《线性代数》第4章相似矩阵及二次型课件

1、相似矩阵及二次型04相似矩阵及二次型04目录/Contents4.14.24.34.44.54.6方阵的特征值与特征向量相似矩阵实对称矩阵的相似对角化二次型及其标准形正定二次型与正定矩阵向量的内积、长度及正交性目录/Contents4.14.24.34.44.54.6方目录/Contents4.1向量的内积、长度及正交性一、向量的内积、长度二、正交向量组三、施密特正交化过程四、正交矩阵目录/Contents4.1向量的内积、长度及正交性一、向量一、向量的内积、长度一、向量的内积、长度一、向量的内积、长度证明一、向量的内积、长度证明一、向量的内积、长度一、向量的内积、长度二、正交向量组二、正交向

2、量组定理 1二、正交向量组定理 1二、正交向量组二、正交向量组解二、正交向量组解二、正交向量组二、正交向量组三、施密特正交化过程三、施密特正交化过程三、施密特正交化过程解三、施密特正交化过程解三、施密特正交化过程解例3三、施密特正交化过程解例3四、正交矩阵证明123四、正交矩阵证明123四、正交矩阵四、正交矩阵四、正交矩阵证明例4四、正交矩阵证明例4目录/Contents4.14.24.34.44.54.6向量的内积、长度及正交性相似矩阵实对称矩阵的相似对角化二次型及其标准形正定二次型与正定矩阵方阵的特征值与特征向量目录/Contents4.14.24.34.44.54.6向目录/Conten

3、ts4.2方阵的特征值与特征向量一、方阵的特征值与特征向量的 概念及其求法二、方阵的特征值与特征向量的性质目录/Contents4.2方阵的特征值与特征向量一、方阵的定 义设 是 阶矩阵, 如果数 和 维非零列向量 使关系式那么数 称为矩阵 的特征值，非零向量 称为 的对应于特征值 的特征向量.例如，矩阵，则有所以数3是矩阵 的特征值， 是 的对应于特征值3的特征向量.成立，一、方阵的特征值与特征向量的概念及其求法定 义设 是 阶矩阵, 如果数 可见， 是 个未知数 个方程的齐次线性方程组 的非零解. 假设矩阵 有特征值 ，对应于特征值 的特征向量为 ，则有 . 一个任意给定的 阶矩阵 会有多

4、少个特征值？ 对应的特征向量又该如何求呢？而方程组有非零解的充分必要条件是系数行列式等于零，即将 改写成一、方阵的特征值与特征向量的概念及其求法 可见， 是 个未知数 记 则 是 的 次多项式，称为矩阵 的特征多项式. 从而公式 可以写成 ，这是以 为未知数的一元 次方程，称为 的特征方程，而 的特征值就是特征方程的根. 我们知道，一元 次方程在复数范围内恒有 个根 (重根按重数计算). 因此， 阶矩阵 在复数范围内有 个特征值，通过解矩阵 的特征方程就可以得到这 个特征值.一、方阵的特征值与特征向量的概念及其求法记 则 是 的 次那么 便是 的对应于特征值 的特征向量. 若 为复数，则 可取

5、复向量.）例 1求矩阵的特征值和特征向量.可求得非零解 ，设 为矩阵 的一个特征值，则由方程 （若 为实数，则 可取实向量；一、方阵的特征值与特征向量的概念及其求法那么 便是 的对应于特征值 的解矩阵 的特征多项式为所以 的全部特征值为,由此例可知，对角矩阵的全部特征值就是它的对角线上的元素.一、方阵的特征值与特征向量的概念及其求法解矩阵 的特征多项式为所以 的全部特征值当 时，解方程 ，得基础解系于是 是对应于特征值 的全部特征向量.由当 时，解方程 ，得基础解系由于是 是对应于特征值 的全部特征向量.一、方阵的特征值与特征向量的概念及其求法当 时，解方程 当 时，解方程 ，得基础解系于是

