矩阵函数以与应用毕业设计-说明

1、具有应用毕业项目的矩阵函数1 简介Matrix的发展和历史矩阵的研究由来已久。魔方和拉丁方在很久以前就已经被研究过了HYPERLINK :/baike.baidu /view/244170.htm。在过去很长一段时间里，矩阵是人们解决线性问题的主要方式。汉初的算术九章在表达线性方程组的过程中，采用了将方程中不同系数分开的方法。该方法最终得到了后续不断演化下方程组的增广矩阵。在计算过程中，常使用矩阵的初等变换进行消元。具体来说，上面给出的增广矩阵是通过一些计算技术转化为行最简形式的。但当时我们能知道的矩阵知识却很少。虽然过去的标准和现在的矩阵在表示上非常相似，但都是以线性方程组为基本标准。事实上

2、，子宫矩阵的控制中心和生命意义开始的地方就是矩阵的本义，所以矩阵具有生命的意义。在数学中，对当前数学起决定性作用的行列式开始出现，但要求行列式的行列数相等，最后排列的表格是正方形的。随着研究的深入，人们发现行数等于列数的行列式已经不能满足现实生活中的实际需要。在这种情况下，矩阵应运而生。现在对于我们非常熟悉的矩阵和行列式来说，它们的概念是非常不同的。行列式可以按照我们的规则计算出它的结果，矩阵就是按照一定的顺序排列数字得到的。在学术研究中适当使用矩阵可以将线性方程组中的系数矩阵表示为向量空间中的向量；这样，一个多元线性方程组的解的情况，就与一系列问题的理论解的不同关系而言，可以完全解决。矩阵有

3、自己的行和列，水平的称为行，垂直的称为列。我们现在所看到的关于矩阵的一切都被无数数学家摸索过。矩阵（ Matrix ）在数学发展史上占有非常重要的地位，一直是数学研究的一个主要方面，在数学研究和应用过程中经常用到。 “矩阵”最早是由英国数学家西尔维斯特使用的，他用这个数学术语最终将矩阵的列数与早期的行列式分开。在漫长的数学发展史上，矩阵论的创始人被一致认为是英国数学家凯莱，他首先提出矩阵作为一个单独的数学概念，许多关于矩阵的学术论文和著作都是他第一次发表。其实最早的矩阵是从大量行列式的研究中分离出来的，因为行列式本身对应的方阵可以做大量的研究和应用。随着对行列式的深入研究，矩阵的很多知识点也越

4、来越好。从逻辑上讲，概念应该先于矩阵行列式的概念与历史上真实的顺序完全相反。 1850年代，英国数学家凯莱公开展示了他关于矩阵的最新研究成果矩阵论研究报告，使我们对矩阵的认识更进一步。本文定义了矩阵等式、矩阵算法、矩阵转置和基本概念，如矩阵逆相加、给出级数、互换性和绑定。此外，英国数学家凯莱还给出了方阵的特征值（eigenvalues）等诸多结论。在矩阵的发展史中，德国著名数学家弗罗贝尼乌斯（Frobenius）发挥了非常重要的作用，他是第一位全面介绍矩阵中的最小多项式问题的著名数学家。他还介绍了矩阵的秩、不变量和主因子的知识、正交矩阵的相似变换，以及矩阵的契约、不变量和主因子的逻辑排列等概念

5、。理论等在他的作品中也有所体现。 1850年代，乔丹经过潜心研究，首次发表了将一般矩阵变换为标准矩阵的方法。 1890年代，梅茨勒首先提出了矩阵函数的基本概念，最终找到了一种以幂级数形式表示矩阵的方法，这对矩阵的发展具有重要意义。此外，傅立叶（ Fourier ）和庞加莱（ Poincare ）主要研究无穷矩阵方面。至此，矩阵已经很完整了。在实践中，矩阵的最大用途是求解用传统方法难以求解的方程。实际操作中另一个非常有意义的作用是表示线性变换，即关于f(x), 4x等线性函数的推断。矩阵的特征向量可以揭示线性变换的深层特征。经过两个世纪以来无数数学家的无私奉献，矩阵论已经成为一个成熟的数学分支。

6、矩阵在很多方面都有重要的应用，比如在数学、力学、物理学、工程数学、经济管理等领域都有矩阵。1.2 本文所做的主要工作矩阵理论包含很多内容，矩阵函数在矩阵理论中占有非常重要的地位。与矩阵函数中的其他知识相比，矩阵多项式更容易理解。这是一个易于理解的矩阵多项式，我们执行矩阵函数。研究的理论基础。定义矩阵函数的方法有很多。本文主要从多项式和幂级数两个方面进行研究。本文主要讨论矩阵函数及其应用。文章第一部分总结了矩阵函数必备的基础知识，主要包括代数多项式理论中的一些结论，行列式和矩阵，以及数学分析中的幂级数定律。文章的第二部分总结了矩阵函数的概念、性质和推论，介绍了几个重要的矩阵函数。文章第三部分总结

7、了矩阵函数的几种计算方法，包括哈密顿-凯莱定理、使用相似对角化计算、使用Jordan标准法进行计算、使用待定系数法求解四种计算方法。本部分最后对四种方法进行了对比，在对比中加深了对矩阵函数解的理解。可以根据计算过程中遇到的实际情况进行选择，会给计算带来很大的方便。在本文的第四部分，通过查阅文献和与导师交流的方式，对矩阵函数在求解线性微分方程过程中的应用进行了研究，以及矩阵函数在求解线性微分方程过程中的应用。介绍了线性系统的可控性和可观性。在本文的最后部分，通过Matlab编写了可以计算常用矩阵函数的程序，这将使矩阵函数的计算更加方便快捷。2 矩阵函数2.1 研究本文的数学基础为了进一步讨论和便

