在科学技术发展到跨进21世纪的今天

1、前言 在科学技术发展到跨进21世纪的今天，应该交给大学生什么样的数学，数学科学的哲学和方法论、数学应用的思维方式如何，以及把数学作为技术开发的工具是怎么样的等等，这一系列问题已经尖锐地摆在工科数学教育工作者面前。目前，大家已经形成的共识是，讲授数学知识不能仅仅局限于伴随牛顿力学产生和发展起来并于一百来年已经形成的经典理论，而是不仅教给学生数学基础理论，还要教给学生应用数学的技能，特别是数学建模和计算机模拟的本领；数学应用的思维方式在提倡抽象思维的同时更强调形象思维或直感思维，使用几何方法，形象化的描述及计算机图示，因为图形对想象力和创造力是强有力的刺激因素；数学应用要把计算机及其技术作为不可缺

2、少的工具和手段，使大学生学习计算机同数学科学的学习与研究紧密结合，不但会用计算机，而且能理解计算机给出的答案。这些共识就是数学教育改革所追求的方向和目标。绪论：如何何认识数数学数学是人类类最古老老同时又又是最富富生命力力的知识识领域之之一。在在近几百百年，几几乎每个个世纪，数数学都出出人意料料地获得得惊人的的发展而而创造出出新的黄黄金时代代。然而而，时至至今日仍仍有不少少人对学学习、研研究数学学的目的的和意义义产生种种种疑惑惑，特别别是刚进进入高等等学校的的接受工工程技术术教育的的学生们们总是对对学习数数学产生生一系列列的疑问问，问的的最多的的是“学习数数学对以以后所从从事的技技术工作作有什么

3、么用？”。甚至至有人认认为随着着计算机机技术的的发展，大大量的计计算问题题可以由由计算机机软件处处理，学学习数学学知识已已不那么么重要了了。应该该说这是是我们数数学教育育现在必必须回答答的一个个带有根根本性的的问题。当当然，大大多数人人学习数数学既不不想当数数学家，也也不想从从事数学学教育工工作，只只是为了了进一步步学习专专业知识识和技术术而学习习数学，而而我们面面向工程程技术教教育的学学生讲授授数学的的方式以以及学生生的学习习方法确确实有很很多地方方值得认认真反思思。一方方面，过过分的注注重“纯数学学”的严密密体系、严严格的证证明和复复杂计算算，而不不注重它它的应用用性和工工具性（科科学语言

4、言）；另另一方面面，只满满足于会会作题、应应付考试试的“应试学学习”方式，致致使学生生们无法法对数学学知识、思思想、方方法及其其应用价价值有明明晰的认认识。为为此，我我们提出出新的尝尝试，既既传授基基本的数数学知识识，又训训练应用用技能。本本章的目目的是想想让学生生对数学学有一个个基本的的概括性性认识。数学无处不不在数学是研究究数和形形及其关关系的一一门科学学。它以以研究现现时世界界中的数数量关系系和空间间形式为为主要任任务。通通俗地讲讲，数学学是以数数字、符符号、形形状和模模式来代代替文字字的一套套特殊语语言系统统。或者者说，数数学是一一种能够够描述各各种客观观规律的的语言，是是任何学学科都

5、要要用到的的、无比比有用、无无所不能能、神通通广大、全全球共通通的一种种特殊语语言。正正像已故故的著名名数学家家华罗庚庚教授所所说，宇宇宙之大大，粒子子之微，火火箭之速速，华工工之巧，地地球之变变，生物物之谜，日日用之繁繁，数学学无处不不在，凡凡是有“量”和“形”的地方方就少不不了用数数学，研研究量（或或形）的的关系、量量（或形形）的变变化、量量（或形形）的变变化关系系、量（或或形）的的关系的的变化等等问题都都离不开开数学作作为语言言工具。我们现在无无法真正正理解为为什么毫毫无智能能的动物物、植物物，甚至至低等生生物，都都会进行行奇特的的数学创创造。如如某些细细菌的繁繁殖会满满足一些些奇妙的的

6、数学规规律，植植物的花花瓣形成成精美的的几何图图形，某某些贝壳壳和松果果具有螺螺旋形生生长模式式等等。自自然界充充满着数数学概念念的实例例。这就就是数学学之所以以成为描描述、解解释自然然现象的的语言的的原因。例例如，圆圆形蜘蛛蛛网是一一个简单单漂亮的的数学创创造，要要分析这这个美丽丽结构用用数学方方法进行行分析时时，出现现在蜘蛛蛛网中的的数学概概念是惊惊人的：半径、弦弦、平行行线段、三三角形、全全等对应应角、对对数螺线线、悬链链线和无无理数ee 。我们知道蜜蜜蜂营造造的蜂房房也是奇奇妙的数数学图形形。十八八世纪初初，法国国学者马马拉尔奇奇测量了了蜂房，发发现正面面看去它它是镶嵌嵌得如此此天衣无

7、无缝的正正六角形形，蜂王王的底都都是由三三个全等等的菱形形组成的的，菱形形的钝角角都是1109，锐锐角都是是等于770（图图0-11），这这不仅是是蜂房 图0-1的空间结构构呈如此此精美的的几何形形状，而而且据巴巴黎科学学院院士士、瑞士士数学家家克尼格格与苏格格兰数学学家马克克劳林的的理论计计算，这这种结构构消耗最最少的材材料和最最少的“工时”，这里里竟然符符合最优优化的数数学原理理，真是是不可思思议！蜜蜜蜂没有有学过镶镶嵌理论论、求解解最大值值和最小小值方法法、解线线性代数数问题和和求含约约束条件件的最优优解的艺艺术，而而它却实实实在在在进行了了奇妙的的符合数数学原理理的工程程技术创创造，这

