基本不等及其应用学案-2023届高三数学一轮复习

1、菁华学校2021届高三数学不等式导学活动单03 主备：代莉 审核：魏东PAGE PAGE 5基本不等式及其应用第3节 基本不等式及其应用考试要求1.了解基本不等式的证明过程；2.会用基本不等式解决简单的最大(小)值问题.知识梳理1.基本不等式：eq r(ab)eq f(ab,2)(1)基本不等式成立的条件：a0，b0.(2)等号成立的条件：当且仅当ab时取等号.(3)其中称为正数a，b的算术平均数， 称为正数a，b的几何平均数.2.两个重要的不等式(1)a2b22ab(a，bR)，当且仅当ab时取等号.(2)abeq blc(rc)(avs4alco1(f(ab,2)eq sup12(2)(a

2、，bR)，当且仅当ab时取等号.3.利用基本不等式求最值已知x0，y0，则(1)如果积xy是定值p，那么当且仅当xy时，xy有最小值是2eq r(p)(简记：积定和最小).(2)如果和xy是定值s，那么当且仅当xy时，xy有最大值是eq f(s2,4)(简记：和定积最大).4.常用结论与微点提醒(1).eq f(b,a)eq f(a,b)2(a，b同号)，当且仅当ab时取等号.(2).abeq blc(rc)(avs4alco1(f(ab,2)eq sup12(2)eq f(a2b2,2).(3).eq f(2,f(1,a)f(1,b)eq r(ab)eq f(ab,2)eq r(f(a2b2

3、,2)(a0，b0).(4).应用基本不等式求最值要注意：“一定，二正，三相等”，忽略某个条件，就会出错.(5).在利用不等式求最值时，一定要尽量避免多次使用基本不等式.若必须多次使用，则一定要保证它们等号成立的条件一致.自主检测1.判断下列结论的正误. (在括号内打“”或“”)(1)两个不等式a2b22ab与eq f(ab,2)eq r(ab)成立的条件是相同的.()(2)函数yxeq f(1,x)的最小值是2.()(3)函数f(x)sin xeq f(4,sin x)的最小值为4.()(4)x0且y0是eq f(x,y)eq f(y,x)2的充要条件.()2.已知x2，则xeq f(4,x

4、2)的最小值是()A.2 B.4 C.2eq r(2) D.63.若x0，则xeq f(1,x)()A.有最小值，且最小值为2 B.有最大值，且最大值为2C.有最小值，且最小值为2 D.有最大值，且最大值为24.已知实数x满足，则函数y8xeq f(1,2x1)的最大值为()A.4 B.8 C.4 D.05.(多填题)一段长为30 m的篱笆围成一个一边靠墙的矩形菜园，墙长18 m，则这个矩形的长为_m，宽为_m时菜园面积最大.6.已知a，bR，且a3b60，则2aeq f(1,8b)的最小值为_.典型例题考点一利用基本不等式求最值角度1配凑法求最值【例11】 设0 x0，y0，且eq f(1,

5、x1)eq f(1,y)eq f(1,2)，则xy的最小值为()A.3 B.5 C.7 D.9角度3消元法求最值【例13】 若正数x，y满足x26xy10，则x2y的最小值是()A.eq f(2r(2),3) B.eq f(r(2),3) C.eq f(r(3),3) D.eq f(2r(3),3)变式1. (1)(角度1)已知函数f(x)eq f(x2,x1)(x0，0)，则eq f(4,)eq f(1,)的最小值为()A.16 B.8 C.4 D.2(2)如图，在三棱锥PABC中，PA，PB，PC两两垂直，且PA3，PB2，PC1.设M是底面ABC内一点，定义f(M)(m，n，p)，其中m

6、，n，p分别是三棱锥MPAB、三棱锥MPBC、三棱锥MPCA的体积.若f(M)eq blc(rc)(avs4alco1(f(1,2)，x，y)，且eq f(1,x)eq f(a,y) 8恒成立，则正实数a的最小值为_.变式3. 对任意m，nR，都有m2amn2n20，则实数a的最大值为()A.eq r(2) B.2eq r(2) C.4 D.eq f(9,2)当堂检测1.已知a，bR，且ab0，则下列结论恒成立的是()A.ab2eq r(ab) B.eq f(a,b)eq f(b,a)2C.eq blc|rc|(avs4alco1(f(a,b)f(b,a)2 D.a2b22ab2.(多选题)下列结论错误的是()A.当x0且x1