(浙江版)2023年高考数学一轮复习专题3.5导数的综合应用(讲)

1、内部文件，版权追溯专题3.5 导数的综合应用【考纲解读】考 点考纲内容5年统计分析预测导数在研究函数中的应用了解函数极值的概念及函数在某点取到极值的条件，会用导数求函数的极大值、极小值，会求闭区间上函数的最大值、最小值，会用导数解决某些实际问题.2023浙江文科21，理科8，22；2023浙江文科21，理科22；2023浙江卷7，20. 1.以研究函数的单调性、单调区间、极值最值等问题为主，与不等式、函数与方程、函数的图象相结合； 2.单独考查利用导数研究函数的某一性质以小题呈现，综合研究函数的性质以大题呈现；3.适度关注生活中的优化问题.3.备考重点： (1) 熟练掌握导数公式及导数的四那么

2、运算法那么是根底；(2) 熟练掌握利用导数研究函数的单调性、极值最值的根本方法，灵活运用数形结合思想、分类讨论思想、函数方程思想等，分析问题解决问题.【知识清单】1.利用导数研究函数的图象与性质函数图象的识别主要利用函数的定义域、值域、奇偶性、单调性以及函数值的符号等.解决此类问题应先观察选项的不同之处，然后根据不同之处研究函数的相关性质，进而得到正确的选项.如该题中函数解析式虽然比拟复杂，但借助函数的定义域与函数的单调性很容易利用排除法得到正确选项.对点练习：【2023浙江卷】函数y=f(x)的导函数的图像如下图，那么函数y=f(x)的图像可能是【答案】D2与函数零点有关的参数范围问题1方程

3、有实根函数的图象与轴有交点函数有零点2求极值的步骤：先求的根定义域内的或者定义域端点的根舍去；分析两侧导数的符号：假设左侧导数负右侧导数正，那么为极小值点；假设左侧导数正右侧导数负，那么为极大值点.3求函数的单调区间、极值、最值是统一的，极值是函数的拐点，也是单调区间的划分点，而求函数的最值是在求极值的根底上，通过判断函数的大致图像，从而得到最值,大前提是要考虑函数的定义域.4函数的零点就是的根，所以可通过解方程得零点，或者通过变形转化为两个熟悉函数图象的交点横坐标.对点练习：【2023新课标1卷】函数有两个零点.(I)求a的取值范围；(II)设x1,x2是的两个零点,证明：.【答案】【解析】

4、i设,那么,只有一个零点ii设,那么当时,；当时,所以在上单调递减,在上单调递增又,取满足且,那么,故存在两个零点不妨设,由知,在上单调递减,所以等价于,即由于,而,所以设,那么所以当时,而,故当时,从而,故3与不等式恒成立、有解、无解等问题有关的参数范围问题不等式的恒成立问题和有解问题、无解问题是联系函数、方程、不等式的纽带和桥梁，也是高考的重点和热点问题，往往用到的方法是依据不等式的特点，等价变形，构造函数，借助图象观察，或参变别离，转化为求函数的最值问题来处理 ：对点练习：设，函数，假设对任意的，都有成立，那么的取值范围为【答案】4利用导数证明、解不等式问题无论不等式的证明还是解不等式，

5、构造函数，运用函数的思想，利用导数研究函数的性质单调性和最值，到达解题的目的，是一成不变的思路，合理构思，善于从不同角度分析问题，是解题的法宝.对点练习：【2023课标II，理】函数，且。(1)求；(2)证明：存在唯一的极大值点，且。【答案】(1)；(2)证明略。【解析】2由1知 ，。设，那么。当 时， ；当 时， ，所以 在 单调递减，在 单调递增。【考点深度剖析】导数是研究函数性质的重要工具，它的突出作用是用于研究函数的单调性、极值与最值、函数的零点等从题型看，往往有一道选择题或填空题，有一道解答题.其中解答题难度较大，常与不等式的证明、方程等结合考查，且有综合化更强的趋势【重点难点突破】