8、这不正是是把自然然界与数数学联系系起来的的例证吗吗？在矿物结构构中，同同样可以以找到许许多更为为奇妙的的空间图图形，如如食盐矿矿的晶体体呈正方方体形状状，明矾矾的晶体体呈正八八面体形形状，而而矿物质质中其它它更多的的晶体呈呈更为复复杂的几几何形状状，如十十字架石石晶体呈呈正交或或斜交十十字架双双晶形；电气石石晶体色色泽美丽丽可作为为宝石，呈呈拄状晶晶形，拄拄面有明明显的纵纵条纹，横横断面呈呈弧线三三角形；如石榴榴石的晶晶体结构构呈菱形形十二面面体或四四角三八八面体的的复杂美美妙的几几何形状状，透明明色泽的的也可作作为宝石石等（图图0-22）。 图0-2再从宏观来来看，我我们所生生活的地地球与它

9、它的卫星星月亮之之间有着着紧密的的联系，月月亮是沿沿着椭圆圆形轨道道绕地球球旋转的的。轨道道的远日日点距离离为40067000公里里（最大大），近近日点距距离为33564400公公里（最最小），亿亿万年来来，都是是如此周周而复始始地按此此规律运运行。我我们所处处的宇宙宙里，天天体之间间运行规规律无一一不是精精确的数数学关系系式。伟伟大的天天文学家家开普勒勒在谐谐和宇宙宙一书书中进一一步研究究行星运运动规律律，发现现了著名名的开普普勒行星星运动运运动三大大定律： （11）行星星绕太阳阳运行的的轨道是是椭圆形形的，而而太阳在在椭圆的的一个焦焦点上。这这个定律律说明了了行星运运动轨道道的数学学形式为

10、为： 运动方程程为： ， . 离心心率为：（2）行星星的向径径（行星星与太阳阳的连线线）在相等的时时间内扫扫过相等等的面积积。这个个定律说明了行行星的运运动速度度的数学学形式为为：.（如图00-3所所示）（3）行星星绕太阳阳公转周周期的平平方与它它们到太太阳的平均距距离的立立方成正正比例。这这个定律律说明行行 图图0-33星行星运动动的周期期性。事事实上，说说明（其其中a表示行行星到太太阳的平平均距离离，T表表示公转转周期，GG为万有有引力常常数，MM为太阳阳质量）。三定律的发发现，不不仅使人人们准确确地预先先计算出出行星的的未来的的位置，编编制成行行星的星星历表供供航海与与大地测测量使用用，

11、更重重要的是是人们可可以利用用数学的的帮助去去发现新新的行星星。果然然，在开开普勒以以后的一一百年后后，德国国天文学学家提出出在行星星的轨道道间缺一一颗行星星，17781年年，德国国天文学学家威廉廉赫歇发发现了这这颗新星星，这就就是著名名的天王王星。19世纪中中叶，法法国天文文学家勒勒维耶（118111-18877）和和英国天天文学家家亚当斯斯（18819-18992），分分别独立立计算出出一颗新新行星，命命名为海海王星。这这些行星星运动的的规律、以以及新行行星的发发现，都都是数学学方法的的光辉应应用的结结果。目目前已发发现了距距太阳约约60亿亿公里的的最遥远远的一颗颗大行星星冥王星星，因此此

12、，人们们已经知知道了太太阳系有有九大行行星。而而且在火火星与木木星之间间发现两两千多颗颗小行星星。太阳系所在在的星系系，成为为银河星星系。银银河星系系的面目目已研究究的比较较清楚了了。它的的形状像像个铁饼饼，直径径10万万光年，中中央厚度度约1万万光年。银银河系中中的物质质分布成成旋涡状状，状似似螺线，太太阳系在在银河系系的边沿沿。900年4月月美国发发射太空空的哈伯伯望远镜镜，观察察到遥远远星系的的状况，并并发现这这些星系系的运行行规律与与人们利利用数学学计算推推测的结结果几乎乎是一致致的。如如今，人人们利用用数学不不仅能计计算出星星系的运运行规律律，而且且还能计计算出恒恒星的寿寿命，以以及

13、太阳阳系、地地球、宇宇宙的年年龄等等等，这些些研究成成果越来来越使人人类更清清晰地了了解我们们的宇宙宙过去、现现在和未未来。至于人类自自身的发发明创造造，更与与数学有有密切的的联系。高高耸入云云的摩天天大楼、大大跨度的的大桥、高高性能的的电子仪仪器设备备、人造造卫星、航航天飞机机、计算算机网络络与信息息通讯设设施等等等，这些些全是人人类数学学智慧的的结晶。二、数学伴伴随人的的一生从婴儿出生生的第一一刻起，父父母要记记他的出出生时间间、医生生要为他他量体重重和身长长，还要要检查各各项健康康指标，定定时、定定量哺乳乳、进食食，这些些都于数数学有关关，婴儿儿一出生生就遇到到了数学学，并在在以后的的时

14、光里里，数学学将帮助助婴儿健健康成长长。随着幼儿的的成长，越越来越离离不开数数学。一一旦人开开口学说说话，大大人开始始教数“1，22，3，”，“识数”是人生的第一课。后来逐渐能直观地识别物体大小、东西的多少，这就有了初步的数量概念，漫漫地大人教他学习画三角形、正方形和圆等等。当你会到商店买东西，就学会了简单计算；正是有了这些初步的数量概念，才会有时间概念，知道什么时候看电视、什么时间睡觉，也会记住一些重要的节日和自己的生日等；也正是有了这些初步的几何图形概念和简单计算能力，才使幼儿逐渐具有了数量、运算、空间、形状等初始的数学思想意识。不难想象，如果我们人类没有这些数、量、空间、形状与关系的思想

15、意识，人类将和其它动物一样，陷入何等浑噩无知与黑暗之中，那将是非常可怕的混沌的时代。事实上，人类的祖先开启智能的标志之一，就是有了数量和几何形状的观念和意识。当我们进入入小学、中中学学校校学习，开开始正式式学习数数学这门门学科，懂懂得了更更为深奥奥的数学学语言和和图形语语言。知知道了整整数、小小数、分分数、正正数、负负数、有有理数、无无理数、实实数和复复数，明明白了相相等与不不等、方方程与函函数、有有限与无无限、数数列与极极限；懂懂得了图图形的全全等与相相似、直直线、圆圆、轴对对称和中中心对称称、平移移、旋转转、标量量、矢量量、坐标标、正弦弦曲线、余余弦曲线线、抛物物线、椭椭圆、双双曲线，多多

