数理统计上机指导书线性回归

1、一切客观事物的相互关系表现在量上主要有两种类型：一是变量之间存在着完全确定性的关系，例如微积分中的函数关系；另一类是回归关系或相关关系。如果两个变量中的个变量是人为可以控制的、非随机的，简称控制变量，另一个变量是随机的，而且随着控制变量的变化而变化，则这两个变量之间的关系就称作回归关系；如果两个变量都是随机的，则它们之间的关系称作相关关系。回归分析和相关分析均为研究两个或两个以上变量之间相关关系的一种统计方法，是最常用的统计方法之一。在生产实践和科学研究中有广泛的应用在建立数学模型时，常需选择其中之一为因变量，而另一作为自变量，然后根据样本资料，测定研究自变量与因变量之间的关系。一上机实验目的

2、1p元线性回归直线拟合函数；2学会对统计数据进行直线拟合并对拟合结果进行显著性检验。3学会利用R 软件回归分析的方法。4本实验综合了多个知识点：线性回归模型；最小二乘估计法；参数假设检验等；二实验要求和实验准备1认真做好实验预习，结合本次实验，复习教材线性回归分析的数学模型相关内容。2实验中注意观察屏幕显示信息，必要时做好记录。三上机实验的内容和实例一元线性回归分析，通过对变量x和y的一组观测数据求线性回归方程，并对x和y的线性回归关系进行检验。利用R实现求解回归方程、显著性检验。设随机变量y与普通变量xx取定的一组不完全相同的,x ,x(x ,y ),(x ,y ),(x ,y ). 其中y

3、 是值x,作独立试验得到 n 对观测结果12n1122nnix= x 处对随机变量y观测的结果将每对观测值(x ,y )在直角坐标系中描出它的相应的iii点，得到试验的散点图一元线性回归的基本任务是估计在对散点图上n , (0, )= + x+ , ,2 的问题称为求一元线性回归归模型：yN2 ，此时估计0101 y = + x问题 即由样本得到回归方程1 回归直线。01例1 某种合金的强度y与其中的含碳量x有比较密切的关系，今从生产中收集了一批数据如表4.1所示。表4.1 合金的强度y与其中的含碳量x的关系0.10 0.11 0.12 0.13 0.14 0.15 0.16 0.17 0.1

4、8 0.20 0.2142.0 43.5 45.0 45.5 45.0 47.5 49.0 53.0 50.0 55.0 55.0y(kgmm2 )60.0(1)求y对x的回归方程；(2)在显著水平=下检验回归方程的显著性；(3)试预报当合金的含碳量x为0.28时合金的强度y(kgmm2 )。1求解过程如下：将数据键入 Excel 表中，保存成”.csv”格式，如图4-1 所示。图4-1合金的强度与其中的含碳量数据首先用散点图检验合金的强度与其中的含碳量的关系。以含碳量为 x y plot 函数绘出散点图。图4-2 合金的强度与其中的含碳量关系从图 4-2 中可以看出，这些点大致在直线上，所以

5、可以进一步用线性趋势线。R中计算趋势线的截距和斜率的函数为 lm。rd11-read.csv(regresion.csv)plot(rd11)x-rd11,12y-rd11,2lm.sol-lm(y1+x)summary(lm.sol)abline(lm.sol)#画出回归直线new-data.frame(x=0.16)lm.pred-predict(lm.sol, new,interval = prediction,level = 0.95)=(X X) X Y 当然也可以直接计算： 利用公式T1T#直接计算rd11-read.csv(regresion.csv)n-nrow(rd11)p-

6、ncol(rd11)-1X-matrix(0,n,p+1)X,1-rep(1,n)X,2-rd11,1Y-rd11,2Beta Beta21 130.8348这样，便得到合金的强度与含碳量的回归方程y=130.83x+28.493。画出散点图和回归直线plot(c(X1,2,X12,2), c(Y1,Y12), type = n, xlab=碳含量x, ylab=合金强度y)points(X,2, Y, col = red,cex = 1.2)abline(a=Beta1,b=Beta2)进一步需要做显著性检验、预测。H : =001ST-sum(Y-mean(Y)2)SR-Beta2*sum

