存在性问题模块第二讲等腰、直角三角形

1、 源于名校，成就所托 全日制课程初三教案模块 存在性问题 第二讲 存在等腰、直角三角形问题教学内容概要：本讲主要讲解等腰三角形、直角三角形存在性问题，该题型也多与动点问题结合在一起，综合性较强。 等腰三角形问题有两个切入点，一个为边，一个为角，常用的辅助线为底边上的中线（底边上的高），再根据三线合一的性质及其他一些已存条件（比如角的锐角三角比）去求解；直角三角形问题往往是通过讨论哪个角为直角入手，常用到的知识点有勾股定理、相似三角形、锐角的三角比等。教学目标： 1、让学生熟悉该题型的常用解题思路与方法。 2、培养学生对动态几何问题的分析能力、对方程的计算能力。 3、培养学生分类讨论的思想。 4

2、、培养学生数形结合的思想。重难点： 1、分析问题的灵活性及全面性。 2、计算环节的准确性。 3、分类讨论。 第一部分 例题经典例1：如图所示的正方形网格中，网格线的交点称为格点.一直A、B是两格点，如果C也是图中的格点，且使得ABC为等腰三角形，则点C的个数是（ ） A.6 B.7 C.8 D.9C【点评】主要考查学生考虑问题的全面性。例2：已知，在直角坐标平面内，A、B两点的坐标为A（2，2）、B（-1，-2），点P在轴上且PAB是直角三角形，求点P的坐标.解：设P（x，0）则AP= BP= AB=5 当P=90时，AP2+BP2=AB2 得x2-x-6=0 解得x1=3 x2=-2 当A=

3、90时 ，AP2+AB2=BP2 得6x=28 解得x= 当B=90时 ，BP2+AB2=AP2 得6x=-22 解得x=- 综上，满足条件的点有P1（3,0） P2（-2,0） P3（，0） P4（-，0） 【点评】本题从哪个角为直角入手，分三种情况讨论，难度不大，计算过程中要细心。例3：如图，在平面直角坐标系中，二次函数y=ax2+bx+c的图像经过点A（3,0），B（-1,0），C（0，-3），顶点为D （1）求这个二次函数的解析式及顶点坐标；yxOABCD （2）在轴上找一点（点与点不重合），使得，求点坐标.yxOABCD解：（1）y=x2-2x-3 顶点D（1，-4） （2）设OP=

4、m 过点D作DEy轴，垂足为点E. 若APD=90，可知AOPPED 则= = m2-4m+3=0 解得m1=1 m2=3（与点C重合，舍） m=1 点P坐标为（0，-1）【点评】本题第2问代数法和几何法皆可用，代数法即与例2相同，设点P坐标，将AP、DP用两点的距离公式表示出来，在APD中利用勾股定理求未知数，代数法的优点在于不容易漏解，缺点是计算量较大；本题给出的方法为几何法，运用了一线三直角判定三角形相似，再根据对应边成比例列出等式最后求出未知数，几何法的优点在于借助图形观察清晰可见而且计算量较小，缺点在于可能会出现漏解的现象。例4：已知：把RtABC和RtDEF按如图甲摆放（点C与点E

5、重合），点B、C（E）、F在同一条直线上BAC = DEF = 90，ABC = 45，BC = 9 cm，DE = 6 cm，EF = 8 cm如图乙，DEF从图甲的位置出发，以1 cm/s的速度沿CB向ABC匀速移动，在DEF移动的同时，点P从DEF的顶点F出发，以3 cm/s的速度沿FD向点D匀速移动当点P移动到点D时，P点停止移动，DEF也随之停止移动DE与AC相交于点Q，连接BQ、PQ，设移动时间为t（s）解答下列问题： （1）设三角形BQE的面积为y（cm2），求y与t之间的函数关系式，并写出自变量t的取值范围；(图乙)(图甲) （2）当(图乙)(图甲)解：（1）ACB = 45，

6、DEF = 90，EQC = 45EC = EQ = t，BE = 9t 即： （）（2）当DQ = DP时，6t =103t，解得：t = 2s. 当PQ = PD时，过P作，交DE于点H， 则DH = HQ=，由HPEF , 则，解得s 当QP = QD时，过Q作，交DP于点G， 则GD = GP=，可得：DQG DFE , ，则，解得s【点评】本题第2问的等腰三角形分类讨论问题的解法很常规，在此三角形中已知了两边的表达式，而且这两边的夹角为定角，锐角三角比已知。那么第一种情况就可直接讨论该两边相等，直接就可得到未知数的一个等式，从而去求解；后面两种情况的方法是一致的，都是添加底边上的高，