16、面体、旋旋转体，空空间曲线线和曲面面等等。我我们也学学会了加加、减、乘乘、除、乘乘方、开开方，整整式、分分式、幂幂式、根根式、方方程式、函函数式，等等式、不不等式，排排列、组组合、二二项式展展开的运运算，学学会了几几何作图图、等分分、等积积变形、分分割、展展开、放放大、缩缩小、平平移、旋旋转、反反射以及及无限细细分与无无限积累累等数学学方法。这这样以来来我们的的大脑里里已经装装进了人人类数千千年长期期总结积积累的初初等数学学知识的的精粹与与思维的的模式，使使我们的的思维方方式更科科学化了了，也就就是说，数数学训化化了我们们的大脑脑，使我我们更聪聪明睿智智了。进入高等教教育阶段段，我们们要成为为

17、某个学学科或技技术领域域的专门门人才，要要学习系系统的专专业知识识和技术术，就需需要更多多、更深深入的数数学知识识。我们们要弄懂懂函数与与极限、函函数与连连续，函函数的导导数、微微分、不不定积分分、定积积分、曲曲线积分分、曲面面积分，拉拉氏变换换和逆变变换，级级数、傅傅立叶级级数与函函数的泰泰勒展式式，微分分方程，行行列式、矩矩阵、线线性方程程组和nn维向量量，概率率统计，图图论，线线性规划划与动态态规划等等一系列列数学概概念和知知识，同同时我们们还要学学会利用用这些概概念和知知识，会会计算变变化率、改改变量，会会分析函函数的性性质和函函数图形形的特征征，会求求函数的的极值，会会进行近近似计算

18、算与误差差分析，会会求函数数曲线所所围成的的图形的的面积、曲曲线长度度和曲面面体积，会会求解一一阶线性性微分方方程和二二阶常系系数微分分方程，会会求一些些函数的的拉氏变变换和逆逆变换，会会把一个个函数展展成幂级级数、把把周期函函数展成成傅立叶叶级数，会会求行列列式的值值、会进进行矩阵阵变换和和解线性性方程组组，会求求矩阵的的特征值值和特征征向量，会会求概率率和进行行简单的的统计分分析，会会利用图图论方法法、线性性规划和和动态规规划解决决一些优优化问题题，会利利用已有有的数学学知识和和方法建建立数学学模型等等等。十余年的数数学学习习，不仅仅增长了了知识，还还学会了了逻辑思思维，就就这一点点对人的

19、的帮助最最大。当当你会归归纳、类类比、联联想，会会灵活处处理问题题，增强强了直觉觉能力，有有了数感感，有了了形感时时，那你你会变得得更聪明明、智慧慧。当你走向技技术或管管理岗位位，经常常要借助助计算机机进行工工程计算算或经济济核算，经经常要进进行分析析、判断断和决策策。这使使你感到到通过数数学培养养出的能能力有了了用武之之地。目目前出现现的一些些优秀数数学软件件功能非非常强大大，不仅仅能进行行数值计计算，而而且还能能进行符符号运算算，这不不仅使繁繁琐的计计算、推推导变得得轻松自自如，而而且也能能协助我我们进行行逻辑思思维，作作出正确确判断。因因此学会会利用流流行的数数学软件件已是工工程师、经经

20、济师们们必不可可缺学习习任务。我们要相信信，这一一系列数数学知识识的掌握握和数学学能力的的培养，是是你成为为一名高高级技术术或管理理人才的的基础。我们不难发发现，如如今的社社会生活活信息化化程度越越来越高高，终身身学习已已经成为为人的一一种特别别需要，“会学习”已成为当今社会对人的一种基本要求。然而，“会学习”的前提是必须具备通过数学培养出的足够的 “阅读”能力和逻辑思维能力。事实证明，没有经过数学逻辑思维训练的人，一般不会有健全的学习能力。当然，不一定是终身要学数学，但一定是终身要用数学。毫无疑问，数学将伴随人的一生。数学的基本本特征数学是人类类智力的的产物，许许多人认认为它具具有三个个最基

21、本本的特征征：一是是高度抽抽象性，二二是高度度精确性性，三是是广泛应应用性。数学的高度度抽象性性 数数，就是是离开具具体事物物的实际际背景，仅仅仅从它它的数量量侧面上上反映出出来的一一种抽象象。在人人类有文文字记载载的初期期，人们们就知道道把具体体的一些些物体的的数量用用符号记记录下来来，这时时人们已已经开始始有了把把“数”从具体体事物抽抽象出来来的意识识。例如如3（古古代有各各种表示示方法，现现在我们们采用的的是阿拉拉伯人的的记法）这这个数既既可表示示3个苹苹果，也也可表示示3个人人或3本本书等等等，而33本身已已经摈弃弃了苹果果、人或或书等的的具体含含义，仅仅仅抓住住数量这这一特征征的一种

22、种抽象。形，也是如如此，直直线这一一概念是是从拉紧紧的纱线线，透过过小孔的的光线，笔笔直的路路线等等等现实事事物中抽抽象出来来的。几几何学中中的直线线舍弃了了所有纱纱线、光光线、路路线等等等事物的的性质，只只留下在在一定方方向上无无限伸长长这一抽抽象形式式。几何何图形的的概念，都都是舍弃弃了现实实对象的的所有性性质，只只留下空空间形式式和大小小、位置置这些抽抽象结果果。全部部数学都都具有这这种抽象象的特征征。其实，抽象象的方法法其他学学科应用用也很广广泛，几几乎任何何学科都都有一些些的抽象象性的概概念手段段，如现现代物理理学中的的各种“场”、“熵”、“势”等等也也都是比比较抽象象的概念念；又例

