数学分析课本习题第二十一章

1、第十一章重积分1二重分的看法1.把重分xydxdy作分和的极限,算个分,其中D=0,10,1,并用直D网x=i,y=j(i,j=1,2,n-1)切割个正方形多小正方形,每一小正方形取其右上nn点其界点.明:若函数f在矩形式域上D可,f在D上有界.明定理:若f在矩形地域D上,f在D上可.4.D矩形地域,明二重分性2、4和7.性2若f、g都在D上可,f+g在D上也可,且fg=fg.DDD性4若f、g在D上可,且fg,fg,DD性7(中定理)若f域D上函数,存在,D,使得ff,D.DD0、D1和D2均矩形地域,且D0D1D2,intD1intD1,二重分性3.性3(地域可加性)若D0D1D2且int

2、D1intD1,f在D0上可的充要条件是12f在D、D上都可,且f=ff,D0D1D2f在可求面的地域D上,明:(1)若在D上fx,y0,fx,y0f0;D(2)若在D内任一子地域DD上都有f0,在D上fx,y0。D.7.明:若f在可求面的有界域D上,g在D上可且不号,存在一点D,使得fx,ygx,ydxdy=f,gx,ydxdy.DD应用中值定理估计积分dxdyxy10100cos2xcos2y的值2二重积分的计算计算以下二重积分:(1)y2xdxdy,其中D=3,51,2;D(2)xy2dxdy,其中()D=0,20,3,()D=0,30,2;D(3)cosxydxdy,其中D=0,0,;

3、D2(4)xdxdy,其中D=0,10,1.D1xy2.设f(x,y)=f1xf2y为定义在D=a1,b1a2,b2上的函数,若f1在a1,b1上可积,f2在a2,b2上可积,则f在D上可积,且f=b1b2f1f2.Da1a23.设f在地域D上连续,试将二重积分fx,ydxdy化为不同样序次的累次积分:D(1)D由不等式yx,ya,xb0ab所确的地域:(2)D由不等式x2y2a2与xya(a0)所确定的地域;(3)D=x,yxy1.4.在以下积分中改变累次积分的序次:22x11x2(1)0dxxfx,ydy;(2)1dx1x2fx,ydy;1x2313x(3)dyfx,ydy+dx20010

4、fx,ydy.5.计算以下二重积分:(1)xy2dxdy,其中D由抛物线y=2px与直线x=pD2(p0)所围的地域;(2)x2y2dxdy,其中D=x,y0 x1,xy2x;D(3)dxdy(a0),其中D为图(207)中的阴影部分；2axD(4)xdxdy,其中D=x,yx2y2x;D(5)xydxdy,其中为圆域x2y2a2.D6.写出积分fx,ydxdy在极坐标变换后不同样序次的累次积分:d(1)D由不等式x2y21,yx,y0所确定的地域;(2)D由不等式a2x2y2b2所确定的地域;(3)D=x,yx2y2y,x0.用极坐标计算二重积分:(1)sinx2y2dxdy,其中D=x,y

5、2x2y242;D(2)xydxdy,其中D=x,yx2y2xy;D(3)fx2y2dxdy,其中D为圆域x2y2R2.D8.在以下符号分中引入新变量后,试将它化为累次积分:22x(1)dxfx,ydy,其中u=x+y,v=x-y;01x(2)fx,ydxdy,其中D=x,yxya,x0,y0,若x=Ucos4v,DyUsin4v.(3)fx,ydxdy,其中D=x,yxya,x0,y0,若x+y=u,y=uv.求由以下曲面所围立体V的体积:(1)v由坐标平面及x=2,y=3,x+y+Z=4所围的角柱体;(2)v由z=x2y2和z=x+y围的立体;(3)v由曲面Z2x2y2和2Z=x2y2所围

6、的立体.4949试作合适变换,计算以下积分:(1)xysinxydxdy,D=x.y0 xy0 xy;Dy(2)exydxdy,D=x,yxy1,x0,y0.D12.设f:a,bR为连续函数,应用二重积分性质证明:b2b2xdx，fxdxbafaa其中等号仅在f为常量函数时成立。13.设f为连续函数,且f(x,y)=f(y,x)1x1x证明:dxfx,ydy=dxf1x,1ydy.000014.求由以下曲线所围成的平面图形面积:(1)x+y=a;x+y=b;y=x;y=x,(ab,)x2y22(2)=x2y2a2b215.设f(x,y)=sfn(x-y),试谈论函数F(y)=1,上的连续性并作