8、于理解，介绍以下与本文相关的概念：1.一个线性空间在集合上具有一定的结构或满足一定的要求，那么这个集合就是一个特定的空间。如果它是一个非空集，它是一个数字字段。对中的元素定义了一个代数运算，称为加法；就是给出一个规则，使得和中的任意两个元素都可以在唯一匹配它的元素中找到，也就是和的和，记为。在数字域和集合中的元素中，定义了另一个运算，称为数量乘法；即如果数字域中的任何数字和数字域中的任何元素，都可以找到与之匹配的元素，并且它是和的数字。产品记录为 。如果加法和乘法同时符合它们的算法，则称为数域上的线性空间。2.系列系列知识是 HYPERLINK %20%20%20%20:/baike.baid

9、u%20%20%20%20/view/1611825.htm 分析科学的重要组成部分；这个概念经常出现在其他数学分支中。通过逐项添加序列的项目，.，.获得的 HYPERLINK %20%20%20%20:/baike.baidu%20%20%20%20/view/15061.htm 函数。 HYPERLINK %20%20%20%20:/baike.baidu%20%20%20%20/view/555607.htm 数列称为数列。如：，简写为，是级数的总称，记为级数的偏和。如果此时数列有 HYPERLINK %20%20%20%20:/baike.baidu%20%20%20%20/view/

10、39749.htm 极限，则数列 HYPERLINK %20%20%20%20:/baike.baidu%20%20%20%20/view/17644.htm 收敛，否则发散。系列经常用于研究功能。它在理论和实践中都有很多用途。主要有两个原因： 1. 很多常用的非 HYPERLINK %20%20%20%20:/baike.baidu%20%20%20%20/view/46323.htm 初等函数可以用级数来表示，级数也可以用。表示 HYPERLINK %20%20%20%20:/baike.baidu%20%20%20%20/view/35285.htm 微分方程的解； 2.函数可以用来表示

11、系列，系列也可以用来探索函数的性质。幂级数是级数中非常重要的一类，在实变函数、复变函数等许多基础领域中被用作基础知识，在这些领域发挥着巨大的作用。幂级数是指每一项对应于该系列项的序号的常数倍数的幂（是从0开始递增的自然数，是一个常数）。幂级数非常接近多项式形式，在许多方面具有相似的特征，HYPERLINK :/zhidao.baidu /search?word=幂级数&fr=qb_search_exp&ie=utf8可以认为是“无限 HYPERLINK %20%20%20%20:/zhidao.baidu%20%20%20%20/search?word=多项式&fr=qb_search_exp

12、&ie=utf8 多项式”。3. 正定矩阵 在线性代数中，正定矩阵有时被称为正定矩阵。它有广义和狭义的定义。广义定义： 令其为一个阶方阵，若有任何非零向量，则有 的转置，称为正定矩阵。例如：是阶矩阵，是单位矩阵，是正实数。当足够大时，它是一个正定矩阵。 （必须是对称矩阵） 狭义定义：一个实数对称矩阵是正定的 HYPERLINK %20%20%20%20:/baike.baidu%20%20%20%20/view/422527.htm ，当且仅当对于所有非零实系数 HYPERLINK %20%20%20%20:/baike.baidu%20%20%20%20/view/77260.htm 向量，

13、有。代表 HYPERLINK %20%20%20%20:/baike.baidu%20%20%20%20/view/689095.htm 转置。4. 线性算子 线性算子是数学运算各个领域（如线性变换、线性代数理论中的微分方程、积分方程理论、微分、积分、积分变换）中线性性质的抽象摘要。这是研究线性泛函的一个重要目标。线性算子用途广泛，不仅在许多数学分支中，而且是量子物理学的重要数学基础。5. 对称和反对称矩阵 对称矩阵的定义是：（的转置），一个对称矩阵元素。反对称矩阵的定义是：（矩阵的转置加减号）它的第一行和第一列的元素绝对值相等，符号相反。也就是说，因此，对角线上的元素， ，在非偶数域中存在，

14、即反对称矩阵的对角线元素为零，并且该性质仅在非偶数域中成立。6.零（零）多项式给定矩阵，如果满足多项式，则称为零多项式， （一般取前导系数为1） 。7. 令矩阵的谱半径为矩阵，并为其特征值，= 1, 2, .,。它由以下数学公式表示。如果指定的光谱半径，即。也就是说，矩阵的谱半径是矩阵所有特征值的模的最大值；如果特征值是一个虚数，则谱半径是实部和虚部平方和的算术平方根。8. 表示整个矩阵在数域 F 上的线性空间；9.表示复矩阵集；10.数域 F 上的标量多项式；11. 矩阵的谱 通过数学运算计算得到的特征值集合就是一个矩阵的谱，用数学表达式表示，即：表示的谱，即；12. 次数最低的零多项式称为