23、例如力学学中的刚刚体运动动，常把把一个物物体视为为一个质质点，把把运动轨轨迹看成成一条曲曲线或直直线，这这就是典典型的抽抽象手法法。特别别是天体体运动研研究中，把把星球的的运行轨轨迹认为为是椭圆圆，这时时就把巨巨大的星星球看成成是几何何点（无无体积的的点，或或把体积积“抽象”掉了）。但但这些抽抽象的概概念并没没有完全全摆脱实实际背景景，人们们还很容容易想到到它的真真实情况况，而现现代纯粹粹数学的的抽象程程度越来来越高，有有些已经经难于找找到它的的现实背背景。尤尤其是在在过去的的一个世世纪里，数数学从内内容、意意义到方方法都经经历了前前所未有有的深刻刻变革。回回顾这种种深刻变变革，我我们会发发现

24、：数数学的无无限生命命力，恰恰恰是源源于其发发展过程程中的三三个貌似似相互矛矛盾、实实则相互互统一的的特点，即即：数学学的抽象象性、精精确性和和数学的的广泛应应用性。在在20世世纪，数数学的这这两个特特点更是是共轭地地发展着着，使数数学比以以往任何何时代都都更加成成为整个个科学技技术赖依依生存的的基础和和人类文文明、进进步的标标志。脱离具体的的实际背背景对事事物进行行“量”与“形”的抽象象是数学学固有的的特性，可可以说没没有这种种抽象就就没有数数学。220世纪纪数学更更高的抽抽象化趋趋势，最最初主要要是受了了两大因因素的推推动，即即集合论论观点与与公理化化方法，二二者相互互结合孕孕育了抽抽象代

25、数数、拓扑扑学、泛泛函分析析等新的的抽象分分支，同同时又引引发了一一些传统统数学分分支(特特别如概概率论)的革新新。数学学的核心心领域不不断拓展展，研究究对象不不断扩张张。例如如，过去去作为分分析学主主角的函函数概念念被扩张张为泛函函、算子子和一般般的映射射；代数数学研究究的中心心从普通通的数转转化为群群、环、域域等一般般的代数数结构；几何学学则主要要探讨各各种各样样的抽象象空间(包括无无穷维空空间、分分数维空空间、弯弯曲的非非欧空间间、可变变形的拓拓扑空间间等)。可可以说，现现代数学学不仅研研究现实实世界的的空间形形式与数数量关系系，而且且研究一一切可能能的空间间形式与与数量关关系。在在更广

26、泛泛的意义义上，数数学已经经被看作作是关于于“模型”(paatteern)的学科科，包括括数的模模型，形形的模型型，运动动与变化化的模型型，推理理的模型型，行为为的模型型这些些模型既既可以是是现实的的，也可可以是想想像的；既可以以是定量量的，也也可以是是定性的的，等等等。 纯纯粹数学学在200世纪经经历了一一系列激激动人心心的发展展，过去去若干世世纪以来来积累的的一些重重大问题题，有许许多已获获解决或或是取得得了重要要进展。历历3000余年悬悬而未决决的费马马大定理理的获证证(19994)，可以以说是220世纪纪纯粹数数学美妙妙的终曲曲。对于于X的nn次方X的nn次方Z的nn次方这这一看似似简

27、单的的方程式式，费马马在3000多年年前提出出，当nn大于或或等于33时无整整数解。此此后，3300多多年无人人能证明明这一定定理。除除了费马马大定理理，像事事关数学学大厦基基础的哥哥德尔不不完全性性定理的的提出(19331)、具具有异乎乎寻常的的微分结结构的“米尔诺诺怪球”的发现现(19956)、揭示示数学内内在统一一性的“阿蒂亚亚辛格指指标定理理”的证明明(19963)、四色色定理的的攻克(19776)、有有限单群群分类的的完成(19880)、等等，这些辉煌的智力成果，不断使科学界震惊，而它们的获得，都依赖于极度抽象的概念与方法。以费马大定理的证明为例，由于它综合运用了包括数论、代数几何、

28、李群和分析等众多数学分支的思想与方法而被喻为“后现代艺术”。这条表述极其初等的定理，要看懂英国数学家维尔斯对它的证明，即使对训练有素的职业数学家来说也并非易事，这多少说明了现代数学抽象的程度。哥德尔不完全性定理的提出，可涉及的领域甚至包括哲学。其抽象化也是达到了相当高深的程度。 现代数学抽抽象化趋趋势的增增长，有有时不免免引起人人们对数数学的误误解，认认为数学学是只有有少数思思维怪杰杰才能问问津的、远远离现实实的象牙牙塔。然然而数学学的抽象象决不是是无源之之水、无无本之木木。相反反，数学学与现实实世界的的联系源源远流长长。由于于数与形形是事物物所共有有的本质质属性的的抽象，数数学在其其发展的的

29、早期就就表现出出解决因因人类实实际需要要而提出出的各种种问题的的功效。随随着数学学抽象程程度的提提高，数数学与现现实世界界的联系系有时呈呈现出曲曲折性，数数学理论论往往会会领先发发展，但但这常常常只是重重大应用用的前奏奏。数学学的发展展史表明明，数学学的抽象象越是完完善，其其渗透能能力就越越强，应应用范围围就越广广。200世纪是是一个纯纯粹数学学与应用用数学相相互影响响，共同同繁荣的的时代，应应用数学学的蓬勃勃发展，已已蔚成当当代数学学的强大大潮流，并并表现出出与以往往时代不不同的鲜鲜明特征征。在目前的基基础教育育和高等等教育教教学中，尤尤其是在在高等工工程技术术教育中中，重视视数学知知识的实

30、实际背景景，加强强应用数数学意识识与能力力的培养养，是十十分必要要和迫切切的任务务。但我我们必须须清楚，数数学的巨巨大应用用威力，正正是源于于它在宇宇宙世界界和人类类社会的的探索中中对最大大限度的的一般性性即抽象象性的追追求。数数学抽象象作为一一种科学学思维的的范式，是是现代化化人才不论论其从事事何种职职业所必须须具备的的基本素素质，虽虽然对不不同的人人要求可可有所不不同。值值得指出出的是，数数学抽象象思维包包括了演演绎证明明、归纳纳推理、算算法构思思等不同同的方面面，应该该是一个个整体的的、全面面的概念念。我们在工程程类或管管理类专专业教育育中，特特别强调调数学回回归自然然，回归归工程实实际

