数学建模十大算法总结

1、本文格式为Word版，下载可任意编辑 数学建模十大算法总结 建模十大算法总结： 1、蒙特卡罗算法。该算法又称随机性模拟算法，是通过计算机仿真来解决问题的算法，同时通过模拟可以来检验自己模型的正确性。 2、数据拟合、参数估计、插值等数据处理算法。比赛中寻常会遇到大量的数据需要处理，而处理数据的关键就在于这些算法，寻常使用Matlab 作为工具。 3、线性规划、整数规划、多元规划、二次规划等规划类问题。建模竞赛大多数问题属于最优化问题，好多时候这些问题可以用数学规划算法来描述，寻常使用Lindo 、Lingo 、MATLAB 软件实现。 4、图论算法。这类算法可以分为好多种，包括最短路、网络流、二

2、分图等算法，涉及到图论的问题可以用这些方法解决，需要认真准备。 5、动态规划、回溯探寻、分治算法、分支定界等计算机算法。这些算法是算法设计中对比常用的方法，好多场合可以用到竞赛中。 6、最优化理论的三大非经典算法：模拟退火法、神经网络、遗传算法。这些问题是用来解决一些较困难的最优化问题的算法，对于有些问题十分有帮助，但是算法的实现对比困难，需慎重使用。 7、网格算法和穷举法。网格算法和穷举法都是暴力探寻最优点的算法，在好多竞赛题中有应用，当重点探讨模型本身而轻视算法的时候，可以使用这种暴力方案，最好使用一些高级语言作为编程工具。 8、一些连续离散化方法。好多问题都是实际来的，数据可以是连续的，

3、而计算机只认的是离散的数据，因此将其离散化后进行差分代替微分、求和代替积分等思想是十分重要的。 9、数值分析算法。假如在比赛中采用高级语言进行编程的话，那一些数值分析中常用的算法譬如方程组求解、矩阵运算、函数积分等算法就需要额外编写库函数进行调用。 10、图象处理算法。赛题中有一类问题与图形有关，即使与图形无关，论文中也应当要不乏图片的，这些图形如何展示以及如何处理就是需要解决的问题，寻常使用Matlab 进行处理。 从历年竞赛题来看，常用的方法： 线性规划 整数规划 非线性规划 动态规划 层次分析法 图论方法 拟合方法 插值方法 随机方法 微分方程方法 一、蒙特卡洛算法 1、含义的理解 以概

4、率和统计理论方法为基础的一种计算方法。也称统计模拟方法，是指使用随机数（或更常见的伪随机数）来解决好多计算问题的方法，它是将所求解的问题同一定的概率模型相联系，用计算机实现统计模拟或抽样，以获得问题的近似解。 2、算法实例（有好多相像的例题，包括平行线等） 在数值积分法中，利用求单位圆的1/4的面积来求得Pi/4从而得到Pi 。单位圆的1/4面积是一个扇形，它是边长为1单位正方形的一部分。只要能求出扇形面积S1在正方形面积S 中占的比例K=S1/S 就立刻能得到S1，从而得到Pi 的值。怎样求出扇形面积在正方形面积中占的比例K 呢？一个方法是在正方形中随机投入好多点，使所投的点落在正方形中每一

5、个位置的机遇相等看其中有多少个点落在扇形内。将落在扇形内的点数m 与所投点的总数n 的比m/n 作为k 的近似值。P 落在扇形内的充要条件是 221x y + 。 已知：K= 1s s ，K m n ，s=1，s1=4 Pi ，求Pi 。 由1s m s n ，知s1*m s n =m n ， 而s1=4Pi ，则Pi=*4m n 程序：（该算法可以修改后用Mathematica 计算或者Matlab ） /* 利用蒙特卡洛算法近似求圆周率Pi*/ /*程序使用：VC+6.0 */ #include #include #include #define COUNT 800 /*循环取样次数，每次

6、取样范围依次变大*/ void main() double x,y; int num=0; int i; for(i=0;i中*/ y =rand()*1.0/RAND_MAX; i f(x*x+y*y)Axis,Plota1,x,0,60 结果： -3.68428+2.38529 x-0.0934637 x 2+0.00132433 x 3 （2）参数估计（参考书：概率论与数理统计） 参数估计为统计推断的基本问题，分为点估计和区间估计。 点估计： 矩估计法 X 连续型随机变量，概率密度12(;,)n f x X 为离散型随机变量 分布律12(;,)k P X x p x = 12,k 为待估

7、参数，12,n X X X 是来自X 的样本，假设总体X 的前k 阶矩存在，为 12()(;,)l l l n E X x f x dx - =? （X 连续型） 或1 2 ()(;,)X l l l k x R E X x p x = （X 离散型）1,2,l k = （其中X R 是X 可能取 值的范围）。一般来说，它们是12,k 的函数。基于样本矩1 1n l l i i A X n =依概率收敛 于相应的总体矩(1,2,)l l k = ，样本矩的连续函数依概率收敛于相应的总体矩的连续函数，我们就用样本矩作为相应的总体矩的估计量，而以样本矩的连续函数作为相应的总体矩的连续函数的估计量。

8、这种估计方法成为矩估计法。 最大似然估计法 X 连续型随机变量 似然函数 121 ()(,;)(;)n n i i L L x x x f x = 其中1 (;) n i i f x =是来自X 的样本12,n X X X 的联合密度。 X 为离散型随机变量 似然函数121 ()(,;)(;),n n i i L L x x x p x = 其中 1 (;)n i i p x =是来自X 的样本12,n X X X 的联合分布律。 若1212?()(,;)max (,;)n n L L x x x L x x x = 则称12?(,)n x x x 为的最大似然估计值，称12?(,)n X X

9、 X 为的最大似然估计量。 这样，确定最大似然估计量的问题就归结为微分学中的求最大值的问题了。 估计量的评比标准为：（1）无偏性（2）有效性（3）相合性 区间估计： 对于一个未知量，人们在测量或计算时，常不以得到近似值为满足，还需要估计误差，即要求知道近似值的准确程度（亦即所求真值所在的范围）。这样的范围常以区间的形式给出，同时还给出此区间包含参数真值的可信度，这种形式的估计称为区间估计，这样的区间即所谓置信区间。 正态总体均值、方差的置信区间与单侧置信限（置信水平为1-） 一个正态总体 未知参数 其他参数 枢轴量的分布 置信区间 2 已知 (0,1)/X Z N n -= /2()X z n

10、 2未知 (1)/X t t n S n -=- /2(1)S X z n n - 2 未知 2222(1)(1)n S n -=- 2222/21/2(1)(1)(,)(1)(1)n S n S n n 另外还包括两个正态总体的状况， 其他区间估计：（0-1）分布参数的区间估计 （3）插值 1、含义的理解 在离散数据的基础上补插连续函数，使得这条连续曲线通过全部给定的离散数据点。插值是离散函数迫近的重要方法，利用它可通过函数在有限个点处的取值状况，估算出函数在其他点处的近似值（与拟合的不同点在于拟合的函数不需通过每一个离散点）。 插值问题的提法是：假定区间a ，b 上的实值函数f （x ）在该区间上 n 1个互不一致点x0，x1xn 处的值是f x0，f （xn ），要求估算f （x ）在a ，b 中某点的值。其做法是：在事先选定的一个由简单函数构成的有n 1个参数C0，C1，Cn 的函数类(C0，C1，Cn)中求出满足条件P （xi ）f （xi ）（i 0，1， n ）的函数P(x)，并以P()作为f()的估值。此