 当中：=111 ABCab sin Cac sin Bbc sin AS222两边同除以1abc 即得：ab=c2=sin Csin Asin B3用向量证明：BB证二：过 A 作单位向量j垂直于 ACjjACAC + CB = AB 两边同乘以单位向量jACj ?( AC + CB )= j ? AB则： j ? AC + j?

2、 CB = j ? AB | j |?| AC |cos90 +| j|?| CB |cos(90C)=|j|?| AB |cos(90A) a sin Cc sin Aac=sin Asin C同理：若过 C 作 j垂直于 CB得：cba=bc=sin B=sin Csin Bsin Asin C当 ABC 为钝角三角形时，设A90过 A 作单位向量j垂直于向量 AC正弦定理：在一个三角形中各边和它所对角的正弦比相等，a=b=csin Asin Bsin C注意：（ 1）正弦定理适合于任何三角形。（ 2）可以证明a=b=c（ R 为 ABC 外接圆半径）=2Rsin Asin Bsin C3

3、）每个等式可视为一个方程：知三求一精品文档精品文档5.知识点整理（ 1）正弦定理：在C 中， a 、 b 、 c 分别为角、C的对边， R为C的外接圆的半径，则有abcsinsin2R sin C（ 2）正弦定理的变形公式： a 2Rsin， b2R sin， c2Rsin C ； sinabc， sin， sin C；2R2R2R a : b : csin:sin:sin C ；abcabcsinsin C sinsinsin Csin6、应用：正弦定理可以用于解决已知两角和一边求另两边和一角的问题。例 1、已知在ABC 中， c 10, A45 0 , C 30 0 ,求 a, b和 B解

4、：acc sin A10 sin 45 0sin A,asin 30010 2sin Csin CB1800( AC )1050又bc, bc sin B10sin105020 sin 750206256 52sin B sin Csin Csin 3004练习：1、在 ABC00中，已知 A=45 ,B=60,a=42 ，解三角形 .2、在 ABC 中， AC=3 ， A=45， C=75，则 BC 的长为3、在 ABC 中， B=45,C=60,c=1 ，则最短边的边长等于：正弦定理可用于解决已知两边及一边的对角，求其他边和角的问题例 2 1 在ABC 中， b3, B600 , c1,

5、求 a和 A,C精品文档精品文档解：bccsin B1sin 6001,sin Cb32sin Bsin Cbc, B600,CB, C为锐角， C300,B900ab2c 22例 22ABC中， c6, A450 , a2, 求 b和 B,C解：ac,sin Cc sin A6 sin 4503sin Aa22sin Cc sin Aac,C600 或1200当 C600时， B75 0 , bc sin B6 sin 75 031，sin Csin 60 0当 C1200时， B150 , bc sin B6 sin 15031sin Csin 600b31, B 750 , C 600

6、或 b31, B 150,C1200注意： 在ABC 中，已知 a, b和 A时解 三角形的情况：1） 当A为锐角2） 当 A 为直角或钝角练习：1. ABC 的内角 A、 B、 C 的对边分别为a、 b、 c，若 c2， b6， B120 ，则 a 等于 （）精品文档精品文档A 6B 2C 3D 22、已知ABC 中，A, B,C 的对边分别为 a, b, c 若 a c62 且A 75o ，则 b ( )A.2B42 3C42 3D 623、在 ABC 中，若 tan A1150 ， BC1，则 AB.， C34、已知 ABC中， a3, b2, B450 , 解三角形：运用正弦定理判定三

7、角形的个数问题例 3：在 ABC中，分别根据下列条件指出解的个数（ 1）、 a=4,b=5,A=30 0;(2)、 a=5,b=4,A=60 0;(3) 、 a3, b2, B1200 ;(3)、 a3, b6, A600.练习：1符合下列条件的三角形有且只有一个的是（）A a=1,b=2 ,c=3B a=1,b=2 , A=30 a=1,b=2, A=100 D b=c=1, B=45：正弦定理变形运用1、在 ABC中， a=5， b=3，C=1200, 则 sinA:sinB=精品文档精品文档2、在 ABC中， acosB=bcosA, 则 ABC为（ ）A、直角三角形B 、等腰三角形 C 、等腰直角三角形D 、钝角三角形3、在 ABC中，若 b=2asinB, 则 A=4、在 ABC中，若 sin AcosB ,则 B的值为ab5、在 ABC中， a:b:c=1:3:5,则 2sin A sin B 的值为sin C6、在 ABC中，已知sinA:sinB:sinC=4:5:6,且 a+b+c=30，则 a=7、若三角形的三个内角之比为1： 2：3，则该三角形的三边之比为8、在 ABC中， A 600, a13, 则a b c等于sin Asin Bsin C9