7、出fx,ydx在0F(y)的图像.2fx,xa,b0,xa,b3三重积分计算以下积分(1)xyz2dxdydz,其中v=2,53,30,1;v(2)xcosycoszdxdydz,其中v=0,10,0,;v22dxdydz(3)v1xyz3,其中V是由x+y+z=1与三个坐标面所围成的地域;(4)ycosxzdxdydz,其中V是由y=x,y=0,z=0及x+z=所围成的地域.v22.试改变以下累次积分的序次:11dyxyx,y,zdz;(1)dxf00011x2y2x,y,zdz.(2)dxdyf00011x210dxx2dzzx2fx,y,zdy计算三重积分:(1)vZ2dxdydz,其中

8、V由x2y2z2r2和x2y2z22rz所确定;11x22x2y2(2)0dx0dyx2y2z2dz.利用合适的坐标变换,计算以下各曲面所围成的体积:(1)Z=x2y2,z=2x2y2,y=x,y=x2;xy2z(2)b+ac2=1,x0,y0,z0,a0,b0,c0)5.设f（x，y，z）在长方体V=a,bc,de,f上可积,若对任何y,zD=c,de,fbx,y,zdx定积分F(y,z)=fa存在,证明F(y,z)在D上可积,且Fy,zdydz=fx,y,zdxdydz.vD6.设V=x,y,zx2y2z21计算以下积分:a2b2c2(1)1x2y2z2a2b2c2dxdydz;vx2y2

9、z2(2)ea2b2c2dxdydz.v.4重积分的应用1.求曲面az=xy包含在圆柱x2y2a2内那部分的面积.2.求锥面Z=x2y22所截部分的曲面面积.被柱面Z=2x3.求以下平均密度的平面薄板重心:x2y21,y0;(1)半椭圆2b2a高为h,底分别为a和b的等腰梯形.求以下平均密度物体重心:(1)z1X2Y2,z0;由坐标面及平面x+2y-z=1所围周围体.5.求以下平均密度的平面薄板转动惯量:半径为R的圆关于其切线的转动惯量;(2)边长为a和b,且夹角为的平行四边形关于底边b的转动惯量.6.设球体x2y2z22x上各点的密度等于该点到坐标原点的距离,求这个球体的质量.计算以下引力:

10、(1)平均薄片x2y2R2z=0关于轴上一点(0,0,c)(c0)处的单位质量的引力;(2)平均柱体x2y2a2,0zh关于P(0,0,c)(ch)处单位质量的引力.求曲面xbacossin02ybacoscos02zasin的面积,其中a,b常数,且0ab.求螺旋面xrcos0rayrsin0zb的面积求边长为I的正方形的薄板的质量,该薄板上每一点的密度与该点距正方形某极点的距离成正比,且在正方形中点处密度为0.11.求边长为a密度平均的正方体,关于其任一棱边的转动惯量.总练习题设1,x为无理数fx,y=2y,x为有理数x,yD=0,10,1证明f在D上不可以积;11(2)说明dxfx,yd

11、y存在,并求它的值;0说明f在D上先x后y的累次积分不存在.2.设平面上地域为D内任一点.证明:D在x轴和y轴上的投影长度分别为Lx,Ly,D的面积为D,(,)(1)xydxdyLxLyDD(2)xydxdy1L2xL2y.D4试作合适变换,把以下重积分化为单重积分:(1)fx2y2dxdy;x2y21(2)fx2y2dxdy,其中D=x,yyx,x1;Dfxydxdy;y1(4)fxydxdy,其中D=x,yxy4x,1xy2.D计算以下积分:xydxdy;0 x,y2(2)sgnx2y22dxdy.x2y24求以下函数在所指定地域D内的平均值:(1)f(x,y)=sin2xcos2y,D=x,y0 x,0y;(2)fx,y,z=x2y2z2,D=x,y,zx2y2z2xyz.设a1b1c1=a2b2c20a3b3c3求平面a1xb1yc1zh1a2xb2yc2zh2a3xb3yc3zh3所界平行六面体体积.研究函数1yfxFy=x2y2dx0的连续性,其中f为0,1上正连续函数.10.设f:R3R是连续可微函数,