6、是对应于特征值 的全部特征向量.由一、方阵的特征值与特征向量的概念及其求法当 时，解方程 例 2求矩阵的特征值和特征向量的特征多项式为所以 的全部特征值为解一、方阵的特征值与特征向量的概念及其求法例 2求矩阵的特征值和特征向量的特征多项式为所以 的当 时，解方程 ，得基础解系对应于 的全部特征向量为 （常数 ）.由当 时，解方程 ，得基础解系由对应于 的全部特征向量为 （常数 ）.一、方阵的特征值与特征向量的概念及其求法当 时，解方程 一、方阵的特征值与特征向量的概念及其求法例3解一、方阵的特征值与特征向量的概念及其求法例3解一、方阵的特征值与特征向量的概念及其求法一、方阵的特征值与特征向量的

7、概念及其求法设 阶矩阵 的特征值为 ，则(i) (ii) 由此可见， 阶方阵 可逆的充分必要条件是 的特征值全不为零.性质1二、方阵的特征值与特征向量的性质设 阶矩阵 的特征值为若 是方阵 的特征值， 为对应于特征值 的特征向量，则性质2若矩阵 的多项式是 ， 则方 阵 的特征值是 （其中 是关于 的多项式），对应于特征值 的特征向量是 .04OPTION 是方阵 的特征值（ 为非负整数），对应于特征值 的特征向量是 ；01OPTION 是方阵 的特征值（ 为任意常数），对应于特征值 的特征向量是 ；02OPTION当 可逆时, 是方阵 的特征值，对应于特征值 的特征向量是 ；03OPTION

8、二、方阵的特征值与特征向量的性质若 是方阵 的特征值， 为对应于特证所以 是方阵 的特征值，对应于特征值 的特征向量是 .因 是方阵 的特征值， 为对应于特征值 的特征向量，故有 . 于是所以 是方阵 的特征值，对应于特征值 的特征向量是 .(i) (ii) 二、方阵的特征值与特征向量的性质证所以 是方阵 的特征值，对应于特征(iii) 当 可逆时，特征值均不为零，于是所以 是方阵 的特征值，对应于特征值 的特征向量是 .由(i)可知，所以方阵 的特征值是 ，对应于特征值 的特征向量是 .(iii) 二、方阵的特征值与特征向量的性质(iii) 当 可逆时，特征值均不为零，于是所以 设3阶矩阵的

9、特征值为 ，求 的特征值.因 的特征值全不为0，知 可逆，故 . 这里， 虽不是矩阵多项式，但也具有矩阵多项式的特性，从而可利用性质2(iv)来由 得 的特征值为例 4解而 ，记计算 的特征值. 二、方阵的特征值与特征向量的性质设3阶矩阵的特征值为 ，求 如果 与 是方阵 的同一特征值 所对应的特征向量，则 ( 、 不同时为零)也是特征值 所对应的特征向量.由，得所以 ( 、 不同时为零)也是特征值 所对应的特征向量.性质3证明二、方阵的特征值与特征向量的性质如果 与 是方阵 的同一设 是方阵 的 个互不相同的特征值， 是依次与之对应的特征向量，则 线性无关.设 和 是矩阵 的两个不同的特征值

10、， 和 是分别对应于 和 的线性无关的特征向量，则线性无关. 性质4性质5二、方阵的特征值与特征向量的性质设 二、方阵的特征值与特征向量的性质证明二、方阵的特征值与特征向量的性质证明目录/Contents4.14.24.34.44.54.6向量的内积、长度及正交性方阵的特征值与特征向量实对称矩阵的相似对角化二次型及其标准形正定二次型与正定矩阵相似矩阵目录/Contents4.14.24.34.44.54.6向目录/Contents4.3相似矩阵一、方阵相似的定义与性质二、方阵的相似对角化目录/Contents4.3相似矩阵一、方阵相似的定义与性质一、方阵相似的定义与性质一、方阵相似的定义与性质