6、考点1 利用导数研究函数的图象与性质【1-1】【2023河南开封10月月考】函数y=4cosx-e|x|e为自然对数的底数的图象可能是 ABC D:【答案】A【解析】函数为偶函数，图象关于轴对称，排除B、D，假设时，当，当时，那么，函数在上为减函数，选A.【1-2】【2023全国卷】函数y2x2e|x|在2,2的图象大致为()【答案】D【领悟技法】导数图象与原函数图象的关系：假设导函数图象与轴的交点为，且图象在两侧附近连续分布于轴上下方，那么为原函数单调性的拐点，运用导数知识来讨论函数单调性时，由导函数的正负，得出原函数的单调区间【触类旁通】【变式一】【2023江西新余二模】将函数图象上各点的

7、横坐标伸长为原来的2倍纵坐标不变后得到的图象，设，那么的图象大致为 【答案】A【变式二】【2023丽水模拟】设函数f(x)在R上可导，其导函数为f(x)，且函数y(1x)f(x)的图象如下图，那么以下结论中一定成立的是()A函数f(x)有极大值f(2)和极小值f(1)B函数f(x)有极大值f(2)和极小值f(1)C函数f(x)有极大值f(2)和极小值f(2)D函数f(x)有极大值f(2)和极小值f(2)【答案】D【解析】由题图，当x2时，f(x)0；当2x1时，f(x)0；当1x2时，f(x)0；当x2时，f(x)0.由此可以得到函数f(x)在x2处取得极大值，在x2处取得极小值考点2 与函数

8、零点有关的参数范围问题【2-1】【2023浙江杭州二模】设方程，为自然对数的底数，那么 A. 当时，方程没有实数根 B. 当时，方程有一个实数根C. 当时，方程有三个实数根 D. 当时，方程有两个实数根【答案】D【2-2】【2023课标3，理11】函数有唯一零点，那么a=ABCD1【答案】C【解析】试题分析：函数的零点满足，设，那么，当时，当时，函数 单调递减，当时，函数 单调递增，当时，函数取得最小值，设 ，当时，函数取得最小值 ，【领悟技法】1.确定零点的个数问题：可利用数形结合的方法判断交点个数，如果函数较为复杂，可结合导数知识确定极值点和单调区间从而确定其大致图象. 2.方程的有解问题

9、就是判断是否存在零点的问题，可参变别离，转化为求函数的值域问题处理.3.与函数零点有关的参数范围问题，往往利用导数研究函数的单调区间和极值点，并结合特殊点，从而判断函数的大致图像，讨论其图象与 轴的位置关系，进而确定参数的取值范围；或通过对方程等价变形转化为两个函数图象的交点问题【触类旁通】【变式一】【2023湖南长沙二模】函数是定义在上的奇函数，且当时，那么对任意，函数的零点个数至多有 A. 3个 B. 4个 C. 6个 D. 9个【答案】A【解析】当时,由此可知在上单调递减，在上单调递增，,且,数是定义在上的奇函数，而时，,所以的图象如图，令,那么，由图可知，当时方程至多3个根，当时方程没

10、有根，而对任意，至多有一个根，从而函数的零点个数至多有3个.【变式二】【2023安徽阜阳二模】函数是自然对数的底数 .1当是，求证：；2假设函数有两个零点，求的取值范围.【答案】见解析;试题解析：，.得：且在上单增，在上单减故等价于在上有唯一极大值点得：故令，那么又在上单增，由，得综上，考点3 与不等式恒成立、有解、无解等问题有关的参数范围问题【3-1】假设不等式对恒成立，那么实数的取值范围是.【答案】所以在上是增函数，在是减函数.所以，所以.(2)令，那么，因为，所以，所以易知，所以在上是增函数.易知当时，故在上无最小值，所以在上不能恒成立.综上所述，即实数的取值范围是.【3-2】函数1求在

11、上的最小值；2假设关于的不等式只有两个整数解，求实数的取值范围【答案】1 ；2.【解析】假设，的最小值为，4分假设，的最小值为，综上，当时，的最小值为；当，的最小值为2由1知，的递增区间为，递减区间为，且在上，又，那么又时，由不等式得或，而解集为，整数解有无数多个，不合题意；时，由不等式得，解集为，整数解有无数多个，不合题意；时，由不等式得或，解集为无整数解，假设不等式有两整数解，那么，综上，实数的取值范围是【领悟技法】含参数的不等式恒成立、有解、无解的处理方法：的图象和图象特点考考虑；构造函数法，一般构造，转化为的最值处理；参变别离法，将不等式等价变形为，或，进而转化为求函数的最值. 【触类