31、，回回归技术术应用，但但我们不不可能摆摆脱数学学的抽象象性特点点。在这这里把数数学教育育的目的的定位于于应用能能力培养养，是非非常正确确的，且且最重要要的目的的是抽象象思维能能力培养养，因为为会用抽抽象的方方法解决决问题，是是高超智智慧的体体现。其其实，抓抓住现实实对象的的根本特特征进行行抽象性性描述，往往往会使使其特征征更明了了、简洁洁、直观观。数学的高度度精确性性数学的高度度精确性性主要表表现在数数学定义义的准确确性、推推理的逻逻辑严格格性和数数学结论论的确定定无疑性性与无可可争辩性性。当然然，数学学严格性性不是绝绝对的，一一成不变变的，而而是相对对的，发发展的，体体现人们们的认识识逐渐深

32、深化的过过程。数学的逻辑辑严密性性的主要要特征是是它的经经典部分分有一套套科学、简简明的公公理系统统，这些些公理系系统的标标志是：一，它它有一套套基本术术语，或或原始概概念；二二，它有有一组基基本命题题，或原原始命题题，或公公理；三三，其余余的概念念全由原原始概念念出发予予以定义义，其余余的命题题全由公公理出发发予以推推理论证证。现在在，算术术，几何何，微积积分，泛泛函分析析，拓扑扑学，集集合论，群群论，概概率论等等均已建建立在公公理化基基础上。它它的所有有不能是是例证和和个别验验证，如如著名的的歌德巴巴赫猜想想，有人人用计算算机验证证了几百百万个素素数都是是对的，但但这仍不不能算证证明了歌歌

33、德巴赫赫猜想。再再如对于于下面的的二次式式我们可以验验证，当当x=11,2,1000000时,都是素素数。可可是我们们决不能能下结论论对所有有的自然然数x, 是素素数。举举出一个个反例，就就是x=724490，因因为 . 不不能用例例证得出出结论，任任何结论论都必须须经过严严密的演演绎推断断，数学学家核心心任务是是根据已已知的结结论通过过严密演演绎推理理证明新新的结论论或证实实人们的的各种猜猜想等，而而其它学学科的专专家们只只关心数数学结论论极其应应用，不不必理解解其证明明细节，因因此，从从事工程程类或管管理类专专业数学学教育的的工作者者，千万万不要以以教会数数学的严严密证明明为目的的，而是是

34、要以帮帮助学生生分析理理解数学学结论、训训练应用用方法为为主要任任务和目目的。3数学的的广泛应应用性自然科学发发展史表表明，任任何学科科研究都都要经历历从定性性到定量量研究的的过渡和和飞跃。只只要该学学科是不不介入实实验的，才才是该门门学科趋趋于成熟熟的表现现。要做做到这一一点，数数学学科科是个有有力的杠杠杆。似似乎可以以这样说说，在现现代科学学技术十十大部门门（引自自钱学森森19889年88月在数数学会教教育与科科研座谈谈会上的的讲话发发展我国国的数学学学科。他他指出的的科学技技术十大大门类为为：自然然科学、社社会科学学、数学学科学、思思维科学学、系统统科学、人人体科学学、军事事科学、文文艺

35、理论论、行为为科学、地地理科学学）中绝绝大部门门的素养养和训练练中，数数学理论论是个终终极的目目标，这这是由于于在各个个部门的的有关现现象、规规律和结结论只有有用准确确的数学学语言才才能描绘绘清楚。19世纪七七、八十十年代，还还是在现现代数学学发展的的早期，恩恩格斯曾曾对当时时数学应应用的状状况作过过这样的的估计：“在固体体力学中中是绝对对的，在在气体力力学中是是近似的的，在化化学中是是简单的的一次方方程式，在在生物学学中等于于零”。经过过一个多多世纪的的发展，可可以看到到恩格斯斯所描述述的情况况有了根根本的改改观。数数学正在在向包括括从粒子子物理到到生命科科学、从从空间科科学到地地球科学学在

36、内的的一切科科学领域域进军。 数数学在物物理学中中的应用用在200世纪取取得了一一系列新新的突破破。众所所周知，在在相对论论和量子子力学的的创立和和发展中中，数学学都建有有奇功：出于纯纯粹数学学的兴趣趣而获得得的抽象象成果(张量分分析、无无穷维空空间等)恰恰分分别为这这两种新新兴的物物理理论论提供了了现成合合用的数数学工具具。抽象象数学为为物理学学新理论论准备了了仿佛是是定做的的工具。在在20世世纪下半半叶又演演出了精精彩的一一幕，在在物理学学家探索索统一场场论的艰艰难卓绝绝的努力力中，数数学家们们发现著著名的杨杨米尔斯斯理论所所需要的的数学工工具早已已存在，物物理规范范势实际际上就是是大范围

37、围微分几几何中纤纤维丛上上的联络络。 至至于现代代化学，描描述化学学过程少少不了微微分方程程和积分分方程，并并且有许许多还是是连数学学家都感感到棘手手的非线线性方程程。 生生物学不不用数学学的时代代也已一一去不返返。脍炙炙人口的的例子是是：拓扑扑学(特特别是其其中的扭扭结理论论)为解解开DNNA双螺螺旋结构构之谜提提供了一一把钥匙匙。人类类基因的的破译用用到更多多的数学学知识。今今天，数数理统计计应用于于遗传学学；概率率论应用用于人口口统计和和种群理理论；微微分方程程应用于于各种生生物模型型的建立立；布尔尔代数应应用于神神经网络络描述；这一一切已构构成了“生物数数学”的丰富富内容。 “数学物物

