单调性的几个等价命题

1、专题 01 单调性的几个等价命题方法点拨】f (x ) - f (x )函数fx)为定义域在D上的增函数O 对任意x ,x G D，当x丰x时，都有12 0 ；1 212x -x12f (x ) - f (x ) 7f (x ) - kx -f (x ) - kx 对任意x , x G D，当x丰x时，都有11 k o 112 j 0 o函数1212x -xx -x1 2 1 2 f(x)kx 为 D 上的增函数说明：含有地位同等的两个变量x , x或q,r等不等式，进行“尘归尘，土归土”式的整理，是一种常见12 变形，如果整理(即同构)后不等式两边具有结构的一致性，往往暗示单调性(需要预先设

2、定两个变量的 大小).【典型题示例】例1(2021 江苏镇江八校12联考)已知函数fx)的定义域为R,图象恒过(0,1)点，对任意x1, x2 G R,f (x ) - f (x )当x1丰x时，都有x: 1，则不等式f ln(ex 1) 1化f (珥)- x-f (3)- x2 -1x - x1212令 F (x)二 f (x) - x，故 F(x)在 R 上单增，且 F(0)二 f (0) - 0 二 1f ln（ex 一 1） 1 + ln（ex 一 1）可化为 f ln（ex 一 1） - ln（ex 一 1） 1即 Fln（ex 一 1） F（0），所以ln（ex 一 1） 0 ,

3、0 ex-1 1，解之得 1 x ln2所以不等式 f ln（ex 1） 0(a，应移项通分转化为 112 一 0，x -xx -x1 2 1 2即 F(x)=f(x)ax 在 D 单增.例2(2021 江苏南通如皋一抽测22改编)已知函数f (x) = lnx + x2 -3x，对于任意片,x2 G 1，10,m (x - x )当x1 1 -恒成立，则实数m的取值范围是.1212x x12【答案】(-3,-1710【解析】不等式f (x )-f (x )*可变形为f(x)-f (x2【解析】不等式f (x )-f (x )*可变形为f(x)-f (x2 ) -12 x x12 x x1 2

4、 1 2即/ (x )-巴f (x )-竺，当 x ,x e 1,10，且 x x1 x 2 x 1 2112：2恒成立，所以函数y = /（x） - ?在1，10上单调递减.mm令 h(x) = f (x) - 一 = In x + x2 - 3x - 一, x e 1,10 xx1一则 h(x) = + 2x 3 +W 0 在 x e1，10上恒成立,xx 2即- 2x3 + 3x2 x 在 x e l,10上恒成立.设 F(x) = -2x3 + 3x2 - x,则 F(x) = -6x2 + 6x 1 = -621+ .2因为当x e 1,10时，F 3 0,记 a =山，b =炷，f

5、 HO,则a, 2x2- x10.23sin1 c =-十亍A. a b cB. b a cC. c a bD. c b 0，即x x c1 2x - xIL 0 n21x -x12g (x )-g (x )12 c(1)f lnI 3丿ln3ln3 ln3f (-ln3)f (ln3)=(讨)，且0 0.23 sin1 g(sin1) g(ln3)，即 a b c,故答案为:D.巩固训练】1.已知函数f (x)=1.已知函数f (x)=log x,0 x 1满足对任意xi丰X2，都有f(X ) f (x?)x - x12 xi时,D. (1, + 8)f (x ) f (x )不等式 - 0

6、恒成立,xx21则实数a的取值范围为( )( 、/ 、e2e 2fe 1A.8,1 121B.8,1 12丿C.-8込2丿xjn x2x2ln x】3.若对x1，x2e(m,+),且x1x2，都有x2x1 a 恒成立，则实数 a 的取值范围是()5. (2021 江苏无锡天一12月八省联考热身卷8)已知f (x)是定义在-1,11上的奇函数，且f (-1) = -1, 当 a, b g-1,1,且 a + b 丰 0 时，(a + b)( f (a) + f (b) 0 成立，若 f (x) m2 - 2tm +1 对任意的 t g-1,1恒成立，贝y实数m的取值范围是()A. (-8,-2)