7、根据等腰三角形三线合一的性质得到平分，最后再根据相似三角形或者锐角三角比的相关知识列出等式，从而求解。例5：已知ABC为等边三角形，AB=6，P是AB上的一个动点（与A、B不重合），过点P作AB的垂线与BC相交于点D，以点D为正方形的一个顶点，在ABC内作正方形DEFG，其中D、E在BC上，F在AC上， （1）设BP的长为x，正方形DEFG的边长为y，写出y关于x的函数解析式及定义域； （2）当BP=2时，求CF的长； （3）GDP是否可能成为直角三角形？若能，求出BP的长；若不能，请说明理由. 解：（1）ABC为等边三角形，B=C=60，AB=BC=AC=6. DPAB，BP=x，BD=2x

8、. 又四边形DEFG是正方形，EFBC，EF=DE=y，PGDEFABPGDEFABC . （3） （2）当BP=2时， （3）GDP能成为直角三角形. PGD=90时，DABCGPEFDABCGPEFGPD=90时，解得当GDP为直角三角形时，BP的长为或者.【点评】本题中有特殊角，很多线段之间有相应的数量关系，这大大降低了解题的难度。第3问中直角三角形分类讨论问题只存在两种情况，因为该三角形中有一个固定的角。在两种情况下，把握好特殊角、相应线段之间的比值关系是解答本问的关键，作图能力也是本问考查的一个重点。例6：如图，已知在直角梯形中，动点、分别在边和上，且线段与相交于点，过点作，交于点，

9、射线交的延长线于点，设 （1）求的值ABQCGFEPD （2）当点运动时，试探究四边形的面积是否会发生变化？如果发生变化，请用的代数式表示四边形的面积ABQCGFEPD （3）当是以线段为腰的等腰三角形时，求的值解：（1）在梯形ABCD中，ADBC，EFBC，又BQ=2DP， （2）不发生变化在BCD中，EFBC，而BC=13，又PDCG，CG=2PDCG=BQ，即QG=BC=13作EMBC，垂足为点M可求得EM=8 （3）作PHBC，垂足为点H（i）当PQ=PG时， 解得（ii）当PQ=GQ时，解得或综上所述，当PQG是以PQ为腰的等腰三角形时，x的值为、2或【点评】本题第3问还是有一定难度

10、的，因为该问限定了线段为腰，所以只需讨论两种情况，但是最后的答案其实是有3个，在这点上很多学生可能会漏解，钝角三角形的情况容易被忽略。本题运用代数方法去求解的话相对于几何方法漏解的几率会低很多。两种情况下本题添加的是同一条辅助线，但是第一种情况利用了等腰三角形三线合一的性质，第二种情况是运用了勾股定理。 第二部分 课堂练习1、已知点A（0，3）、B（0，-1），是等边三角形，求点C的坐标.解：如图所示，当点C在第一象限时，作CDy轴，垂足为D 由已知可得AB=4，则AD=BD=2 则CD=2 点C坐标为（2，1） 同理，当点C在第二象限时，C（-2，1）综上C1（2，1）C2（-2，1）已知正

11、方形ABCD，试在该平面内找一点P，使得PAB、PBC、PCD、PDA都是等腰三角形，这样的点P共有几个？试画出图形.解：如图，以正方形顶点为圆心、正方形的边长为半径作圆，圆的交点有8个，这8个点到4个圆心的距离都为半径r.再加上中心点，一共是9个点.3、在平面直角坐标系中，现将一块等腰直角三角板ABC放在第二象限，斜靠在两坐标轴上，且点A（0，2），点C（1，0），如图所示，抛物线y=2ax2+ax-经过点B （1）求点B的坐标； （2）求抛物线的解析式；A(0，2)OxyA(0，2)OxyBC(-1,0)解：（1）过B作BDx轴于D BCA=90 BCD=CAO=90-ACO 又BC=AC

12、，BDC=AOC=90 BDCCOA AO=DC=2 BD=OC=1 B（-3，1） （2）将点B坐标代入抛物线解析式 解得a= 抛物线解析式为y=x2+x- （3）存在.如图所示，假设ACQ是以AC为直角边、CAQ的等腰直角三角形，过点Q作QHy轴，垂足为H 易证AHQCOA AH=1 QH=2 点Q坐标为（2,1） 将点Q坐标代入抛物线解析式 点Q不在抛物线上 同理 当ACQ是以AC为直角边、ACQ的等腰直角三角形时 可求得点Q坐标为（1，-1） 经验证 点（1，-1）在抛物线上 满足题意的点有P（1，-1）如图1，在等腰梯形ABCD中，ADBC，E是AB的中点，过点E作EFBC交CD于点

13、FAB=4，BC=6，B=60度 （1）求点E到BC的距离； （2）点P为线段EF上的一个动点，过P作PMEF交BC于点M，过M作MNAB交折线ADC于点N，连接PN，设EP=x当点N在线段AD上时（如图2），PMN的形状是否发生改变？若不变，求出PMN的周长；若改变，请说明理由；当点N在线段DC上时（如图3），是否存在点P，使PMN为等腰三角形？若存在，请求出所有满足要求的x的值；若不存在，请说明理由解：（1）过点E作EHBC，垂足为H 在RtBEH中，BE=2，B=60，可求得EH= （2）不改变.在三角形PMN中，可知PM=，MN=4. 延长MP交直线AD于点G，则MGAD，在RtMNG