12、旁通】【变式一】函数，假设存在，使得不等式成立，那么实数的取值范围为 A BC D【答案】C【解析】【变式二】【2023福建三明5月质检】函数， 当时，求证：过点有三条直线与曲线相切；当时，求实数的取值范围【答案】I详见解析；II.【解析】解法一：当时，设直线与曲线相切，其切点为，那么曲线在点处的切线方程为：，因为切线过点，所以，即，设，在三个区间上至少各有一个根又因为一元三次方程至多有三个根，所以方程恰有三个根，故过点有三条直线与曲线相切1当时，从而当且仅当时，等号成立在上单调递增，又，当时，从而当时，在上单调递减，又，从而当时，即于是当时，2当时，令，得，故当时，在上单调递减，又，当时，从

13、而当时，解法二：当时，设直线与曲线相切，其切点为，那么曲线在点处的切线方程为，因为切线过点，所以，即，设，那么，令得当变化时，变化情况如下表：+0-0+极大值极小值考点4利用导数证明、解不等式问题【4-1】假设的定义域为，恒成立，那么解集为A B C D【答案】B【解析】构造函数，那么，所以函数在定义域上单调递增，又，所以解集为.【4-2】【2023浙江温州二模】f(1当x0，当0|x|【答案】1详见解析；2详见解析.【解析】试题解析：证明：1考虑函数(x)=那么(x)从而故(x)在(-,0)因此对任意xR，都有即ex-1-x所以当x2由可知当0|x|ln即当0 xg(x)在区间D上恒成立的根

14、本方法是构造函数h(x)f(x)g(x)，然后根据函数的单调性，或者函数的最值证明函数h(x)0，其中一个重要技巧就是找到函数h(x)在什么地方可以等于零，这往往就是解决问题的一个突破口.2.利用导数解不等式的根本方法是构造函数，通过研究函数的单调性 ，从而解不等式的方法.【触类旁通】【变式一】【2023广东佛山二模】设函数，其中，是自然对数的底数.假设是上的增函数，求的取值范围；假设，证明：.【答案】;见解析.【解析】试题分析：I由于函数单调递增，故导函数恒为非负数，别离常数后利用导数求得的最小值，由此得到的取值范围；II将原不等式，转化为，令，求出的导数，对分成两类，讨论函数的最小值，由此

15、证得，由此证得.试题解析：令，是上的减函数，又，故1是的唯一零点，当，递增；当，递减；故当时，取得极大值且为最大值，所以，即的取值范围是.令，以下证明当时，的最小值大于0.求导得.当时，；当时，令，那么，又，取且使，即，那么，因为，故存在唯一零点，即有唯一的极值点且为极小值点，又，【变式二】【2023课标3，理21】函数.1假设 ，求a的值；2设m为整数，且对于任意正整数n，求m的最小值.【答案】(1)；(2)【解析】【易错试题常警惕】易错典例：函数.求的单调区间；设，假设对任意，均存在，使得，求的取值范围易错分析：无视定义域致误；对全称量词和特称量词理解不深刻致误正确解析：. 当时， 在区间

16、上，；在区间上，故的单调递增区间是，单调递减区间是. 当时， 在区间和上，；在区间上，故的单调递增区间是和，单调递减区间是. 当时， 故的单调递增区间是.当时， 在区间和上，；在区间上，故的单调递增区间是和，单调递减区间是.当时，在上单调递增，在上单调递减，故.由可知，所以， 综上所述，,温馨提醒：(1)研究函数问题应竖立定义域优先原那么；(2) 任意，指的是区间内的任意一个自变量；存在，指的是区间内存在一个自变量，故此题是恒成立问题和有解问题的组合.【学科素养提升之思想方法篇】化抽象为具体数形结合思想数形结合是一种重要的数学思想方法，包含“以形助数和“以数辅形两个方面，其应用大致可以分为两种情形：或者是借助形的生动和直观性来说明数之间的联系，即以形作为手段，数为目的，比方应用函数的图像来直观地说明函数的性质；或者是借助于数的精确性和标准严密性来说明形的某些属性，即以数作为手段，形作为目的，如应用曲线的方程来精确地说明曲线的几何性质.数形结合的思想，其实质是将抽象的数学语言与直观的图像结合起来，关键是代数问题与图形之间的相互转化，它可以使代数问题几何化，几何问题代数化.在运用数形结合思想分析和解决问题时，要注意