7、U0u(2, +8) B. (-8,-2)U(2, +8) c. (-2,2) D. (-2,0)U(0,2)6设函数f (x)是定义在R上的奇函数，f (-2)= 0，若对任意两个不相等的正数r都有则不等式心 0的解集为_xx f (x )- 则不等式心 0的解集为_x2 1 1 2 0 x - x127已知f (x) = alnx + -x2 + x ,若对任意两个不等的正实数x , x2,都有山1丄1恒成立，则a的取212x 2 - x 212值范围是.答案与提示】1.【答案】B【解析】因为函数对任意x1丰 1.【答案】B【解析】因为函数对任意x1丰 x2，都有 f(x1)一 f(x2)

8、 0 成立,1x 一 x12所以函数在定义域内单调递减，所以0 a 14a 一 1 (4a -1) a1 + 2a、log2.【答案】A【解析】由仏丿-丛 x 0得:x x2121令g(x)=xf(x)=ex -ax，可知g (x)在(0, + )上单调递增,0 a 丄.故选 B.6x f (x ) 0在(0,+o)上恒成立，即：3a 0)，则h(x) =(x一2)x3xG(xG(2, +8)时，h(x)0，h(x)单调递增x g(0,2)时,h，(x) 0，h(x)单调递减;fe2a e -8,(12本题正确选项： Ah (x)= h(2)= 3fe2a e -8,(12本题正确选项： Am

9、in443.【答案】C【解析】由题意，当OWmx02时，xn x2 xjn X由勺齐1，等价于 xjnx2x2lnx1x2x1，即 x1lnx2+x1x2lnx1+x2,In x2+1 In x +1 故 x1(ln x2+1)x2(ln x1 + 1)，故x2 x1，In x +1令fx)= x ，则f(x2)f(x1)，又TXzAx/mO,故fx)在(m+p上单调递减,ln x 又由f (x)= x2，令f (x)1，故fx)在(1,+)上单调递减，故m三1.4.【答案】B,【解析】因为x丰x，不妨设x x，则丿 a可化为f (x )- f (x ) a( x - x ),1212x -

10、x121212( )( )( )f(x)-f(x )即 f (x )- ax f (x ) - ax一 ax则1 a恒成立，1122x -x12即f (x )-ax f (x )-ax对任意的x，x e(-8+8)且x x时恒成立，1 1 2 2 1 2 1 2即F(x ) F(x )对任意的x，x e(-8, +8)且x x时恒成立所以F(x) = f (x)ax在r上单增1 2 1 2 1 21故 F (x)= (x - a sin x - ax) = 1 - a cos x - a 0 在 R 上恒成立所以 a 1+cos x=2,所以实数a的取值范围是a 0成立，则f (x)为单调增函

11、数,1 2 1 2 1 2 1 2若f (x ) m2 2tm+1对任意的t &-1,1恒成立，则f (x) m2 - 2tm +1，max即 f (1) 0丨g 0令 g(t) = m2-2tm 0，则 g(t) 0，詔，. m w (2)U(2, +Q，故选Bmin g (-1) 06.【答案】(y,-2)U(2,【解析】构造函数g(x) =，则因为/(x)是定义在R上的奇函数,x故g(x)为定义域是x 1 x主的偶函数,又对任意两个不相等的正数x ,x都有土迟 -2 0 , TOC o 1-5 h z 1 2x - xf (f (x ) f (x )J广一0 g(x)-g(x) 0，故g(x)在(0,也)上为减函数.又f (2)= 0,故g(-2) = g = 0.t2 0 n12 0-2x -xx -x1 2 1 2 综上，g(x)为偶函数，且在(-8,0)上单调递增，在(,+8 )上单调递减. 且 g (-2)= g (2)= 0.故心 0 即 g (x) x，