空间点到直线距离的多种解法

1、空间点到直线距离的多种解法摘要 在空间解析几何中，空间点、直线、平面之间的关系是学习的重点，点和直线的位 置关系包括两种：点在直线上，点在直线外.当点在直线外时，点到直线距离的计算随之出 现.关于解决点到直线距离的问题，涵盖了空间解析几何中两点间距离、向量运算、直线方 程、平面方程等诸多知识点.本文将对一具体例题，介绍点到直线距离的多种解法 关键词 点、直线、距离、向量、平面、解法例：求点A （2, 4, 1）到直线L： B = 2 = Z2的距离22- 31运用向量积的计算及向量积的几何意义已知直线方程=二 =r，直线外一点A（x , y , z ），直线上 X Y Z0。0一点M（x1,

2、y1,七），以；和MA构成平行四边形，这里；为直线的方向向量.显 然直线外一点A到直线的距离d就是这平行四边形的对应于以，为底的高.即d=y d=y 0 - y1z 一 z+z 一 zx 一 x+x 一 xy 0 - 21YZZXXYCX2 +Y2 +Z2解：如图（1），过点A作直线L的垂线，垂足为解：如图（1），过点A作直线L的垂线，垂足为B.设M（-1，0，2）为 L 上任一点，V=2，2，-3）为L的方向向量.以v和MA为两边构成平行四边形S= MA x V，显然点A到直线L的距离AB就是 这平行四边形的对应于以日为底的高即ABSMA x 即ABSMA x vi4 -12 - 32+-1

3、 3-3 22+3 42 2222 + 22 +（- 3）2=32运用平面方程、参数方程及线面交点的方法由点法式得到过线外一点A且与直线垂直的平面方程.将直线方程x = Xt + x二=二=二转化成参数方程L=Yt+y由此设出垂足b坐标，又因X Y Z1z = Zt + z1为垂足B在平面方程上，即可得出B点坐标.再由两点间距离公式得出点到直线 的距离.解： 先求过点A与直线L垂直的平面方程.用点法式，得2(x-2)+2(y-4)-3(z-1)=0即 2x+2y-3z-9=0X = 2t -1将直线L方程用参数方程表示为y = 2t、z = -3t + 2由此设垂足B的坐标为(2t-1，2t,

4、-3t+2)因B在垂面上得4t-2+4t+9t-6-9=0即t=1所以点B坐标为(1，2, -1)所以ab |=2-1)2+(4-2)2+(1 +1)2 =33运用两点间距离公式及参数方程的方法将直线方程=二=二转化成参数方程，可设出直线上任一点M， X Y Z坐标.由两点间距离公式得出|AM|的表达式，用取|AM|最小值的方法即得出点 到直线的距离.X = 2t -1解：由直线L的参数方程 y = 2t可设L上任一点、z = -3t + 2M的坐标为(2t-1,2t,-3t+2)由两点距离公式得 |AM| = 2 (2t 3)2 + (2t 4)2 + (-3t +1)2二 7t2 - 34

5、t + 26可得当t=1可得当t=1时，|AM|最小值为3所以点到直线距离为34运用两向量垂直，数量积为零的结论由直线方程 二=二=二可设出垂足B的坐标，显然AB 1 v，由X Y ZAB v =0得到点B的坐标，由两点距离公式得到点到直线的距离.解：由直线L的参数方程，可设垂足B的坐标为（2t-1,2t,-3t+2）直线L的方向向量v=2，2, -3）AB =2t-3,2t-4,-3t+1)显然 AB 1 v，得 AB - v =0即 zizt-azUtTAal-at+i)：。得t=i所以点B坐标为（1，2, -1）即 I AB | 二 2 1)2 + (4 2)2 + (1 +1)2 =3

6、5运用向量及三角函数的方法连接直线上的点M与线外点A得到与直线的夹角a，则cos a =M Avsin a = 1 一 sin a = 1 一 cos2 ad= MA sin a即得点到直线的距离解：如图（1），MA = 3，4，-1)，v =2， 2， -3)cosa =M Avsin a = 1 一 cos2 a = v26MA = J32 + 42 + (1)2 =%，;26|Ab|=|M|Ab|=|MA|sin a =36利用点到平面距离公式的方法确定线外点A和直线所确定的平面并作出一个过直线且垂直于点和直线所 确定平面的另一平面，所求d即为点到作出平面的距离.解:如图(2),设点A和

7、直线L所确定的平面为仃， 过直线L且垂直于兀的平面为兀.于是所求距离 d即为点A到平面兀的距离.设平面兀的法向量为n，则亓 v另一方面，n n ( n为平面兀的法向量)ffff因此 n = n x v 而 n - M A x v所以=(h,4,-1. 2,2,- 3) ,2,-3-如2,- 3)- ,2, 3) h,4,-1=17 -1,-2,-2不妨取n - -1,-2,-2.得平面兀的方程为-(x+1)-2y-2(z-2)=0即 x+2y+2z-3=0|2 + 2 x 4 + 2 x 1 - 3d=30故x有极小值.4417极小值为抛物线x = 一 y2 -17y + 26顶点的纵坐标.4. x=9|AM|有极小值3d=3.9运用球面和直线相切的方法以直线外一点为中心作一球面并与直线相切，中心到切点的距离即半径也就 是点到直线的距离.解：设球面方程为G-2+G-4*+G-1* =MA 1 v,2（2-x ）+2（4-y ）-3（L-z ）=0 1 1 1又M为球面上一点/. （jc - 2*+（y - 4+G -l=d21 1 1x +1 y z 2i = = i 22-3.由 0 G) G)消去x y z 得 d=3