实验数据的处理分析

1、实验数据的处理分析杨 鹏【摘要】优缺点。【关键词】 误差；数据处理；作图法；最小二乘法；逐差法Physics is an experimental science, New concepts in physics, the discoveryof new rules rely on trial and error, The experimental data processing，Need to selectthe appropriate treatment of the experimental data，To more accurately reflect theobjective res

2、ults，Reduce errors. This article describes the experimental dataprocessing involved in some of the basic concepts Summary of experiments focusedon the physical data processing methods commonly used. And pointed out theadvantages and disadvantages of each applicable condition.Keywords:Error; Data Pro

3、cessing；Mapping；Least squares；By subtraction【引言】 数据处理是指由实验测得的数据, 必须经过科学的分析和处理, 才能1 / 实验数据的处理分析小二乘法、逐差法等。本文将分别对这些方法进行了介绍。一、实验数据处理中涉及到的基本概念量，尤其具有重要意义。以下将对一些重要概念进行介绍。1 .真值及约定真值真值有多种定义，如“被测量本身所具有的真实大小称为真值。 ” “如果实1体的真值。” 正在研究某量时所处的条件下严格的确定的量值。” 由此可见，23真值是客观存在的，但也还是一个理想的概念，通常是不可确切知道的。误差条件下的算术平均值、标称值、校准值、理

4、论值、公认值等均可作为约定真值来使用。2.影响量和干扰量与待测的量有一定函数关系的另一种性质的量 。例如在测量电阻时，由于多数9来的影响可以在测出影响量的大小后，按其函数关系从测量结果中加以消除。为干扰量 。为了保证测量的准确度，在安排测量条件时，要消除影响量和最大9限度减小干扰量。3.精度因此可用误差的大小来表示精度的高低，误差小则精度高，误差大则精度高低。精密度：它反映测量结果中随机误差的影响程度准确度：它反映测量结果中系统误差的影响程度2 / 实验数据的处理分析征可用测量的不确定度（或极限误差）来表示。 用一种打靶的例子，可以更好4的理解和掌握，如下图：（）精密度高、准确度低b）准确度高

5、、精密度低（）精确度高图1 4.误差测量值减去真值为测量值的误差，即:测量值真值误差 x =x-a， 与 a 的比值 = /a 称为相对误差。对误差的来源可以概括为四个方面 ：1，4r测量装置误差，这里面分三个方面来说，标准量具误差：以固定形式复现标准量具的器具，如标准量块、标准先问吃、标准电池、标准电阻、标准砝码等，它们本身体现的量值，不可避免的都还有误差。b，仪器误差：凡用来直接或间接将被测量和已知量进行比较的仪器设备，称为仪器或仪表，如天平、压力表、温度计等，它们本身都具有误差。c，附件误差：仪器的附件及附属工具，如测长仪的标准环规，千分尺的调整量棒等的误差，也会引起测量误差。2，环境误

6、的变化所造成的误差，如温度、适度、气压、振动、照明、重力加速度等所引起所增加的误差称为附加误差。3如测量一个轴的直径d s ，因近似数 取值的不同，将会引起误差。4，人员数误差，以及实验室的疏忽等所引起的误差。总之，在计算测量结果的精度时，对上述四个方面的误差来源，必须进行全面的分析，力求不遗漏，不重复，特别是对误差影响较大的哪些因素。3 / 实验数据的处理分析4.1 系统误差先看两个例子 1）用一个 2.5 级 01A 的安培计测一回路的电流强的 I 为50.73A，而用另一个 0.5 级 01A 的安培计测同一回路电流为 0.716A;（2）用一74.2519g，物体与砝码交换后则为 74

7、.2501g12）是由于天取平均值去消除。是恒定的，此类误差称为系统误差。对系统误差的研究主要是：（1） 探索系统误差的来源，设计实验方案消除或消减该项误差。（2） 估计残存系统误差的可能的范围。54.2 偶然误差在同一条件下，对同一物理量进行重复测量，各次测量值一般不完全相同，用的结果，在测量前不能得知测得值将偏大或偏小。. 这里以测单摆周期的实验为例：用手控制数字毫秒计，测量一摆的周期共100 次，测量值的大小变化不定，似乎没有规律，其实这种偶然现象服从统计规律。现将测得值分布的区域分为 9 个区间，统计各区间内测量的个数N ，以测i量值为横坐标，N /N 为纵坐标（N为总数）作统计直方图