15、矩阵的最小多项式，记为；13、参考文献1给出了矩阵级数的定义：定义 1：设为矩阵序列，其中无穷和称为矩阵级数，记为。对于正整数，它表示为矩阵系列的部分和。如果矩阵序列收敛且有极限，即称矩阵序列收敛，称为矩阵序列之和，记为。不收敛的矩阵级数称为发散的。定义 2：让，作为的矩阵级数称为矩阵幂级数。14. 相似度矩阵设置为阶矩阵。如果存在阶可逆矩阵，则称该矩阵为相似矩阵，记为。相似矩阵表示等价关系。15. 对角化矩阵 如果一个阶的方阵可以类似于对角矩阵，则称它是可对角化的。一个方阵可对角化的充分必要条件是它具有线性独立的特征向量。对角矩阵是 HYPERLINK %20%20%20%20:/baike

16、.baidu%20%20%20%20/view/10337.htm 主对角线之外的所有元素都为 0 的矩阵。对角线HYPERLINK :/baike.baidu /view/2378312.htm上的元素可以为0 或任何其他值。然后引入了线性独立的概念。对于一组向量，如果有一组不全为零的数字，则称这组向量是线性相关的。如果不存在，换句话说，当且仅当向量方程成立时，向量集才被称为线性独立的。16. 可逆矩阵 可逆矩阵是线性代数中的一种矩阵，定义为线性代数中，给定一个阶方阵，如果有一个一阶方阵，使得（或，满足任意一个），其中 是阶单位 矩阵是可逆的，是矩阵的逆矩阵，记为 。2.2 矩阵函数的定义类

17、似于代数中函数的定义，知道定义域和值域都属于方阵的函数称为矩阵函数。定义矩阵函数的方法有很多。为了便于进一步研究，本文主要从常用的多项式和幂级数中定义矩阵函数。矩阵函数的多项式表示：设是数域 F 上的阶矩阵，简写为，是数域 F 上的一次多项式，简写为，将这个多项式替换为 ，将其替换为单位矩阵，则矩阵函数可定义为：矩阵函数的幂级数表示：让, 如果一元函数可以展开为 z = , R的幂级数,其中表示幂级数的收敛半径。当阶矩阵的谱半径时，收敛矩阵幂级数之和称为矩阵函数，记为，即= 。2.3 一些矩阵函数的重要性质和推论性质 1： Sum是可交换的，即假设一个标量多项式，则矩阵多项式为，然后= =性质

18、2：函数和（或差）的矩阵函数等于矩阵函数的和（或差），即性质3：函数乘积的矩阵函数等于矩阵函数的乘积，即性质 4：如果, 那么, 即如果, 那么证明存在一个可逆矩阵使得，如果它是一个标量多项式，那么属性 5：假设, , 和, 函数定义在 , 并且定义在, 那么设,的最小多项式的次数分别为和，则有次数不超过的多项式和次数不超过的多项式，使得因为, 所以对于任何正整数, , 都有, 所以 A 的多项式和 B 的多项式相乘时可以交换，即我们得到性质6：假设A的特征值都是正实数，它是系数为非负实数的幂级数的和函数，其收敛半径为，则，和证明因为 A 的特征值都是正实数，并且系数是非负实数的幂级数的和函数

19、，所以 A 的特征值是A的特征值，所以如果它不总是 0，那么，因此；如果它始终为 0，则，因此。属性 7：假设函数定义在 上，则证明由于和相似，因此，对于相同的谱，也存在相同的最小多项式，由上定义，然后由上定义，和的谱上的值相同，所以可以取相同的多项式，这样。性质8：设对称矩阵，函数如上定义，则为对称矩阵性质9：设实对称矩阵，实函数定义如上，对于A的任意特征值，如果存在，则为正定矩阵。证明是一个实函数，A是一个实对称矩阵，根据性质8，它是一个实对称矩阵，因为A的特征值是A的特征值，所以它是一个正定矩阵。性质10：如果是反对称矩阵，函数如上定义，且为奇函数，则为反对称矩阵。证明是从性质 7 得到

20、的，因为它是一个奇函数，所以即反对称矩阵。2.4 常用矩阵函数在矩阵理论中，有许多不同种类的矩阵函数。常用的矩阵函数有矩阵的指数函数和矩阵的三角函数。以下是矩阵函数的基本性质：根据上面定义的带有幂级数的矩阵函数，可以得到。根据这个定义，就可以得到一个类似于数学分析中的一些函数的矩阵函数，现在得到的矩阵函数的性质可以通过之前学习的高级数学知识进行比较。喜欢：，。矩阵指数函数的基本性质：(1) 如果，则；(2) ;(3)证明（1）显然满足矩阵加法的交换律，所以我们只需要证明。根据已有的矩阵指数函数表达式：(2) 在(1)中令B=-A，则得，所以(3) 设置 A的特征值，则特征值为，所以推论, ,

21、(是一个整数)。这表明矩阵的指数函数矩阵总是有逆矩阵。如果矩阵函数的参数被替换为，参数在哪里，则相应地存在。在实践中，经常需要找到一个带参数的矩阵指数函数。矩阵三角函数的基本性质：(1)(2) ,(3)(4) 如果，那么证明 (1) 因为, 将分为偶数和奇数, 那么我们有(2) 可取得与(1)相同的证书添加两个公式减去两个(3) 因为, 所以, 因为, 所以(4) 如果，那么同样可以证明3 矩阵函数的计算矩阵函数的计算是矩阵实际应用中的一个关键问题。物理、统计学和模拟电路中矩阵函数的计算有许多实际应用，例如，需要定义条目、行列式逆矩阵的迹和高阶矩阵值等。 13 与矩阵相关的计算问题本文将研究函