38、理”、“数理化化学”、“生物数数学”、“数学地地质学”、“数理气气象学”，一一连串交交叉学科科的形成成说明了了数学向向其它自自然科学学领域渗渗透的广广度。而而纯粹数数学中的的一些前前沿与其其他科学学的许多多前沿领领域的快快速结合合，则反反映了数数学渗透透的深度度。可以以说没有有这些前前沿数学学就没有有当代物物理学的的一些前前沿领域域如超弦弦理论、超超引力理理论等。事事实上，像像超弦理理论这样样的物理理学热门门分支所所用到的的数学，就就涉及微微分拓扑扑、代数数几何、微微分几何何、群论论、无穷穷维代数数、复分分析等等等。 除除了自然然科学，在在经济学学、社会会学、历历史学等等过去认认为不适适用数学

39、学的社会会科学部部门，数数学方法法也开辟辟了广阔阔的用武武之地。数数学正在在向社会会科学和和文化艺艺术领域域广泛渗渗透，这这是数学学应用不不同于以以往时代代的崭新新趋势。数数学与一一些社会会科学领领域相结结合也产产生了一一系列交交叉学科科，如数数理经济济学、数数理语言言学、数数学考古古学、史史衡学等等等。 数数学在经经济学中中的应用用是很具具代表性性的例子子。200世纪四四十年代代以来，经经济学研研究的数数学化导导致了数数理经济济学的诞诞生，参参与这门门交叉学学科建立立的有大大数学家家冯诺依曼曼等。五五十年代代以后，数数学方法法在西方方经济学学中占据据了重要要地位，以以致大部部分的诺诺贝尔经经

40、济学奖奖都被授授予了与与数理经经济学有有关的工工作。其其中如不不久前曾曾来北京京参加国国际数学学家大会会并作了了公众讲讲演的美美国数学学家J纳什，他他根据对对策论数数学原理理提出非非合作对对策的“纳什均均衡”，成为为当前热热门的“双赢”概念的的理论基基础。因因此说纳纳什的数数学研究究不仅将将改变经经济学的的面貌，而而且将影影响整个个社会科科学的未未来，大大概不会会过分。又又如当前前国际金金融市场场普遍使使用的期期权定价价公式布莱莱克斯科尔尔斯公式式，实际际上是根根据高度度抽象的的数学工工具(随随机微分分方程)导出的的数学公公式，这这一公式式被誉为为“华尔街街第二次次革命”的起点点，它表表明了抽

41、抽象的数数学怎样样可以与与人们的的社会经经济利益益息息相相关。难难怪在四四方国家家读经济济学位，学学习数学学知识的的深度和和广度往往往比其其它学科科都要高高。 现现代数学学不仅影影响着人人们的经经济活动动，而且且正在影影响着人人们的文文化生活活。数学学通过计计算机，正正在提供供新的艺艺术创作作手段和和艺术产产品，给给人们带带来全新新的艺术术享受。想想一想数数码音像像、三维维动画，还还有那精精美绝伦伦的分形形绘画等等等。数学学与艺术术相结合合，正在在走进千千家万户户。 还还是在上上个世纪纪的前半半叶，著著名社会会活动家家WF怀特曾曾这样写写道：“数学化化的社会会科学将将成为未未来文明明的控制制因

42、素”。今日日的社会会科学离离怀特预预言的目目标相距距还远，但但20世世纪应用用数学的的发展历历程表明明，这方方面的前前景是光光明的。 现现代数学学对生产产技术的的应用变变得越来来越直接接。以前前数学工工具直接接应用于于生产技技术的事事例虽有有发生，但但数学与与生产技技术的关关系基本本上是间间接的，往往往是先先应用于于其他科科学(如如力学、物物理学、天天文学)，再由由这些科科学提供供技术进进步的基基础。220世纪纪下半叶叶以来，数数学与生生产技术术的相互互作用正正在加强强，数学学提供的的工具直直接推动动技术革革新的频频率正在在加快，并并在许多多情况下下产生出出巨大的的经济效效益。 众所周知，数数

43、学是历历次产业业革命的的重要推推动因素素。如果果说数学学间接地地引导了了前两次次产业革革命(以以微积分分为基础础的177、188世纪科科学的高高涨成为为以蒸汽汽机等为为主导技技术的第第一次产产业革命命的先导导；与数数学分析析的进步步密不可可分的119世纪纪数学物物理的发发展为以以发电机机、无线线电通信信等为主主体技术术的第二二次产业业革命奠奠定了理理论基础础)，那那么它在在20世世纪发生生的第三三次产业业革命中中则更多多地站到到了前台台。例如如，如果果没有数数学家的的参与，就就不可能能有现代代计算机机技术与与庞大的的计算机机产业。数数学家对对电子计计算机的的发明和和发展有有不可磨磨灭的贡贡献。

44、冯冯诺依曼曼是第一一台通用用电子计计算机(ENIIAC)的主要要研制者者之一，他他的程序序内存思思想至今今仍是现现代计算算机的主主要设计计理念。英英国数学学家图灵灵的“理想计计算机”(“图灵机机”)提供供了通用用数字计计算机的的理论模模型。图图灵本人人也是早早期电子子计算机机研制的的元勋。值值得注意意的是，“图灵机”的提出完全是为了解决与数学基础有关的一个纯理论问题(可判定性问题)。 除除了计算算机技术术，数值值模拟已已成为航航空、航航天设计计的有效效工具，类类似的数数值模拟拟方法正正在被应应用于包包括核工工业在内内的许多多技术部部门，以以代替耗耗资巨大大的试验验；19980年年以来，小小波分

45、析析直接应应用于通通信、石石油勘探探、图像像压缩等等技术领领域；现现代医学学仪器工工业也离离不开数数学(如如CT扫扫描仪的的研制，就就是以现现代数学学中所谓谓“拉东积积分”理论为为基础，有有关的科科学家因因此荣获获了诺贝贝尔医学学生理学学奖)，等等等。这这样的例例子举不不胜举。 现现代数学学正在通通过向人人类几乎乎所有的的知识领领域空前前广泛地地渗透而而影响着着人们的的生活方方式物质质的和精精神的生生活方式式。 数数学的抽抽象性与与广泛应应用性的的基本特特征，决决定了它它的科学学地位与与文化价价值。高高斯曾同同时将数数学比作作科学的的“皇后”和“仆人”，这确确是恰当当的评价价。数学学的抽象象智

