初中数学知识结构图1

1、 7/7初中数学知识结构图1 初中数学知识结构图 两点说明： 一、初中数学知识总共包括代数、几何、统计概率三部分。本资料亦按照这一架构汇总。 二、背诵本资料请一定把握以下三点： 1、背诵定义，不仅要背诵定义内容，而且一定要牢记定义中的条件要素； （注：大部分定义等同于公式，同样可以用于解题。比如定义的条件就是选择、填空甚至大题必考的考点。） 2、背诵公式，不仅要背诵公式内容，而且一定要熟记书上的标记例题，掌握公式的运用； 3、不管是背诵定义还是公式，头脑中务必要时刻与平时所做的练习题尤其是错题结合起来，加深对有关公式 定义的理解。 （注：以上三条同样适用于其他各学科。） 1 / 16 2 /

2、16 1、代数（这部分主要包括实数、代数式、方程式、不等式、函数五个内容。） 1.1 实数 有理数和无理数统称为实数。（实数包括有理数和无理数。） 有理数：整数与分数统称为有理数。它是有限小数或无限循环小数（带循环节符号，如5.? 36?4）。 1.1.1概念 无理数：无限不循环小数叫无理数。（无限不循环小数：带省略号；与 有关；带根号且开不尽。如5.63；3；3；33） 正整数：如1,2,3 整数 零： 0 （0既不是正数也不是负数） 负整数：如 -1，-2 正分数：如21，34，5.2 分数 负分数：如-3.5，-65 有理数 （通常有 正整数（正数“+”可省略不写，“-”不行。但具体生活

3、题最好写正号，如往东100米写作“+100”） 两种分 正有理数 （我们常常用正数和负数表示一些具有相反意义的量。如往东计正，往西就计负） 类方法） 正分数 零：0 负整数 负有理数 1.1.2 负分数 实数 正无理数 分类 无理数 （通常 负无理数 两种） 正实数（包括正有理数和正无理数） 零 负实数（包括负有理数和负无理数） 1.1.3实数的几个概念及关系（注：要深刻理解相反数、绝对值在数轴上的表述意义。重要！掌握好可快速解有关方程式。） 概念：画一条水平直线，在直线上取一点表示0（这个点叫原点），选取某一长度作为单位长度，规定直线上向右的 方向为正方向，就得到一条数轴。（注：数轴是一条直

4、线。） 原点 三要素正方向 A.数轴单位长度 意义：数轴将数与图形完美结合起来，让数的大小和方程的解集等在图形上变得更直观。（注：每一个实数都可以用数轴 上的一个点来表示。但是说数轴上的点都表示有理数是错误的，因为还有无理数。可以说每一个点都表示实数是对的。） 比较大小：数轴上两个点表示的数，右边的总比左边的大。正数大于0，负数小于0，正数大于负数。 概念：如果两个数只有符号不同，那么我们称其中一个数为另一个数的相反数，也称这两个数互为相反数。 （0的相反数是0） 在数轴上的表述：在数轴上，表示互为相反数的两个点，位于原点的两侧，并且它们到原点的距离相等。反之，在 数轴上，与原点等距离的点表示

5、的数有两个，即相反数。（重要！） B相反数 两个相反数相加等于零：a，b互为相反数，则；反之，a+b=0 则a、b互为相反数。 性质及数学表达式 3 / 16 4 / 16 零减去一个数等于这个数的相反数：0-b=a ，则a 、b 互为相反数。 概念：在数轴上，一个数对应的点与原点之间的距离叫该数的绝对值。（注：距离不能是负数，所以绝对值都是非负数。） 正数的绝对值是它本身：a =a （a 0） 绝对值的性质及 负数的绝对值是它的相反数：a = -a （a 0） 数学表达式 0的绝对值是0：0=0 一个减法式子的绝对值等于大数减小数：b a -=b-a （b a ）如-14.3= -（3.14

