运用中国哲学观点对几个中学数学问题的思考

1、运用中国哲学观点对几个中学数学问题的考虑运用中国哲学观点对几个中学数学问题的考虑数学与哲学一直伴随着人类文明的开展，两者一直密不可分，相依相存。在西方，古希腊罗马的神数观念、柏拉图的理念世界和毕达哥拉斯学派万物皆数的观念，都曾经企图用数学来阐释世界的本原。在数学开展的各个时期，有不少数学家同时又是哲学家，其中著名的有毕达哥拉斯、笛卡儿、牛顿、莱布尼兹、高斯、皮尔逊、希尔伯特、罗素、哥德尔等，在我国当代，也有徐利治、王梓坤等。这是因为客观世界的任何对象或事物都有质与量的对立统一，哲学是探究整个客观世界最普遍的规律性，而数学仅从量的侧面去探究客观世界的规律性，对数学本体论，认识论、方法论的研究导致

2、数学哲学的诞生。本文力求想用中国哲学的观点来解释几个中学数学问题，以引发我们用中国哲学的观点来审视、考虑数学。一、第二次数学危机的中国哲学考虑18世纪，微分法和积分法在消费和理论上都有了广泛而成功的应用，大局部数学家对这一理论的可靠性是毫不疑心的。1734年，英国哲学家、大主教贝克莱发表?分析学家或者向一个不信正教数学家的进言?，锋芒指向微积分的根底无穷小的问题，提出了所谓贝克莱悖论。他指出：牛顿在求xn的导数时，采取了先给x以增量x，应用二项式x+xn，从中减去xn以求得增量，并除以x以求出xn的增量与x的增量之比，然后本文由论文联盟.Ll.搜集整理又让x变为0消逝，这样得出增量的最终比。这

3、里牛顿做法违背了矛盾律先设x有增量，又令增量为零，也即假设x没有增量。他认为，无穷小量既等于零又不等于零，召之即来、挥之即去这是荒唐，无穷小量为逝去量的灵魂。从中我们可以发现，悖论的焦点是：无穷小量是零还是非零？假如是零，怎么能用它做除数？假如不是零，又怎么能把包含着无穷小量的那些项去掉呢？这个悖论引起了数学界甚至哲学界长达一个半世纪的争论，导致了数学史上的第二次数学危机。18世纪的数学思想确实是不严密的，直观地强调形式的计算而不管根底的可靠。其中特别是没有清楚的无穷小概念，导数、微分、积分等概念也不清楚，无穷大概念不清楚，以及发散级数求和的任意性，符号的不严格使用，不考虑连续就进展微分，不考

4、虑导数及积分的存在性以及函数可否展成幂级数等。直到19世纪，柯西详细而有系统地开展了极限理论，认为把无穷小量作为确定的量，即使是零，都说不过去，它会与极限的定义发生矛盾。他在?分析教程?中指出：当一个变量逐次所取的值无限趋近于一个定值，最终使变量的值和该定值之差要多小就多小，这个定值就叫做所有其他值的极限值。无穷小量应该是要怎样小就怎样小的量，因此本质上它是变量，而且是以零为极限的量，至此柯西澄清了前人的无穷小的概念，第二次数学危机根本解决。无穷小量是一个要怎样小就怎样小的量，那可不可以找到一个比它更小的量，它到底是一个多小的量呢？无穷小量无限逼近于0，却又不是0，这又如何去理解呢？对无穷小量

5、的理解让人们限入了矛盾之中。中学数学的函数图形也出现这样的现象，如反比例函数y=，函数图象在第一象限随x的增大而无限趋近于x轴，但不会与x轴相交。这种无限逼近的状态是一种什么状态呢？既然随x的增大图象与x轴间隔 越来越小，那就总有间隔 为0的一天，为什么永远不会相交呢？人们似乎一直想找到无穷小和无穷大到底在什么地方，就象人类一直想寻求宇宙的尽头在哪里，最小的事物是什么。?庄子天下?记载了惠施约生活于公元前305至前306间的思想：至大无外，谓之大一，至小无内，谓之小一。在?庄子秋水?中记载这样一个故事：秋天来到，黄河河水上涨，河伯河神的名字为自己的伟大非常得意。及至随河水入海，才在汪洋大海中发

6、现自己微缺乏道。河伯对海神北海假设说：本来以为自己多么浩瀚，如今和大海相比，才认识到自己多么渺校北海假设答复说：假设和天地相比，北海也无非是大谷仓里一颗细小的米粒。因此，只能称自己为小，而不能称自己为大。河伯又问北海假设：如此说来，天地是否可以称作至大，而一根头发的毫末那么是至小？北海假设答复说：人所知道的要比他所不知道的少得多，人的生命比他没有存在的时间要短得多，人如何敢说，头发的毫末就是至小天地就是至大呢？然后，北海假设说：大和小，都因有形，而后才有大小，其实，至小就无形可言，至大就不可能有任何范围。古人常说的天地是最大的事物，秋毫之末是最小的事物，其实这都是就现实经历而言。?庄子秋水?篇

7、里所说因其所大而大之，那么万物莫不大；因其所小而小之，那么万物莫不校所以，在现实经历中，大的东西和小的东西都只是相对而言。至大、至小并不特指任何现实事物，只是两个抽象概念。我们可以这样理解，数学中的无穷小量就是庄子所提到至小，无穷小量就无形可言。同样，数学中的无穷大也是不可能有任何范围的。既然无穷小量无形可言，那么如何去理解它的无形呢？无形似乎就是不存在，假如它不存在，我们又如何去表达它呢？中国的哲学家给出了他们的解释。名家学派提醒出超乎形象之外或形而上的存在。我们在考虑无穷小量时，我们只考虑形而下的存在，即现实世界。名家学派认为一切形而下的事物都有名字，或至少有命名的可能，它们是可以命名的。