22、数。虽然矩阵函数的计算方法多种多样，但很难通过定义来求解矩阵函数的过程。本文主要研究最具代表性的四种方法。四种方法不同，涉及到一些知识，如微分方程的解、 Jordan归一化形式、特征多项式等。因此，研究如何方便地计算矩阵函数对于解决现实生活中的实际问题非常重要。为此，我们介绍以下常用的算法。在前一章中，矩阵函数是通过使用收敛矩阵的幂级数之和来定义的。在具体应用中，需要找到所表示的具体矩阵，即求矩阵函数的具体值。本章介绍了几种求矩阵函数的方法。为了简化运算，假设出现在以下等式中的矩阵函数为收敛矩阵幂级数。3.1 使用哈密顿-凯莱定理求矩阵函数.为了方便后面的理解，这里做一个简单的证明。假设B (

23、 )为伴随矩阵，则根据伴随矩阵的定义：因为矩阵B ( )的元素都是 的代数辅因子，所以它们都是多项式，并且它们的次数不超过。因此，根据矩阵的运算性质， B ( ) 可以写为其中 M n ( F )。重置，然后 (1)然后(2)比较（1）和（2），我们得到 (3)使用第一个公式，第二个公式，.，第n个公式，第n +1个公式，从右边依次乘以（3），我们得到 (4)n + 1个表达式，左边为零，右边为f ( A ) ，所以f ( A )=0 。为了继续研究的需要，这里对上面提到的伴随矩阵的概念做一个简单的介绍。根据线性代数的知识体系，任何方阵的伴随矩阵实际上是一个 HYPERLINK %20%20%

24、20%20:/baike.baidu%20%20%20%20/view/597891.htm 类似于矩阵逆矩阵的概念。如果一个 HYPERLINK %20%20%20%20:/baike.baidu%20%20%20%20/subview/10337/6436981.htm 矩阵是可逆的，则可以得到它的伴随矩阵和它的逆矩阵之间存在多重关系。但是，对于不可逆矩阵也定义了伴随矩阵， HYPERLINK %20%20%20%20:/baike.baidu%20%20%20%20/view/346210.htm 不需要除法。矩阵的伴随 HYPERLINK %20%20%20%20:/baike.bai

25、du%20%20%20%20/view/10337.htm 矩阵可以定义如下： 1. 用匹配的 HYPERLINK %20%20%20%20:/baike.baidu%20%20%20%20/view/1073605.htm 代数辅因子替换矩阵的每个元素； （ HYPERLINK %20%20%20%20:/baike.baidu%20%20%20%20/view/1073605.htm 代数辅因子的定义：在一个阶的 HYPERLINK %20%20%20%20:/baike.baidu%20%20%20%20/view/111348.htm 行列式中，将元素所在的行替换掉和列 HYPERLI

26、NK %20%20%20%20:/baike.baidu%20%20%20%20/view/111348.htm 的所有元素，剩下的所有元素组成的阶行列称为元素的辅因子，记住；即，称为元素的代数辅因子） 注意：前面的计算是一个具体的数字，而不是一个矩阵。 2、将（1）中得到的矩阵转置为伴随矩阵，并添加：（伴随矩阵的实际解为A*=adj(A)：去除的行列式中的元素对应的新行和列分别为获得。 HYPERLINK %20%20%20%20:/baike.baidu%20%20%20%20/view/111348.htm 行列式，所以不需要转置）假设 example 是n 阶可逆矩阵，则，其中g (

27、) 是n -1次多项式。证明的特征多项式设置为,根据Hamilton-Cayley定理，我们可以得到O._ _因为A是可逆矩阵，所以，上式可以转化为,这表明,其中，是一个n -1 次多项式。假设它是一个数字字段，一个文本，找到一个多项式环，一个给定的矩阵，如果它的元素都是关于一个多项式的，也就是矩阵的所有元素，这个矩阵称为矩阵。因为数字域中存在的元素也是一个数字，所以矩阵也包含了一个由元素组成的矩阵。为了与原始矩阵区分开来，我们称由数字域中的元素组成的矩阵为数字矩阵。在下一篇文章中，Equals 用于表示矩阵。上面提到的多项式环中的环实际上是一个代数结构。在 HYPERLINK %20%20%

28、20%20:/baike.baidu%20%20%20%20/view/85107.htm 抽象代数中，代数结构是指至少有两个计算的 HYPERLINK %20%20%20%20:/baike.baidu%20%20%20%20/view/1241995.htm 非空集合（最常见的操作，可以有无限的计算） 。通常研究的代数结构包括 HYPERLINK %20%20%20%20:/baike.baidu%20%20%20%20/subview/48541/10964128.htm 群、 HYPERLINK %20%20%20%20:/baike.baidu%20%20%20%20/subview

29、/144821/12216217.htm 环、 HYPERLINK %20%20%20%20:/baike.baidu%20%20%20%20/subview/35472/12149453.htm 域、 HYPERLINK %20%20%20%20:/baike.baidu%20%20%20%20/subview/119575/12216267.htm 格、 HYPERLINK %20%20%20%20:/baike.baidu%20%20%20%20/subview/324132/12957802.htm 模、域代数和 HYPERLINK %20%20%20%20:/baike.baidu%

30、20%20%20%20/view/327493.htm 向量空间。对于一个非空集R，如果定义了两个代数 HYPERLINK %20%20%20%20:/baike.baidu%20%20%20%20/view/1049334.htm 运算+和* （不一定是代数中加法和乘法的意思），并且满足以下条件： 1）集合R在运算下可以形成一个阿贝尔群+ HYPERLINK %20%20%20%20:/baike.baidu%20%20%20%20/view/1077278.htm （亚伯）。 2) * 是 HYPERLINK %20%20%20%20:/baike.baidu%20%20%20%20/vi