6、-）=-3.14 两个负数比较大小，绝对值大的反而小：a 0，b 0，a b ，则a b 绝对值的几何意义： （因为有数轴这个图形，所以就是几何）从绝对值的定义中，我们可以看出，绝对值就是数轴 上一个数对应的点到原点的距离，所以a 就是点a 到原点的距离，而两点之间的距离是两个 数相减，所以a 也可以表示成0-a ，所以a =0-a 。 推而广之，数轴上点a 到点b 的距离就可以表示成b a -； b a +就是点a 到点 -b 的距离。因为b a +=)(b a - 如32-就是数轴上点2到3的距离；32+就是点2到点-3的距离。 绝对值的几何意义在解方程式和不等式中的应用： C 绝对值 解

7、方程和不等式，一种方法就是用传统方法，就是先判断数的正负然后脱绝对值，这样做比较 麻烦，尤 其是做选择题和填空题，也容易出错；另一种方法就是利用几何意义解题。 例1、3+x =7 解题方法：传统做法（略） 几何意义解题：先画数轴，然后标出-3，再找左右两边哪个数与-3的距离是7。 -3 5 / 1 6 0 例2、3-x +4+x =9 -4 3 0 7 1+x +3-x +4+x =9（思考题） 例3、3-x +4+x 9 例4、求3-x +4+x 最小值（注：当x 在两点之间时，x 到两点之间的距离和最短。线段最短。最小值为前数减后数（两 数都带前边的符号）的绝对值。即a x -+b x -

8、的最小值是 )(b a ，x 的取值范围 在两数之间。） 例5、求3-x -4+x 最大值（注：当x 大于等于或小于等于被减数里边的数的相反数时，值最大，最大值为前数减后数 （两数都带前边的符号）的绝对值；当x 在两点中间时，值最小，最小值是0。即 a x - b x -最大值时)(b a ，x -(-b),b 在数轴最左边；x -(-b)，b 在 数轴最右边。a x -b x -最小值为零，x=2)(b a 。） 例6、3-x -4+x a ，求a 的取值范围；3-x +4+x a ，求a 的取值范围。 概念：乘积为1的两个数互为倒数。 D 倒数 不为零的两个数互为倒数，乘积为1：a a 1

9、 =1（a 0） 性质及数学表达式： 0没有倒数，1的倒数是它本身。 （注：相反数、绝对值、倒数同样适用于代数式。不过有一点需要注意：代数式要表明不等于零才能有倒数。） 1.1.4 实数的运算 同号相加，取相同的符号，并把绝对值相加。 法则异号相加，取绝对值大的数的符号，并用较大的绝对值减去较小的绝对值。 一个数同零相加，仍得找个数。 A 加法 加法交换律：两个数相加，交换加数的位置，和不变。即a+b=b+a 运算律 加法结合律：多个数相加，先把前几个数相加，或者先把后几个数相加，和不变。 即（a+b）+（c+d）=（a+d）+（c+b） B减法法则：减去一个数等于加上这个数的相反数。即a-b

10、=a+（-b）（注：由此可见，减法可以转换成加法。） C加减混合运算（要注意正负号的变化。） 两数相乘，同号得正，异号得负，绝对值相乘。 任何数同0相乘，积仍为0 法则多个不等于0的数相乘，积的符号由负因数的个数决定，当负因数的个数是奇数时，积的符号为负；是偶数时， 6 / 16 积的符号为正。 D乘法多个数与0相乘，积就为0。 乘法交换律：axb=bxa 运算律乘法结合律：（axb）xc=ax（bxc） 乘法分配律：（a+b）xc=axc+bxc (可参看六年级上册第49页例题3) 两数相除，同号得正，异号得负，并把绝对值相除。 E除法法则0除以任何数，都得0。（注：0不能作除数。）(0a=

11、0，a0) 除以一个数，等于乘以这个数的倒数。（ab=ab1） 概念：求n个相同因数a的积的运算叫做乘方（a n）。 乘方的结果a n叫做幂，a叫底数，n叫指数，a n读作a的n次幂或a的n次方。 数学表达式：a n = a x a x a x a n 个a F乘方 正数的任何次幂都是正数。（a0，a n0） 负数的偶次幂是正数，奇次幂是负数。（a0，a2n0；a2n+10） 指数相同，底数越大，幂越大；底数相同，指数越大，幂不一定越大。如(-3)2 （-3）3 法则 1的任何次幂都是1。（1n =1） 任何数（0除外）的0次幂都是1。（a0=1 ，a0） 0的正整数次幂是0，0 的0次幂和负