46、力成成果，以以其逻辑辑的威力力和算法法的精密密将永远远是这门门科学的的光荣所所在。但但抽象的的数学语语言与数数学结构构，如果果不能服服务于其其他科学学技术领领域，也也不可能能享有如如此的尊尊荣。正正确认识识数学这这两方面面的特征征及相互互关系，对对于推动动数学科科学的健健康发展展至关重重要。 四、数学对对人类文文明和科科技进步步的影响响其实上面对对数学广广泛应用用性的描描述中，我我们可以以体会到到数学对对人类文文明和科科技进步步的影响响，但下下面我们们就199、200世纪里里数学在在科学中中的作用用和影响响作进一一步的概概述。“数学：科科学的王后和仆人”是已已故美国国科学院院院士贝贝尔于119

47、511年写的的一本书书的书名名，该书书主要是是为数学学圈子以以外的人人写的，介介绍纯粹粹数学和和应用数数学的各各个方面面，更着着重在说说明数学学科学的的突出重重要性。这这本书实实际上是是他19931年年写的科科学的女女王和和19337年写写的科科学的女女仆这这两本通通俗数学学读物的的合一修修订扩大大版。 按按常理，女女王是高高雅、权权威和至至尊至贵贵的，是是阳春白白雪，在在科学中中只有纯纯粹数学学才具有有这样的的特点。简简洁明了了的数学学定理一一经证明明就是永永恒的真真理，极极其优美美而且无无懈可击击。另一一方面，科科学和工工程的各各个分支支都在不不同程度度上大量量使用数数学，享享受着数数学的

48、贡贡献。这这时数学学科学就就是仆人人，英文文书名中中serrvannt这个个字在英英文里有有“供人们们利用之之物，有有用的服服务工具具”的意思思。 首首先，我我们来回回顾一下下形成我我们现在在这个飞飞速发展展的信息息社会的的所有重重大科学学理论在在发展和和完善过过程中数数学所起起到的不不可或缺缺的作用用。 220世纪纪最大的的科学成成就莫过过于爱因因斯坦的的狭义和和广义相相对论了了，但是是如果没没有黎曼曼于18854年年发明的的黎曼几几何，以以及凯莱莱，西勒勒维斯特特和诺特特等数学学家发展展的不变变量理论论，爱因因斯坦的的广义相相对论和和引力理理论就不不可能有有如此完完善的数数学表述述。爱因因

49、斯坦自自己也不不止一次次地说过过这一点点。例如如，19912年年夏他已已经概括括出新的的引力理理论的基基本物理理原理，但但是为了了实现广广义相对对论的目目标，还还必须寻寻求理论论的数学学结构，爱爱因斯坦坦为此花花了3年年的时间间，最后后，在数数学家MM格拉斯斯曼的介介绍下掌掌握了发发展相对对论引力力学说所所必需的的数学工工具以黎曼曼几何为为基础的的绝对微微分学，也也就是爱爱因斯坦坦后来所所称的张张量分析析。在119155年111月255日发表表的一篇篇论文中中，爱因因斯坦终终于导出出了广义义协变的的引力场场方程，在在该文中中他说：“由于这这组方程程，广义义相对论论作为一一种逻辑辑结构终终于大功

50、功告成！”广义相相对论的的数学表表达第一一次揭示示了非欧欧几何的的现实意意义，成成为历史史上数学学应用最最伟大的的例子之之一。他他还说过过“事实上上，我是是通过她她(诺特特)才能能在这一一领域内内有所作作为的。” 如如果没有有凯莱在在18558年发发展的矩矩阵数学学及其后后继者的的进一步步发展，海海森伯和和狄拉克克就无法法开创现现代物理理学量子子力学方方面的革革命性工工作。狄狄拉克甚甚至说，创创建物理理理论时时，“不要相相信所有有的物理理概念”，但是是要“相信数数学方案案，甚至至表面上上看去，它它与物理理学并无无联系。” 整整个电磁磁场的理理论是由由马克斯斯威尔方方程组表表述的，但但是“虽然场

51、场的理论论起源应应归功于于英国物物理学家家法拉第第，但法法拉第不不是数学学家，他他没能发发展这个个概念。经经过马克克斯威尔尔之手，电电场理论论得到了了精确的的描述，成成为以后后所有场场论的模模式。” 整整个流体体运动的的理论是是由纳维维托克斯斯方程组组表述的的，它首首先是由由法国多多科工艺艺和交通通工程学学校的力力学教授授纳维初初步完成成的，而而最终是是由英国国物理学学家和数数学家斯斯托克斯斯爵士完完善并完完成的。 计计算的技技艺数值分分析以及及运算速速度的问问题(计计算机的的制造)，牛顿顿、莱布布尼兹、欧欧拉、高高斯都曾曾给予系系统研究究，它们们一直是是数学的的重要部部分。在在现代计计算机的

52、的发展研研制中数数学家起起了决定定性的作作用。莱莱布尼兹兹，贝巴巴奇等数数学家都都曾研制制过计算算机。220世纪纪30年年代，符符号逻辑辑的研究究方程活活跃，丘丘奇，哥哥德尔，波波斯特和和其他学学者研究究了形式式语言。经经过他们们以及图图灵的研研究工作作，形成成了可计计算性这这个数学学概念。119355年前后后，图灵灵建立了了通用计计算机的的抽象模模型。这这些成果果为后来来冯诺伊曼曼和他的的同事们们制造带带有存储储程序的的计算机机，为形形式程序序的发明明提供了了理论框框架。 通通信的数数学理论论是由数数学家香香农(他他还具有有电气工工程的学学位)于于19448年发发表的通通信的数数学理论论一书