31、ew/585152.htm 封闭的，即对于任何aR，bR，总是存在a*bR 。 3)算子 * 下存在分配律HYPERLINK :/baike.baidu /view/120423.htm和 HYPERLINK %20%20%20%20:/baike.baidu%20%20%20%20/view/120414.htm 结合律，即对于任意 a R、b R 和 c R，总有：a*(b+c)=a*b+a*c, ( b +c)*a=b*a+c*a, (a*b)*c=a*(b*c)，我们称 R a ring 。所以满足上述定义的多项式称为多项式环。我们知道里面的元素可以进行加减乘乘三种计算，它们的计算和数

32、字的运算规则是一样的。元素的加法和乘法用在矩阵加法和乘法的定义中，所以可以类似于矩阵的加法和乘法，其定义方式与数值矩阵运算的算法规则相同。通过行列式的本质可以看出，只用到了元素的加法和乘法，所以矩阵行列式也可以用同样的方式定义。一般来说，矩阵的行列式也是多项式，与数字矩阵的行列式具有相同的特性。相同的性质。如果存在这样的矩阵，则定义矩阵称为可逆矩阵, (1)这是单位矩阵。 (1) 适用的矩阵（它是唯一的）称为矩阵的逆矩阵，记为。已知的例子，请。通过哈密顿-凯莱定理，解的特征多项式为： ，即这是所以.3.2 使用相似对角化求矩阵函数设它是一个对角矩阵，那么一定有一个可逆的阶矩阵，所以然后有从而，

33、为了便于理解，这里对本文将用到的对角化矩阵、可逆矩阵、交换矩阵和变换矩阵等相关概念做一个简单的介绍。说清楚对角化矩阵的概念，先简单解释一下相似度矩阵的概念。假设它们都是阶矩阵，如果存在阶可逆矩阵，则该矩阵类似于矩阵，记为。矩阵的相似度是等价关系。如果一个阶方阵可以类似于对角矩阵，则称它是可对角化的。一个阶方阵可对角化的充分必要条件是它具有线性无关的特征向量。可逆矩阵是线性代数中常用的矩阵。它在线性代数中被定义为给定阶数的方阵。如果有一个阶为 的方阵，使得（或者，任意满足一个），其中 阶单元 A 矩阵被称为是可逆的，它的逆矩阵记为 。如果一个方阵具有乘法交换律，那么这个方阵就是一个交换矩阵，用数

34、学表达式表示为： 。变换矩阵是线性代数中的一个数学概念。 HYPERLINK %20%20%20%20:/baike.baidu%20%20%20%20/view/32243.htm 在线性代数中， HYPERLINK %20%20%20%20:/baike.baidu%20%20%20%20/view/325734.htm 线性变换可以用 HYPERLINK %20%20%20%20:/baike.baidu%20%20%20%20/view/10337.htm 矩阵来表示。如果是一个可以映射到的线性变换，并且是一个元素为 的 HYPERLINK %20%20%20%20:/baike.ba

35、idu%20%20%20%20/view/3891521.htm 列向量，那么我们可以转换成 mn 矩阵，称为变换矩阵。任何线性变换都可以用矩阵来表示，而且计算起来要容易得多，即使有很多线性变换可以通过正确的矩阵乘法来连接。如果线性变换函数的类型是，只要对标准基中的任意一个向量进行简单变换，结果就插入到矩阵的列中，所以它是一个容易确定的变换矩阵，即：示例已知请求所以解的特征值为 , 。对应特征向量；对应于线性无关的特征向量，所以制作然后上面是一个通用矩阵。一般矩阵可以通过相似对角化的方法求解矩阵函数。对于一般矩阵，相似对角化的过程首先要找到矩阵的特征向量。当然，矩阵中还有一些特殊的矩阵，因为它

36、们的特殊性可以简化计算。对角矩阵就是这样一个特殊的矩阵，接下来我们将介绍求对角矩阵函数的方法。 （对于对角矩阵或对角矩阵块）。(1) 矩阵函数是矩阵幂函数如果是对角矩阵，则然后通过矩阵乘法，我们有如果是块对角矩阵，即，子块在哪里。但(2 矩阵函数是矩阵多项式因为它是几个矩阵指数函数的线性组合，所以仍然可以作为（1）中的计算方法。3.3 使用Jordan标准形式法求矩阵函数令矩阵的Jordan标准形式 为, 即必须有一个可逆矩阵使得因此，由矩阵函数的性质 4 可知，所以需求可以通过以下3个步骤来计算：第一步是先求Jordan标准形式，再求相似变换矩阵，这样；第二步是计算,在第三步是使用该方法的关

37、键是如何求Jordan标准型J ，这里简单介绍一下如何使用初等因数法求Jordan标准型J ：文献10有基本因子不变因子的定理和定义，摘录如下：规范形式主对角线上非零元素的不变因子。定义4. 将矩阵各度大于零的不变量因子分解为第一项为1的不同一阶幂的乘积。所有这些一阶幂（必须根据出现次数计算）称为矩阵的基本因子。求乔丹标准形式：1.首先，找到给定矩阵的特征矩阵；2.然后求矩阵的初等因子群，可能相同，也可能相同，但总是有；3. 每个初等因子对应一个若当块，其阶数为，对角元素为，即4. 这些Jordan块的组合形成Jordan矩阵J ，即例如，问。解决订单。得到的Jordan标准格式为：.然后找到