14、中，MG=2，MNG=60，可求得GN=2 在RtPNG中，可PG=，GN=2，可求得PN= PMN的周长为+4 当点N在线段DC上时，在CMN中，C=60，CMN=60，CMN始终为等边三角形 由（1）可知BH=1，EP=BC-BH-CM=5-CM 当PM=PN=时，可求得MN=3，CM=3 EP=5-3=2 当MN=MP=时，CM= EP=5- 当NP=NM时，可求得MN=1，CM=1，EP=5-1=4 综上，x的值为2或5-或4 第三部分 课后作业 A卷1、已知A（0，3）、B（4，0），在坐标轴上求点C，使为等腰三角形.2、如图，抛物线y=ax2-5ax+4经过ABC的三个顶点，BCx

15、轴，点A在x轴上，点C在y轴上，AB平分CBOxyCBOxyA （1）求该抛物线的解析式； （2）若P在x轴下方，且PAB是直角三角形，求点P的坐标.3、如图，已知抛物线y=x2+bx+c与x轴交于A、B两点（点A在点B左侧），与y轴交于点C(0，3)，对称轴是直线x1，直线BC与抛物线的对称轴交于点D （1）求抛物线的函数表达式； （2）求直线BC的函数表达式； （3）点E为y轴上一动点，CE的垂直平分线交CE于点F，交抛物线于P、Q两点，且点P在第三象限当以C、D、E为顶点的三角形是直角三角形时，请直接写出点P的坐标4、如图，在ABC中，AB=AC=5，BC=6，P是BC上一点，且BP=2

16、，将一个大小与B相等的角的顶点放在P点，然后将这个角绕P点转动，使角的两边始终分别与AB、AC相交，交点为D、E （1）求证：BPDCEP；（2）是否存在这样的位置，PDE为直角三角形？若存在，求出BD的长；若不存在，说明理由5、如图，在RtABC中，A90，AB6，AC8，D，E分别是边AB，AC的中点，点P从点D出发沿DE方向运动，过点P作PQBC于Q，过点Q作QRBA交AC于R，当点Q与点C重合时，点P停止运动设BQx，QRy （1）求点D到BC的距离DH的长； （2）求y关于x的函数关系式（不要求写出自变量的取值范围）； （3）是否存在点P，使PQR为等腰三角形？若存在，请求出所有满足

17、要求的x的值；若不存在，请说明理由AABCDPQEHR B卷1、如图，在中，点在上，过点 作，角的两边分别与、交于、（1）求的长；（2）如果为等腰三角形，求的长；2、如图，已知抛物线y=ax 2bxc（a0）的对称轴为x1，且抛物线经过A（1，0）、C（0，3）两点，与x轴交于另一点B （1）求这条抛物线所对应的函数关系式； （2）在抛物线的对称轴x1上求一点M，使点M到点A的距离与到点C的距离之和最小，并求出此时点M的坐标；yOxABCxyOxABCx1如图1，在平面直角坐标系中，有一张矩形纸片OABC，已知O（0，0），A（4，0），C（0，3），点P是OA边上的动点（与点O、A不重合）现

18、将PAB沿PB翻折，得到PDB；再在OC边上选取适当的点E，将POE沿PE翻折，得到PFE，并使直线PD、PF重合 （1）设P（x，0），E（0，y），求y关于x的函数关系式； （2）如图2，若翻折后点D落在BC边上，求过点P、B、E的抛物线的函数关系式； （3）在（2）的情况下，在该抛物线上是否存在点Q，使PEQ是以PE为直角边的直角三角形？若不存在，说明理由；若存在，求出点Q的坐标4、已知：如图，在平面直角坐标系xOy中，边长为2的等边OAB的顶点B在第一象限，顶点A在x轴的正半轴上另一等腰OCA的顶点C在第四象限，OCAC，C120现有两动点P，Q分别从A，O两点同时出发，点Q以每秒1个

19、单位的速度沿OC向点C运动，点P以每秒3个单位的速度沿AOB运动，当其中一个点到达终点时，另一个点也随即停止. （1）求在运动过程中形成的OPQ的面积S与运动的时间t之间的函数关系，并写出自变量t的取值范围；AMCBNOAxy图AMCBNOAxy图AQCBPOAxy图5、如图，在平面直角坐标系中，矩形OABC的两边OA、OC分别在x轴、y轴的正半轴上，OA4，OC2点P从点O出发，沿x轴以每秒1个单位长的速度向点A匀速运动，当点P到达点A时停止运动，设点P运动的时间是t秒将线段CP的中点绕点P按顺时针方向旋转90得点D，点D随点P的运动而运动，连接DP、DA （1）请用含t的代数式表示出点D的坐标； （2）在点P从O向A运动的过程中，DPA能否成为直角三