8、，图2 是一次实验的5i4 / 实验数据的处理分析部分。在上述测量之后，用光电门控制一台数字毫秒计去测同一个摆的周期，测10 次，测量值分布在 1.866s 到 1.868s 的小区域中，由于此时的偶然误差显著小T 0然误差作如下的统计，取T =1.8670s，则0T -T （0）占 48%占 52%i0T -T 0（0）i0多次测量均有同上相似的结果，因而得出如下几点认识：（1） 每次测量的偶然误差是不确定的。（2） 出现正号或负号偶然误差的机会相近。（3） 出现绝对值小的偶然误差的机会多一些。5 .算术平均值与标准偏差5.1 算术平均值设 n 次测量值x ，x ，, x 的误差为 ， ，

9、，真值为 ，则12n12n(x -a)+(x a)+(x -a)= + +12n12n将上式展开整理后，两侧除以 n，得11(x +x +x )-a= ( + + )n12n12nnn 越大，算术平均值越接近真值。因此可以用算术平均值作为被测量真值的最佳估计值。5.2 标准偏差s，5 / 实验数据的处理分析n ( )x x2i它的定义是为s= i1n1n 为测量值个数。例，比如有如下两组数值：表 AB2.12.12.62.42.82.72.92.93.03.13.23.43.73.7两组数值都在 2.1 到 3.7 之间，平均值都是 2.9，计算标准偏差为s =0.4970.50As =0.5

10、570.56，可以看出 A 组数比较像中间集中，B 组数则稍差，表现除它们B分散上的差异。6有效数字字。例如用一最小分度1mm 的尺，测得一物体的长度为7.62cm，其中7 和 6 是 2 即这一位不一定是 2，只是近似的，但是还是一位有效数字。在实际取舍时按照实验条件以及题目要求为参考。使用有效数字规则时的注意事项：5（1）物理公式中的有些数值，不是实1验测量值。例如，测量圆柱体的直径d 和长度 l 求体积 V的公式V dl中的4141不是测量值，在确定 V 的有效数字位数时不必考虑 2）对数运算43）首位数是 8 或 9 的 m 位数值在乘除运算中，计算4）有多个数值参加运算时，在运算中途

11、应比按有效4）数值的修约规则：开始要舍去的第一位数是 1、2、3、4 时就舍去；是6789 时在舍去时进 1。要舍去的一位是5，而保留的最后一6 / 实验数据的处理分析位是奇数，则舍去5 进 1，是偶数则舍去5 不进位，但是5 的下一位不是 0 是仍然要进位。5二、物理实验中常用的数据处理与分析方法结。1. 列表法把数据按一定规律列成表格，可使物理量之间的一一对应关系简明、醒目，1）表格设计合理、简单明了，便23）各量排列顺序尽量与测量数据顺序一致，用有效数字填写。特殊需要可以采用其他规律 。这种方法7了，在处理数据是一目了然。如表22123.2. 分组计算法设变量 xy间存在 y=a+bx

12、n 次测量有7 / 实验数据的处理分析y abx v 111y abx v222.y abx v nnn式中v 表示测量误差。现在将 n 组测量分为前后两部分，从中取对应的两组：iy abx v iiiy abx vininin222略去误差项，解出 、b 的近似值：y yib in2x xiiin2(y y )b(x x )iiia iinin222n这样可的 个a 和b ，再求a、s(a)和b、s(b)。如 n 为奇数，中间数可公用。2ii3最小二乘法5假设变量 xy间存在直线关系 ，参量b 分别为 y轴截距和斜率，当将测量值(x ,y )带入此式时，由于存在测量误差 y abx ，引入误

13、差项v 后iiiii有 y abx v ， 或 v y (abx ) ，对 n 次测量，可有iiiiiiv y (abx )111v y (abx )222v y (abx )nnn由于 n 个方程中有 n+2 个未知数，所以不能从解联立方程组求出 、b 值。设 y v极小值条件下求出的参量 、2i v2 ab 之值 、 为最佳拟合值，即从 ( ) ，0 ，2vy a bx2iaiii8 / 实验数据的处理分析xab v2y n i0 得解此联立方程组，得ii babxx yix2iii xy x x y 2aiiiii n x ( x )22 iin x y x ybiiii n x ( x

14、 )22ii s (x x) x (x ) n222iii 令 ( ) y n ( )sy yy222iii s (x x)(y y) x y x y niiiiiibab， 。x则由及，又可得出 s sxyyxx为了反映变量、y 间的线性关系的密切程度，常用关联系数 r 来描述，其(x x)(y y)ss sr估算式为ii (x x)2(y y)212 iir从理论上讲，r0就应该承认 xy之间存在一定的相关关系，但是由于 值r是从较少的数据中求出的，根据数理统计理论，对于一定的n 值， 要在大于某一临界值r 时，才可以认为存在线性相关关系。下表给出了各 n 值的r 值。临临表 3 各 n

