数学精神与方法第六讲课件

1、数学精神与方法第六讲 运算与迭代的威力（二）3.2 经典数学的统一 “数形合一”（续）上一节我们已看到怎样从ZFC系统制定出自然数系，整数系，直至有理数系。本节将带领大家看一看：怎样由有理数系制定出实数系？怎样理解实数系与直线的统一？怎样理解数与形的统一？无理量的存在性思考题：证明上述命题。分析数学的基本问题 怎样将有理数系扩充成一个完备的有序数系，从而达成“数与直线的统一”呢？ 这事实上是事关“分析数学”基础的一个大问题。 牛顿和莱布尼兹在17世纪发明的微积分理论，被誉为“人类精神的最高胜利”，开启了“分析”这样一个在观念和方法上都具有鲜明特点的数学领域。然而，牛顿和莱布尼兹的微积分是不严格

2、的，特别在使用无穷小概念上是随意和混乱的。这种状况长期困扰着数学家们，长达200年之久。 数学家们经过几代人的不懈努力才搞清楚，彻底消除微积分理论的漏洞，靠的是有理数系的“完备化”思想，即将有理数系扩充成一个完备的有序数系实数系的理论。牛顿（Isaac Newton, 16421727)，最伟大的科学家之一。自然哲学的数学原理于1687年出版。莱布尼茨（Gottfried Wilhelm Leibniz, 16461716），德国数学家，微积分的创立者。牛顿与莱布尼茨牛顿和莱布尼茨都是他们所处时代的科学巨人，他们在相互独立的情况下各自创立了微积分。就发明时间而言，牛顿早于莱布尼茨；就发表时间而

3、言，莱布尼茨先于牛顿。微积分发明权的争论被认为是“科学史上最不幸的一章”。由此产生的严重影响是，整个18世纪英国与欧陆国家在数学发展上分道扬镳。虽然牛顿在微积分应用方面的辉煌成就极大地促进了科学的进步，但由于英国数学家固守牛顿的传统而使自己逐渐远离了分析的主流。分析的进步，在18世纪，主要是由欧陆国家的数学家在发展莱布尼茨微积分方法的基础上而取得的。 柯西（Augustin Louis Cauchy, 1789-1857），法国数学家。他对数学的最大贡献是在微积分中引进了清晰和严格的表述与证明方法，使微积分摆脱了对于几何与运动的直观理解和物理解释，从而形成微积分的现代体系。 外尔斯特拉斯（Ka

4、rl Theodor Wilhelm Weierstrass, 1815-1897），德国数学家。他的主要贡献在函数论和分析方面。他发现了函数项级数的一致收敛性，借助级数构造了复变函数论，开始了分析的算术化过程。他给出的处处连续处处不可微的函数震动了数学界。在代数方面，他第一个给出了行列式的严格定义。他被誉为“现代分析之父”。实数的“戴德金分割”理论 鉴于各种实数理论本质上是一回事，我们只简介戴德金的实数定义方案。如上所见，戴德金定义实数的方法以有理数系 的分割为基础。数与构造数的方法达成了统一！实数系的完备性 实数系的完备性究竟是什么意思呢？这需从实数的大小关系说起。 戴德金完备性定理 现在

5、建立起来的全序集（R, ）本质上已具有将有理数系Q扩充成一个完备的有序数系的功能。这里需说明（R, ）具有完备性是什么意思，然后再将Q上的加法和乘法运算扩充到R上（扩充到R上的加法和乘法运算是唯一确定的）。这样，（R, ，+，-）就构成了我们理想中的完备有序数系即我们精神世界中的理想直线。 （R, ）的完备性是什么意思呢？（R, ）的完备性表达出直线的“连通性”，而在（R, ）上定义算术四则运算则可以表达出直线的“直性”这里我们不打算陷入定义实数之算术运算的细节中。那么直线又是什么呢？欧几里得下定义说：“线只有长度没有宽度”；这只是不能使用的“假定义”而已。希尔伯特提出：将“直线”作为无定义的原始概念处理。注意：“自然数是万物之母”的复生现在想来， “直线”只是一个不能加以定义的几何对象尽管它在我们心中的影像是那么地确定无疑与其让它这般地亦真亦幻，不如将它就“等同”于实数系（R，+，-）好了。这种“等同”实现了“数与直线的统一”。进一步，利用笛卡尔的坐标几何的思想就可以实现“数与形的统一”。有理数的连分数表示法注：注意有理数的连分数表示法中有有限个整数 被使用；若使用无