7、(X,2-mean(X,2)*(Y-mean(Y)SE-ST-SRF-(SR/p)/(SE/(n-p-1); CR-qf(0.95,p, n-p-1)list(F=F,CR=CR)$F1 182.5546$CR1 4.964603结果表明回归效果是显著的。3例2yx1,x2及熔化时间x3号平炉的49组数据y与x1,x2,x3 , 1,2, ,49iy = + x + x + x + i= ，i01 12 i23 i3 , , ,的最小二乘估计，写出回归方程，并求出 2的估计.0123X2X3Y150.040.046.043.064.040.064.039.037.055.060.049.050

8、.051.051.051.056.048.045.052.040.032.047.044.039.039.051.041.047.061.037.049.045.04.3303.6494.4835.5475.4973.1135.1183.8764.6704.9545.0065.2705.3775.4854.5965.6656.0803.2195.8084.7314.6813.1272.6103.7173.8952.7075.6315.8155.1305.3914.4534.6574.52123412.01.03.03.06.07.00.03.00.08.06.00.03.07.016.06.0

9、0.09.04.00.09.02.09.012.06.012.00.05.04.00.0567891011121314151617181920212223242526272829303132336.005.0024.0012.0015.0020.004343536373839404142434445464748496.04.010.04.05.09.06.05.05.08.02.07.04.010.03.04.042.048.048.036.036.051.054.0100.044.063.055.050.045.040.064.072.04.8655.3574.6102.3823.8754.

10、5925.1595.4373.9964.3974.0622.2914.7124.5315.3646.07717.0015.00解答：直接计算rd1-read.csv(li87.csv)n-nrow(rd1)p-3X-matrix(0,n,p+1)X-matrix(0,n,4)X,1-rep(1,n)X,2-rd1,2X,3-rd1,3X,4-rd1,4Y-rd1,5Beta-(solve(t(X)%*%X)%*%t(X)%*%YBeta,11, 0.695560922, 0.160601043, 0.107586234, 0.03594069Se-t(Y)%*%(diag(rep(1,49)-

11、X%*%(solve(t(X)%*%X)%*%t(X)%*%YHat_sigma-Se/(49-3-1)Hat_sigma,11, 0.6593865进一步需要做显著性检验、预测。H : = = =001235ST-sum(Y-mean(Y)2)SR-Beta2*sum(X,2-mean(X,2)*(Y-mean(Y)+Beta3*sum(X,3-mean(X,3)*(Y-mean(Y)+Beta4*sum(X,4-mean(X,4)*(Y-mean(Y)SE-ST-SRF-(SR/p)/(SE/(n-p-1); CR-qf(0.95,p, n-p-1)list(F=F,CR=CR)H : =

12、001C-solve(t(X)%*%X) #这是一个44的矩阵C2,2, C3,3,C4,4alpha-0.05t1-(Beta2/sqrt(C2,2)/(sqrt(SE/(n-p-1)CRt-qt(1-alpha/2,n-p-1)list(t1=t1,CRt=CRt)$t11 2.663256$CRt1 2.014103结果表明x1 对y 的影响是显著的。H : =002t2-(Beta3/sqrt(C3,3)/(sqrt(SE/(n-p-1)list(t2=t2,CRt=CRt)$t21 2.876175$CRt1 2.014103结果表明x2 对y 的影响是显著的。H : =003t3-(Beta4/sqrt(C4,4)/(sqrt(SE/(n-p-1)list(t3=t3,CRt=CRt)$t31 3.400560$CRt1 2.014103结果表明x3 对y 的影响是显著的。 利用函数lm：rd1-read.csv(li87.csv)x1-rd1,2x2-rd1,36x3-rd1,4y-rd1,5lm.sol|t|)(Intercept) 0.695560.865280.060300.037410.010570.804 0.42571x1x2x30.160600.107590.035942.663 0.01