38、相似的变换矩阵。让它成为应该满足有两个线性独立的解。解，同一个解方程组，单独取，得到特征向量，所以有规律，计算出来。然后.Jordan块的排列顺序无关，无需选择特定的变换矩阵P，矩阵函数总是可以转化为计算矩阵多项式。3.4 使用待定系数法求矩阵函数（零多项式法）从上面的介绍可以知道，通过求矩阵的Jordan标准形式求矩阵函数的方法是非常复杂的。它需要Jordan标准形式和变换矩阵，这个过程非常繁琐。接下来介绍一种根据归零多项式求解矩阵函数的方法，希望达到减少计算量的目的。为了实现这一点，我们需要引入一个非常有用的定理。定理阶方阵的最小多项式等于其特征矩阵的第一个（和最后一个）不变因子。初等因子

39、和不变因子的概念见参考文献10中的定义3和定义4，这里不再介绍。令阶方阵的不变因子逆序排列，它们给出的初等因子分别在其中。因为因此必须出现在；如果，那么。因此，一个矩阵的最小多项式是，它的最小多项式就是它的归零多项式，即根据矩阵函数的定义，只需要多项式，我们有令m 为 A 的最小多项式的次数。由上述条件，可以得到方程组，从而得到 ，最后得到这就是使用待定系数法（多项式法）求解矩阵函数的理论知识，这里举一个具体的例子来说明如何使用这种方法。让我们建立一个矩阵，找到解由于特征多项式，很容易计算出不是 A 的零多项式，所以A的最小多项式为双根，所以有这是解决方案必须从而得到3.5 四种方法的比较为了

40、澄清问题，这里有一些基本概念需要复习。首先了解初等变换的概念。初等变换（ elementary transformation ）是高代数学术语，也代表一种运算。初等变换主要包括三种情况：线性方程的初等变换、 HYPERLINK %20%20%20%20:/baike.baidu%20%20%20%20/view/111348.htm 行列式的初等变换和矩阵的初等变换。三个方面的基本变换略有不同。由于本文是研究矩阵函数及其应用，所以本文主要介绍矩阵的初等变换，而不再详细介绍其他两种初等变换。矩阵的初等变换包括矩阵的初等行变换和其初等列变换。下面给出的三个基本变换都称为矩阵的基本行变换： 1.交换

41、两行； 2. 将一行的所有元素乘以一个非零实数； 3. 将一行的所有元素乘以一个非零常数 k 被添加到另一行的相应元素。如果将前面定义中的“行”替换为“列”，则得到矩阵的基本列变换的定义。如果矩阵 A 通过有限次数的基本变换变换为矩阵，则矩阵 和等价。此外： HYPERLINK %20%20%20%20:/baike.baidu%20%20%20%20/view/1337018.htm 分块矩阵还可以定义基本变换。四种方法中第二种计算方法难度最大。求Jordan表达式时，需要矩阵的Jordan标准形式，求Jordan标准形式的过程中也涉及到矩阵的初等变换。计算很麻烦，最后还要计算交换矩阵，计算

42、量很大。矩阵的阶数越大，计算量越大。也是最实用的，因为这种方法的优点是计算步骤非常清晰易懂。第一种、第三种和第四种方法使用了更多的数学原理和方法，显然比第二种方法计算量少。他们的计算过程比较简单，但是要理解为什么会这样，也需要清楚的理解。了解其中使用的一些定理和方法。4 矩阵函数的应用矩阵函数理论对矩阵理论具有重要意义。由于矩阵函数，人们对矩阵的研究从以前的计算进入了分析领域。同时，它不仅可以解决数学领域的许多计算问题，还可以解决工程技术等许多其他领域的许多计算问题。本文简要介绍了矩阵函数的一些实际应用，主要以在现代控制理论中的应用为例。现代科学技术领域众多，自动控制技术在各个方面的作用越来越

43、明显。随着科学技术的日益成熟，自动控制理论进入了一个新的过渡阶段，从过去的传统控制理论到现在的控制理论。优化控制系统主要讨论变参数多变量的高性能、多变量系统的高精度，主要工具是矩阵理论。因此，矩阵理论和矩阵函数的知识在现代控制理论中起着重要的作用。同样，为了更好地研究这个问题，我们将简要介绍一下控制论中涉及到这个问题的一些概念。首先简单介绍一下线性系统和线性系统的发展历史。 1950年代左右，经过一段时间的应用和改进后首次出现的线性系统理论已经发展成为一套完整的理论，并在许多工程技术领域得到应用。由矩阵函数定义的线性控制问题的解决方案是使用镶嵌技术来获得所需矩阵的传递函数。 14 最早出现的线

44、性系统理论是以拉普拉斯变换为基础的数学知识。它最基本的数学模型就是上面提到的传递函数。最基本的研究和综合方法是通过频率响应。方法。该方法非常适用于单输入输出类型的线性不变系统的分析。但是，这个理论也有非常突出的缺陷。最明显的不足是不能很好地处理多输入多输出的系统，难以表达系统的真实特征。1960年代前后，线性系统理论经历了从最早的经典阶段到现代阶段的重要时期，其中最具代表性的是卡尔曼首次完整介绍了系统理论和控制状态空间方法。状态空间方法最重要的特点之一是通过描述状态的部分空间来代替以往使用传递函数来描述外部输入输出系统的方法，将整个系统探索和整合到状态空间中。时域。状态空间方法不仅可以用于输入

