解析几何初步知识点

1、文档编码 : CQ7O6Z5W8H10 HW2V7B9R5T8 ZV6I8C3O10H9以一个方程的解为坐标的点都是某条直线上的点；反之,这条直线上的点的坐标都是 这个方程的解这时,这个方程就叫做这条直线的方程；这条直线就叫做这个方程的直线 上面的定义可简言之： 方程 有一个解 直线上 就有一个点； 直线上 有一个 点 方程 就有一个解,即方程的解与直线上的点是一一对应的 明显,直线的方程是比一次函数包含对象更广泛的一个概念 直线的倾斜角 的坐标不中意这个方程,但化为 y-y1=kx-x1后,点 P1 的坐标中意方程 当直线的斜率为 0时 k=0,直线的方程是 y=y1 当直线的斜率为 90时

2、 图 1-26 ,直线的斜率不存在,它的方程不能用点斜 式表示但因 l 上每一点的横坐标都等于 x1,所以它的方程是 x=x1 二 斜截式 已知直线 l 在 y 轴上的截距为 b,斜率为 k,求直线的方程 代入点斜式方程可得： y-b=kx-0 y=kx+b 上面的方程叫做直线的斜截式方程为什么叫斜截式方程？由于它是由直线的斜率和 它在 y 轴上的截距确定的 当 k0 时,斜截式方程就是直线的表示形式,这样一次函数中 k 和 b 的几 何意义就是分别表示直线的斜率和在 y 轴上的截距 三 两点式 已知直线 l 上的两点 P1x 1,y1 ,P2x 2,y2 ,x 1x2 ,直线的 位置是确定的

3、,也就是直线的方程是可求的,请同学们求直线 l 的方程 当 y1y2 时,为了便于记忆,我们把方程改写成 1 第 1 页,共 8 页对两点式方程要留意下面两点： 1 方程只适用于与坐标轴不平行的直线,当直 线与坐标轴平行 x 1=x2 或 y1=y2 时,可直接写出方程； 2 要记住两点式方程, 只要记住左边就行了, 右边可由左边见 y 就用 x 代换得到, 足码的规律完全一样 四 截距式 已知直线 l 在 x 轴和 y 轴上的截距分别是 方程 a 和 ba 0,b 0 ,求直线 l的 由于直线 l 过 Aa, 0 和 B0,b 两点,将这两点的坐标代入两点式,得 就是 这个方程是由直线在 x

4、 轴和 y 轴上的截距确定的,叫做直线方程的截距式 对截距式方程要留意下面三点： 1 假如已知直线在两轴上的截距,可以直接代 入截距式求直线的方程； 2 将直线的方程化为截距式后,可以观看出直线在 x 轴和 y 轴上的截距,这一点常被用来作图； 能用截距式表示 3 与坐标轴平行和过原点的直线不 直线的点斜式, 斜截式, 两点式和截距式表示直线有确定的局限性, 只有直 线的一般式能表示全部的直线,要搞清直线与二元一次方程的对应关系 直线与二元一次方程是一对多的关系 同解方程 同条直线对应的多个二元一次方程是 对于每一条直线都可以求得它的一个二元一次方程,就是说,直线的方程都可以写成 关于 x,y

5、 的一次方程 反过来,对于 x,y 的一次方程的一般形式 2第 2 页,共 8 页Ax+By+C=0 1 其中 A,B 不同时为零 1当 B0 时,方程 1 可化为 2 当 B=0 时,由于 A,B 不同时为零,必 有 A 0,方程1 可化 为 它表示一条与 y 轴平行的直线 这样,我们又有：关于 x 和 y 的一次方程都表示一条直线我们把方程写为 Ax+By+C=0 这个方程 其中 A,B 不全为零 叫做直线方程的一般式 一 特别情形下的两直线平行与垂直 当两条直线中有一条直线没有斜率时： 1 当另一条直线的斜率也不存在时,两 直线的倾斜角为 90,相互平行； 2 当另一条直线的斜率为 0