12、次幂不存在。（n0，0n= 0） 7 / 16 -1的奇次幂是它本身-1；偶次幂是1。 (-1)2n=1;(-1)2n+1 =-1 （参看六年级上册53页例1、55页例3）G混合运算法则：先算乘方，再算乘除，最后算加减，如果有括号，先算括号里面的。 平方根：如果一个数x的平方等于a，即x2=a，那么x叫做a的平方根。记作a，读作“正 负根号a”。 概念：算术平方根：两个平方根中正的平方根叫做算术平方根。记作a。 如叫做9的平方根，3叫做9的算术平方根。 开平方：求一个数a的平方根的运算，叫做开平方。a叫做“被开方数”。 一个正数有两个平方根，它们互为相反数。(如64的平方根64=8) 0只有一

13、个平方根，平方根和算术平方根都是0本身。 性质 0和1的算术平方根分别是0和1本身（1的平方根不是它本身，是1） 开平方 负数没有平方根。（如9有平方根，即9=3。但 -9却没有。） 0 = 0 （a）2 = a（a0） 运算 (1)2=1; (10)2=100; (11)2 = 121; (12)2 = 144; (13)2 = 169; (14)2 = 196; (15)2 = 225; (16)2 = 256; (17)2 = 289; (18)2 = 324; (19)2 = 361; (20)2 = 400; H开方 （注：开平方时，先大约估算一下哪个数的平方等于被开方数，然后验算一

14、下。开立方也是先估算一下哪个数的立方等于被开方数，然后验算一下。） 立方根：一个数x的立方等于a，即x3=a，那么x叫做a的立方根，也叫做a的三次方根。记 8 / 16 概念作3a（其中3是指数，a是被开方数），读作“三次根号a”。 开立方：求一个数a的立方根的运算，叫做开立方。 每个数都有一个立方根。 开立方 性质正数的立方根是正数，负数的立方根是负数。 立方根等于它本身的是0、1、-1。 30= 0；31= 1；31 = -1 运算 (3a)3 = a；3a3= a 23=8； 33=27； 43=64； 53=125； 63=216；73=343；83=512； 93=729； 103=

15、1000 （注：本节还有一节方根的估算。先看看哪两个数的立方最接近，然后通过验算，最终确定近似值。七年级上册52页做一做和例1）二次根式：形如a（a0）的式子，也就是算术平方根，叫做二次根式。b a（即bx a）也是二次根式。 最简二次根式：被开方数都不含分母，并且被开方数不含能开得尽方的因数或因式。（注：为做题速度快， 也要熟练掌握一些数的平方，然后化简时，用被开方数除以这些数。 概念参看八年级上册130页例5、例6以及自记的一些平方数。） 同类二次根式：几个二次根式化简成最简二次根式后，如果被开方数相同，就叫做同类二次根式。 二次根式（即算术平方根）大于等于0。a0 （a0） 二次根式的平

16、方等于它的被开方数。(a)2 = a（a0） a (a0) 性质一个数的平方的二次根式等于这个数或其相反数。2a = a= 9 / 16 10 / 16 -a (a 0) 积的算术平方根等于积中各因式的算术平方根的积。ab =a b （a 0，b 0）（注：当a 、b 都小 于0时，先去掉负号。如)9()4(-?- = 94?=4 x 9） 商的算术平方根等于被除式的算术平方根除以除式的算术平方根。b a =b a （a 0，b 0）（注同上） I 二次根式 要使二次根式有意义，被开方数不能为负数，如果二次根式是分母，被开方数只能是正数。被开方数 可能是一个数，也可能是一个整式。（如，要使x -1有意义，1-x 0，即x 1； 要使x -11有意义，1-x 0，即x 1） 取值 要使51-x x 有意义，x-10且x-50，即x 1且x 5 （注：因为5包含在x 1这一解集中，所以要单独表明。） 当被开方数互为相反数时，只有一种可能，那就是都等于0。（如，x -5+5-x ，那么x-5=0且5-x=0，即x=5） 若+( )2+ = 0，则=