15、值的r 值5临n3456789r0.998 0.990 0.950 0.917 0.874 0.834 0.79810 11 12 13 14 15 160.765 0.735 0.708 0.684 0.661 0.641 0.62317 18 19 20 21 220.606 0.590 0.575 0.561 0.549 0.537临nr临n临a b可以证明参量 、 的标准偏差s 、s 和 y的标准偏差s 之间的关系为aby9 / 实验数据的处理分析s sbsabx2r21 ( )yysyySii1 21 2x2n2n2s sayin b2 br1结合和 二式，sn2 rb4 . 作图法

16、的问题：(1)标的横轴为自变量，纵轴为因变量。一般是以被测量为变量，但有时为们所需要的。 x 的变化范围是从a到 b，则将坐标原点在取在 a a距 x 在 x 的零点出，则坐标纸上将出现很大的空白区域，白白浪费了坐标纸。标轴的分度要和测量的有效数字位数对应，坐标纸的一小格表误。和 y轴二变量的变化范围（bd度应该相差不大，最多也不要长过一倍。注明 x、y 轴代表的测定量及单位，按测量数据标出坐标点。4.1 在我们讨论变量间的函数关系，这类问题有两种不同的情况：（1）已知两个变量函数关系的形式，但是其中有位置参量；如果两个变量xy y=a+bx 则可用n组测量值(x ,y )ii作图，所得直线的

17、截距即参量 ，斜率是参量 b。但是实验中两个变量的关系往 / 实验数据的处理分析往不是直线，例如，弹簧振子的振动周期 T 和所负载 m 的关系为mT ， 式中m 为弹簧自身的重量，c 和 k 是待定参量。测量不00k同 m 对应的 T，可以作Tm 图线，图3 为一例。由于它是曲线，因而无法从图 22改成 T ()()m ，他表示 与 m 间为直线关系，作 -m 直线T T2022kk4 22（图 4 b，则a=， b=由此可求0kk出 k 和 c值。即对于非线性函数，要通过变换变量使之成为线性函数，再用作图法求出截距和斜率，进而确定待定参量。）弹簧振子的T2mm非线性函数如何变换要看函数的形式

18、，例如：y ae lnylnaxbxEx1y R yRR xxyy axbx ax2x上列式中的括号为变换后的变量。（2）两个变量函数关系的形式尚未知时 / 实验数据的处理分析确定了；当得到的是曲线时，就要分析曲线的形式，参照已知的函数曲线，给出假定的函数式，再用上述（1）中处理非线性函数的方法，使之线性化，但这样做不一定一次就成功，可能要反复几次才可得出较好的结果4。U式为R ，式中 U 为电压，I 为电流，R 微电阻，测量数据见表 4，用所测量I的结果画图如图（5表4 物理量（）I(A)12345678910 在直线上取两点，（0.600,0.223（1.500,0.553,利用作图法进行

19、处理，I I求得斜率 K 图 ，求 K 值的标准偏差，由于21UU 图21K =0.367，所以作图法拟合直线为 将表 4 中的 U代入得表 5图表5 I值物理量（）I=0.367U12345678910 / 实验数据的处理分析I(A) I I II0.000292n 0.00560.006 K 的 标 准 偏 差I 的 偏 差 in1101I图i1n100.00570.0062图 1012.36115.26nn UnI( U)22i1i1下面再估算读取数据时产生的误差.由于坐标纸最小分格之间人眼无法辨别具体I I数据,因此存在视觉误差U 、I，K 图21UU21推出：K( ) ( ) 212

20、12 21，假设每次读取的误I IU UII1UU图KI IU UI IU U图21212121差相同，且为坐标纸最小分格的一半则 =0.005 ， =0.0025代入数据得：UI0.00250.0025 0.0050.005K 0.367(图)0.00960.01可见作图法在图上0.5530.223 1.5000.600,求斜率K 时，从直线上取图的两点距离较近的话,产生的误差就更大。利用最小二乘法处理数据，求斜率 K 值，由U =1.0736，U =1.2356，2乘2=1.1526，I =0.395，UI =0.4546，UI =0.424，得：UUI UI 0.45460.424K 乘0.3670.37。求 K 值的标准偏差，由1.23561.1526U2U2乘K =0.37得到最小二乘法拟合曲线为 ，将表 4 中的 U代入的表 6乘表 6 数据列表物理量12345678910（） I=0.367UI(A)I I I / 实验数据的处理分析I12nI的偏差 0.00319 0.00590.006in1101Ii1n10K 的偏差 0.00590.007 1012.36115.26乘K乘nn UnI( U)22i1i1小结：K =0.3670.01，K =0.3670.007，即最小二乘法拟合的直线较精确。图乘5 .逐差法8。但是实验数据的