6、时,一条直线的 倾斜角为 90,另一条直线的倾斜角为 0,两直线相互垂直 二 斜率存在时两直线的平行与垂直 设直线 l1 和 l 2 的斜率为 k1 和 k2,它们的方程分别是 * 1斜率存在的不重合的两直线平行的等价条件； 2两斜率存在的直线垂直的等价条件； 3与已知直线平行的直线的设法； 4与已知直线垂直的直线的设法 一 两直线交点与方程组解的关系 3第 3 页,共 8 页设两直线的方程是 l1： A 1x+B1y+c1=0, l 2： A 2x+B2y +C2=0 假如两条直线相交,由于交点同时在两条直线上,交点的坐标确定是这两个方程的公 共解； 反之, 假如这两个二元一次方程只有一个公

7、共解, 那么以这个解为坐标的点必是直线 l 1 和 l 2 的交点因此,两条直线是否相交,就要看这两条直线的方程所组成的 方程组 是否有唯独解 4第 4 页,共 8 页IAr B B-“ Az 4 B.QBA*PbJ: &T PIT1Bo.-1/* Hzt c-o. J . .+z M , uaz =o.-.zr,a-OETM.*RBIGR6Jf.h#: u. ,. . a z: a+n +f-a.n gesx.pj; . h kfIf1/5f.,-0*7:-o%8%JASfi/*.-o.求曲线的方程的一般步骤是： 1 建立适当的直角坐标系,用 x ,y 表示曲线 上任意点 M 的坐标,简称建

8、系设点； 2 写出适合条件 P 的点 M 的集合 P=M|PM| , 简称写点集； 3 用坐标表示条件 PM,列出方程 fx ,y=0 ,简称列方程； 4 化方程 fx ,y=0 为最简形式,简称化简方程； 5 证明化简后的方程就是所求 曲线的方程,简称证明 其中步骤 134 必不行少 1求圆的方程的方法 1 待定系数法,确定 a,b,r ； 2轨迹法,求曲线方程的一般方法 2点与圆的位置关系 设点到圆心的距离为 d,圆半径为 r ： 1点在圆上 d=r ； 2点在圆外 dr ； 3点在圆内 dr 3以 Ax1, y1, Bx2, y2为直径端点的圆的方程为 1点与圆的位置关系 x-x1x-x

9、2+y-y1y-y 2=0 设圆 Cx-a 2+y-b 2=r 2,点 Mx0,y0 到圆心的距离为 d,就有： 1dr 2d=r 3dr 点 M 在圆 外； 点 M 在圆 上； 点 M 在圆 内 2直线与圆的位置关系 设圆 Cx-a 2+y-b=r 2,直线 l的方程为 Ax+By+C=0,圆心 a, 6第 6 页,共 8 页判别式为,就有： 1dr 直线与圆相交； 2d=r 直线与圆相切； 3dr 直线与圆相离,即几何特点； 或1 0 直线与圆相交； 2=0 直线与圆相切； 3 0 直线与圆相离,即代数特点, 3圆与圆的位置关系 设圆 C1：x-a 2+y-b 2=r 2 和圆 C2：x-

10、m 2+y-n 2=k2k r ,且设两圆圆 心距为 d,就有： 1d=k+r 两圆外切； 2d=k-r 两圆内切； 3dk+r 两圆外离； 4dk+r 两圆内含； 5k-r dk+r 两圆相交 4其他 1过圆上一点的切线方程： 圆 x2+y2=r 2,圆上一点为 x 0,y0 ,就此点的切线方程为 x0 x+y0y=r 2 课本 命题 圆 x-a 2+y-b 2=r 2,圆上一点为 x 0,y0 ,就过此点的切线方程为 x 0-ax-a+y 0-by-b=r 2 课本命题的推广 2相交两圆的公共弦所在直线方程： 设圆 C1x2+y2+D1x+E1y+F1=0和圆 C2x2+y2+D2x+E2y+F2=0,如两圆相交, 就过两圆交点的直线方程为 D1-D2x+E 1-E2y+F 1-F 2=0 3圆系方程： 7 第 7 页,共 8 页设圆 C1x2+y2+D1x+E1y+F1=0和圆 C2x2+y2+D2x+E2y+F2=0如两圆相交, 就过交点的圆系方程为 x2