53、书奠定其其理论基基础的，随随后就掀掀起了持持续的信信息技术术革命。数数学家纳纳维于119488年出版版的控控制论一一书宣告告了控制制论这门门学科的的诞生。 自119688年起诺诺贝尔经经济学奖奖获奖设设立项目目90%以上都都是有关关经济学学行为的的数学建建模及相相应的研研究工作作，获奖奖者中不不少人有有数学博博士学位位。特别别要提到到的是119944年诺贝贝尔经济济学奖授授予纯粹粹数学家家J纳什是是意义重重大的，“这意味着在诺贝尔奖93年的历史上，第一次授予了纯数学领域的工作。”类似的例子还有许多，我们不再举了，我们真正要讨论的问题，是从这些事实中我们得到什么样的启示。 首先先，正如如马克思思

54、认为的的“一种科科学只有有在成功功地运用用数学时时，才算算达到了了真正完完善的地地步。”纯粹数数学的优优秀成果果往往为为重大科科学理论论的建立立作好了了准备，有有时甚至至是先导导。千万万不能忽忽视纯粹粹数学的的发展，特特别是要要有一批批精兵强强将长期期从事纯纯粹数学学基础理理论的研研究，并并有条件件经常和和应用科科学家进进行交流流，让搞搞应用的的了解并并应用纯纯数学成成果。应应用数学学家去解解决各种种实际问问题时，在在观念上上不可有有单打独独斗的想想法，一一定要与与相应领领域的专专家紧密密合作。在在我国凡凡是做出出重大科科研成果果的科学学家都有有上述特特点。仅仅以国家家最高科科学技术术奖为例例

55、，吴文文俊、王王选和黄黄昆，他他们或是是数学家家，或是是数学专专业毕业业同时又又掌握计计算机硬硬件和软软件的技技术，或或是能用用完善的的数学形形式表述述其深刻刻的物理理洞察。所所有这些些充分说说明了“数学的的思考方方式有着着根本的的重要性性。简言言之，数数学为组组织和构构造知识识提供方方法。一一旦数学学用于技技术，它它就能产产生系统统的、可可再现的的并能传传授的知知识。分分析、设设计、建建模、模模拟和应应用便会会成为可可能，变变成高效效的富有有结构的的活动。”也就是说能转化为生产力。但是，50年前数学虽然也直接为工程技术提供一些工具，但基本上是间接的：先促进其他科学的发展，再由这些科学提供工程

56、原理和设计的基础。现在，数学和工程之间在更广阔的范围内和更深的层次上，直接地相互作用着，极大地推动了数学和工程科学的发展，也极大地推动了技术的进步。 220世纪纪后半叶叶最重要要的科技技进展之之一是计计算机、信信息和网网络技术术的迅速速发展。我我们仅就就计算机机的运算算速度来来看，119466年公开开展示的的第一台台计算机机电子数数学积分分计算机机的运算算速度是是每秒符符点运算算5，0000次次，现在在已经达达到每秒秒符点运运算1000亿次次，据专专家估计计到20010年年可达到到一万亿亿次。可可以想象象现在计计算机能能完成的的工作和和50年年前相比比简直是是不可同同日而语语。现在在有点象象牛

57、顿、莱莱布尼兹兹发明微微积分时时的情况况，当初初微积分分还很不不严密，但但用来描描述、研研究各种种实际问问题产生生了许许许多多的的数学模模型，有有的能求求解出来来，就能能不同程程度地解解决问题题。然而而，当时时算不出出来，或或者不能能及时算算出来，也也就不能能解决问问题。现现在，计计算速度度等技术术指标在在某种意意义下远远远走在在前面了了。“数学建建模和与与之相伴伴的计算算正在成成为工程程设计中中的关键键工具。科科学家正正日益依依赖于计计算方法法，而且且在选择择正确的的数学和和计算方方法以及及解释结结果的精精度和可可靠性方方面必须须具有足足够的经经验。”我们看看到的是是各行各各业都在在大量应应

58、用数学学和计算算机等技技术，通通过数学学建模、仿仿真等手手段解决决问题，并并且把解解决同类类问题的的方法和和成果制制作成软软件(它它们甚至至是相当当傻瓜化化的)，并并进行销销售。人人们看到到的正是是这种数数学应用用大发展展的景象象，更确确切地说说是美国国科学基基金会数数学部主主任在评评论数学学科学列列为五大大创新项项目之首首时所说说的，“该重大大创新项项目背后后的推动动力就是是一切科科学和工工程领域域的数学学化。”当然也也有不同同认识，也也有人认认为不需需要懂得得很多数数学，只只要会用用软件就就行了。也也有人认认为现在在不需要要发展基基础数学学了，只只要通过过数学建建模和计计算加上上物理的的直

59、观就就可以解解决问题题了。特特别是，有有人认为为现在的的学生不不需要学学那么多多的数学学了。这这实在是是极大的的误解。 有人人认为，能能够马上上拿来就就用的数数学一定定是相当当成熟的的成果。但但是为了了解决现现实中的的重大问问题，已已有的数数学成果果是远远远不够的的。产生生上述误误解的原原因主要要是对新新世纪科科技发展展与数学学之间的的关系思思考、认认识不够够。一百百多年以以前恩格格斯没有有预料到到，科学学发展到到今天，数数学在生生物学、医医学等领领域正起起着越来来越重要要的作用用，无论论在生态态学、生生理学、心心理学，以以至DNNA和生生命科学学的研究究中，我我们都看看到数学学的强大大生命力

60、力。甚至至医生在在做手术术之前都都可以先先进行数数学模拟拟以预知知各种方方案可能能出现的的后果，再再依据个个人的经经验来选选择手术术方案。220022年美国国科学基基金会专专门在俄俄亥俄州州立大学学成立了了一个“数学生生物科学学研究所所”。 前前面提到到在与其其他学科科的关系系中，数数学的发发展不少少方面正正逐渐从从后台走走向前台台，这又又是200世纪数数学发展展的一个个重要特特点。这这方面的的典型范范例大概概有两个个方面，一一是密码码学及电电子商务务、信息息安全、军军事运筹筹学、网网络战等等相关领领域，主主要依靠靠数学思思想和方方法的创创新及其其软件实实现；二二是发达达国家政政府的重重要部门