45、输出系统，还可以用于线性系统等多种系统。卡尔曼在状态空间法的基础上，提出了系统的可控性和可观性这两个可以揭示系统结构特征的重要概念。它是线性系统理论中最常用的概念。上述的可控性和可观测性对进一步研究和集成线性系统的基本指导规则产生了重大影响。这种影响主要体现在以“在研”取代传统的“外研”，探究整合过程所需的基础理论更加严谨。从 1960 年代中期至今，不仅在研究内容和研究方法上，而且在线性系统上都有许多新的突破。产生了一种探索线性系统及其结构特征的新方法。这种方法主要是基于几何方法来解决实际问题。与此同时，一种新的基于抽象代数的代数理论也出现了，主要用于线性系统。通过扩展经典频率方法发展起来的

46、多元频域理论。这时，由于计算机技术的飞速发展和完善，线性系统的研究和集成中出现的计算困难，以及使用计算机对线性系统进行辅助分析和辅助设计的现象也很普遍。已得到广泛而深入的研究。为了使研究问题更加深入，接下来的重点是可控性和可观察性。可控性和可观性是当前控制理论中最基本的概念。它由卡尔曼在 1960 年代首次提出，其基础是线性系统的理论分析和设计。可控性实际上是指一种可能性，是指控制动作控制被控系统状态的可能性；可观察性实际上描述了一种可能性，它通过系统的输出来反转。可能的系统状态。可控性描述了状态的控制能力，可观察性描述了状态的观察能力。这两个属性给出了两个最基本的控制系统的问题。下面给出线性

47、系统的可控性和可观测性的定义。可控性定义：一般来说，对于线性平稳系统(1-1)其中， , 分别为 , 维向量； ,是常值矩阵，常值矩阵满足矩阵运算。如果给定系统的初始状态，在有限的时间区间 , 内，可以发现控制使得，此时系统的状态是可控的；如果系统对于任何初始状态都可以控制，则称系统的状态是完全可控的，简称系统是状态可控的或系统可控的。关于可控性定义的几点：(1) 初始状态是状态空间中任意一个非零有限点，控制目标是状态空间坐标的原点（原点可控性）。(2) 如果在 , 中，可以找到将系统从状态空间的原点推到预先指定状态的控制，称为状态可达性；因为任何连续系统的状态转移都形成一个非奇异矩阵，所以在

48、一定程度上，系统的可达性就是系统的可控性。这里简单介绍一下非奇异矩阵。如果一个阶矩阵的行列式非零，则称为非奇异矩阵，否则称为奇异矩阵。(3) 如果, , 系统状态方程的解是(t)= +如果系统是可控的，则可以找到控制使得= + =0=-(0)=- (1-2)为了满足初始状态类型，它必须是可控状态。不附加到系统的确定性扰动，系统的状态方程可以表示为因为它是一种确定性扰动，所以它不会改变系统的可控性。可观察性定义一般来说，对于线性平稳系统若在有限时间区间,内，通过观察，可以唯一确定系统的初始状态，称系统状态为可观察的；如果可以观察到任何初始状态，则称系统是完全可观察的，称为系统可观察状态或系统可观

49、察状态。关于可观察性定义的几点说明：(1) 系统在有限时间区间,内的输出已知，观察的目标是确定初始状态。（2）系统可以唯一确定,中输出的任意指定状态，表示可以检测到系统的状态；因为连续系统的状态转移矩阵是非奇异的，所以系统的可检测性和可观察性是等价的。(3) 可观察性表示输出反映状态的能力，与控制效果没有直接关系。因此，在分析可观测性时，可以成立，只需要从齐次状态方程和输出方程进行分析。则线性平稳系统变为(4) 如果系统中存在确定性干扰信号，即由于和的独立性 ,在 系统 的 可 观测 性 研究 中 不 考虑其 影响.2. 可控性和可观察性的确定线性系统最基本的结构特征是可控性和可观性，它们代表

50、了系统的输入输出与系统状态量之间的关系。直观上，可控性问题是对系统的部分状态变量的研究可以完全控制问题的输入。如果系统的每个运动状态都可以改变和控制，并且可以通过任何起点到达原始状态空间原点，则称该系统是完全可控的。可观察性是系统输入和输出的状态，能充分反映系统问题。如果任何形式的状态变量的输出系统充分反映了运动，并且所代表的系统状态相当可观，则称为观察。系统的状态方程为：系统的可控性讨论了控制系统的输入量对状态量的影响。可控性有三个最常用的判别规则：1、通过判断矩阵判断可控性。可控性矩阵Qk=B AB A2B An-1B是满秩的。如果秩为 ，则可控性矩阵Qk=B AB A2B An-rB 。

51、为了继续研究需要，这里简单介绍满秩的概念，首先介绍矩阵秩的概念。 HYPERLINK %20%20%20%20:/baike.baidu%20%20%20%20/view/346467.htm 矩阵的秩：通过 HYPERLINK %20%20%20%20:/baike.baidu%20%20%20%20/view/2658916.htm 初等行变换将 HYPERLINK %20%20%20%20:/baike.baidu%20%20%20%20/view/10337.htm 矩阵变换为 HYPERLINK %20%20%20%20:/baike.baidu%20%20%20%20/view/3