8、老子却指出，除了可以命名的之外，还有无法命名的。形而上的事物也并非都无法命名，但凡以无以命名的必定是形而上的。中国道家的道和德便是属于这一类概念。所以?老子?第一章开头便说道可道，非常道；名可名，非常名。无名，天地之始；有名，万物之母。在第三十二章又说：道常无名，朴。虽小，天下莫能臣。再看第四十一章：道隐无名。道作为万物本原，无从命名，所以无法用语言表达它。但我们又想表达它，便不得不用语言来加以形容。称它为道，道其实不是一个名字。?道德经?第四十章说：天下万物生于有，有生于无。?道德经?第四十二章说：道生一，一生二，二生三，三生万物。这里所说的一即有。说道生一，也就是说有生于无。所以，道为无，

9、人不可能在现实世界中找到道。同样，人不可能通过现实的经历来决定现实事物之中，哪个是最大，哪个是最校但假如跳脱出现实经历的范围，我们可以说：无外的乃是至大，无内的乃是至校所以，按照中国哲学家的分析，数学中的无穷小和无穷大是一个绝对的、不会改变的抽象概念。无穷小和无穷大都是难以设想、无以名状的，我们可以称无穷小和无穷大为无名之名。无穷小量既等于零又不等于零，看似矛盾，在本质上并不然。无穷小量存在于无限的世界，而不是我们接触的有限世界里，一尺之棰，日取其半，万世不竭提醒了这个无限的世界的存在。庄子认为人们要超越有限，从一个更高的观点看事物。庄子把囿于有限的观点比作井底之蛙，只看到天的一角，便以为那就

10、是天的全体。二、数学事物统一性的中国哲学解析我们在高中数学中研究了椭圆、双曲线、抛物线的定义及根本性质，可归纳出圆锥曲线的5种统一性。统一性1：圆锥曲线的定义：到定点与到定直线的间隔 之比为常数e的动点的轨迹。我们发现它们的定义是完全一样的，只是其中的e不同。即0E1时，为椭圆，E=1时，为抛物线，E1时，为双曲线。统一性2：随着e的增大，椭圆越变越扁，但左半局部开口越来越大，左顶点离L越来越近，而右顶点离F点越来越远；当e趋近于1时，左顶点趋近于F与L间的中点，而右顶点趋向无穷远处；当e=1时，我们可以大胆地认为右顶点在无穷远处，此时曲线变为抛物线；当e1时，开口越来越大，右顶点超过无穷远处

11、并开场返回，此时曲线变为双曲线两支，或认为双曲线两支无限延伸交于无穷远处。于是我们认为，三条圆锥曲线都为封闭图形，其形状都为椭圆，所以圆锥曲线在图形上仍然存在着统一。这是一种无限的思想，所以我们可更大胆猜测假如人一直往前走，当生命允许的话，最终会走到自己的背后，同样我们也可认为直线，x轴也为封闭的图形。统一性3：平面截圆锥所得的截线将得4种圆锥曲线，我们可以发现，固定一个顶点，它的另一个顶点在圆锥的母线上向下运动，当运动到无穷远处时，曲线变为抛物线，再运动时，曲线变为双曲线，顶点从上方返回。假如利用无限的思想，我们可以认为它们也是统一的。统一性4：运动的天体受向心力和离心力的作用，天体运行的速

12、度不同，它所获得的合力也不同，这样就导致形成不同的运行轨道，如人造卫星发射的速度等于或大于7.9k/s第一宇宙速度即环绕速度时，它就在空中沿圆或椭圆轨道运行；当发射的速度等于或大于11.2k/s第二宇宙速度即脱离速度时，物体可以挣脱地球引力的束缚，成为绕太阳运动的人造行星或飞到其它行星上去；当速度等于或大于16.7k/s第三宇宙速度即逃逸速度时，物体将挣脱太阳引力的束缚，飞到太阳系以外的宇宙空间去。如：人造卫星、行星、慧星等由于运动的速度的不同，它们的轨道是圆、椭圆、抛物线或双曲线。从天体运行的轨迹看，圆锥曲线也存在着统一，于是我们感觉到在冥冥宇宙中，似乎有一种神奇的力量使天体运行遵循着一种统

13、一。统一性5：在平面直角坐标系中，从方程的形式上看，四种曲线都是二元二次的，圆锥曲线在方程形式上也存在着统一，所以我们又把它叫做二次曲线。椭圆、双曲线、抛物线三种曲线存在太多的不同，但我们从5种不同角度发现了它们之间的统一性，表达了辩证唯物主义中对立统一的思想。?庄子天下?中记载了惠施的思想：泛爱万物，天地一体也。论证了万物相对存在于流动不居之中。事物之间没有绝对的不同，也没有绝对的隔离，事物都在不停地转化为别的东西。?庄子天下?阐述的另一点是大同而与小同异、此之谓小同异；万物毕同毕异，此之谓大同异。?庄子齐物论?中说：其分也，成也；其成也，毁也。凡物无成与毁，复通为一。?庄子齐物论?又说：天下莫大于秋毫之末，而大山为小；莫寿于殇子，而彭祖为夭。天地与我并生，而万物与我为一。就逻辑来说，所有这些都提醒了万物归一的哲理。三、平面的中国哲学考虑几何学中的平面是什么？中学教学教材中是这样描绘的，广阔的草原、平静的湖面都给我们以平面的形象。和点、直线一样