52、557532.htm 梯形矩阵，将矩阵中非零行数定义为矩阵的秩，记为 。满秩 HYPERLINK %20%20%20%20:/baike.baidu%20%20%20%20/view/10337.htm 矩阵（非奇异矩阵）：如果称其为满秩矩阵，则设为n阶矩阵。满秩矩阵的概念很重要，它可以判断矩阵是否可逆，非奇异矩阵是满秩矩阵。2.用对角乔丹式判断。这个状态决定了哪个状态是不可控的。3、用传递函数判断。状态输入型的传递函数： (SI-A)-1B没有零极点抵消现象，完全可控。这个标准不能单独使用。为了便于理解和后续研究，这里介绍一个非常重要的概念，传递函数。传递 HYPERLINK %20%20%

53、20%20:/baike.baidu%20%20%20%20/view/15061.htm 函数是两个拉普拉斯变换的除法。是 HYPERLINK %20%20%20%20:/baike.baidu%20%20%20%20/view/375180.htm 原始系统中输出变量的拉普拉斯变换与输入变量的拉普拉斯变换的商 HYPERLINK %20%20%20%20:/baike.baidu%20%20%20%20/view/132034.htm 。写，上一个分别代表输出和输入 HYPERLINK %20%20%20%20:/baike.baidu%20%20%20%20/view/132034.ht

54、m 的拉普拉斯变换。传递 HYPERLINK %20%20%20%20:/baike.baidu%20%20%20%20/view/15061.htm 函数是描述 HYPERLINK %20%20%20%20:/baike.baidu%20%20%20%20/view/375180.htm 线性系统动态特性的常用工具。 HYPERLINK %20%20%20%20:/baike.baidu%20%20%20%20/view/939432.htm 初始控制理论常采用响应 HYPERLINK %20%20%20%20:/baike.baidu%20%20%20%20/view/85570.htm

55、频率法和 HYPERLINK %20%20%20%20:/baike.baidu%20%20%20%20/view/480964.htm 根轨迹法，它们都是基于传递函数的。系统定律的微分方程是对应的。因此，我们可以先把整体分成几个部分，先得到每个部分的传递函数，然后通过一定的逻辑组合这些传递函数，得到我们需要的整体传递函数。它们可用于探索系统的动态特性、稳定性，或根据 HYPERLINK %20%20%20%20:/baike.baidu%20%20%20%20/view/2637115.htm 需要集成控制系统以设计出令人满意的控制器。一种基于传递 HYPERLINK %20%20%20%2

56、0:/baike.baidu%20%20%20%20/view/15061.htm 函数知识 HYPERLINK %20%20%20%20:/baike.baidu%20%20%20%20/view/2637115.htm 探索和集成控制的系统方法是频域方法。它不仅是最开始出现的控制 HYPERLINK %20%20%20%20:/baike.baidu%20%20%20%20/view/939432.htm 基础理论 HYPERLINK %20%20%20%20:/baike.baidu%20%20%20%20/view/672447.htm ，而且在以单变量频域法为基础的现代控制理论的成长

57、过程中，不断完善，直到现在的多变量频域法。域控制理论，是研究多变量控制系统的有力工具。当一个纯虚数复数的虚部是角频率时，它被称为传递函数中的频率响应 HYPERLINK %20%20%20%20:/baike.baidu%20%20%20%20/view/85570.htm 。工程中经常使用拉普拉斯变换。 HYPERLINK %20%20%20%20:/baike.baidu%20%20%20%20/view/626001.htm 拉普拉斯变换是一种 HYPERLINK %20%20%20%20:/baike.baidu%20%20%20%20/view/325734.htm 线性变换，它将具

58、有实参数 ( ) 的函数转换为具有复参数的函数。在很多情况下，实变量函数在实数域中是非常难以操作的，但是对于拉普拉斯实变量函数的变换，它可以在复数域中进行各种数学运算。对 的计算结果进行拉普拉斯逆变换，最终可以得到实数域的结果。这种方法在操作上比直接求解方便得多。用拉普拉斯变换法计算的结果的线性微分方程非常明显，因为它可以将微分方程转化为代数方程，所以计算简单。在初始控制理论中， HYPERLINK %20%20%20%20:/baike.baidu%20%20%20%20/view/57978.htm 控制系统的讨论和集成都是基于拉普拉斯变换。引入拉普拉斯变换最明显的优点是用 HYPERLI

59、NK %20%20%20%20:/baike.baidu%20%20%20%20/view/131859.htm 传递函数来描述系统的特性，取代了之前的常系数微分方程。它的特点是用直观、简单的图形方法来确定控制系统，运行过程控制系统的分析，并为控制系统的调试提供可能。拉普拉斯变换是一个复变量函数，它是通过关系表达式（其中使用自然对数底的指数）从连续时间函数变换而来的。这就是时间函数在“复频域”中的表示方式。它的作用主要是变换，目的是使计算简单，主要是实变量和复变量之间的变换函数。对于复数参数， HYPERLINK %20%20%20%20:/baike.baidu%20%20%20%20/vi

60、ew/15061.htm 函数在(-, +) 上的积分称为函数 的（双边） HYPERLINK %20%20%20%20:/baike.baidu%20%20%20%20/view/132034.htm 拉普拉斯变换，简称拉普拉斯变换。如果在 0,+) 中积分，则称为单边拉普拉斯变换，是用 表示的复变函数。假设一个系统的输入函数 HYPERLINK %20%20%20%20:/baike.baidu%20%20%20%20/view/15061.htm 是，输出函数是，那么拉普拉斯变换和拉普拉斯变换的商称为系统的传递函数。传递函数由系统的性质决定，是一个独立的输入量。了解了传递 HYPERLI