11、定理 1一、方阵相似的定义与性质证明定理 1一、方阵相似的定义与性质证明一、方阵相似的定义与性质一、方阵相似的定义与性质一、方阵相似的定义与性质一、方阵相似的定义与性质把矩阵 列分块为由 ，得 ，即于是有可见 为 的特征值，而 的列向量 就是 对应于特征值 的特征向量. 二、方阵的相似对角化把矩阵 列分块为由 反之，如果 阶矩阵 恰好有 个特征向量，则这 个特征向量即可构成矩阵 , 由上面的讨论即有： 推论定理2并且这 个特征向量必定是线性无关的，从而 可逆，因此有 . 使得 . 阶矩阵 与对角阵相似(即 能对角化)的充分必要条件是 有 个线性无关的特征向量. 如果 阶矩阵 的 个特征值互不相

12、等， 则 与对角阵相似.二、方阵的相似对角化 反之，如果 阶矩阵 恰好例 1解设有三个线性无关的特征向量，求 与 应满足的条件.因为矩阵 是3阶矩阵，又有三个线性无关的特征向量，所以 可以相似对角化. 由二、方阵的相似对角化例 1解设有三个线性无关的特征向量，求 与 故对应重根 应有2个对应单根 ，可求得线性无关的特征向量恰好有1 个， 由 可知，要使系数矩阵 的秩 ，必须 .得到 的特征值为线性无关的特征向量，亦即系数矩阵的秩 .有 2个线性无关的解，即方程 二、方阵的相似对角化故对应重根 应有2个对目录/Contents4.14.24.34.44.54.6向量的内积、长度及正交性方阵的特征

13、值与特征向量相似矩阵二次型及其标准形正定二次型与正定矩阵实对称矩阵的相似对角化目录/Contents4.14.24.34.44.54.6向目录/Contents4.4实对称矩阵的相似对角化一、实对称矩阵的特征值和 特征向量的性质二、实对称矩阵的相似对角化目录/Contents4.4实对称矩阵的相似对角化一、实对称一、实对称矩阵的特征值和特征向量的性质性质1一、实对称矩阵的特征值和特征向量的性质性质1一、实对称矩阵的特征值和特征向量的性质一、实对称矩阵的特征值和特征向量的性质一、实对称矩阵的特征值和特征向量的性质一、实对称矩阵的特征值和特征向量的性质二、实对称矩阵的相似对角化二、实对称矩阵的相似

14、对角化二、实对称矩阵的相似对角化二、实对称矩阵的相似对角化二、实对称矩阵的相似对角化例1解二、实对称矩阵的相似对角化例1解二、实对称矩阵的相似对角化二、实对称矩阵的相似对角化二、实对称矩阵的相似对角化例2解二、实对称矩阵的相似对角化例2解二、实对称矩阵的相似对角化二、实对称矩阵的相似对角化二、实对称矩阵的相似对角化二、实对称矩阵的相似对角化二、实对称矩阵的相似对角化二、实对称矩阵的相似对角化目录/Contents4.14.24.34.44.54.6向量的内积、长度及正交性方阵的特征值与特征向量相似矩阵实对称矩阵的相似对角化正定二次型与正定矩阵二次型及其标准形目录/Contents4.14.24

15、.34.44.54.6向目录/Contents4.5二次型及其标准形一、二次型及其标准形的定义二、用正交变换化二次型为标准形三、用配方法化二次型为标准形目录/Contents4.5二次型及其标准形一、二次型及其标一、二次型及其标准形的定义一、二次型及其标准形的定义一、二次型及其标准形的定义一、二次型及其标准形的定义一、二次型及其标准形的定义一、二次型及其标准形的定义一、二次型及其标准形的定义一、二次型及其标准形的定义二、用正交变换化二次型为标准形二、用正交变换化二次型为标准形二、用正交变换化二次型为标准形二、用正交变换化二次型为标准形二、用正交变换化二次型为标准形二、用正交变换化二次型为标准形

16、二、用正交变换化二次型为标准形二、用正交变换化二次型为标准形二、用正交变换化二次型为标准形例1解二、用正交变换化二次型为标准形例1解二、用正交变换化二次型为标准形二、用正交变换化二次型为标准形二、用正交变换化二次型为标准形二、用正交变换化二次型为标准形三、用配方法化二次型为标准形三、用配方法化二次型为标准形三、用配方法化二次型为标准形三、用配方法化二次型为标准形三、用配方法化二次型为标准形三、用配方法化二次型为标准形三、用配方法化二次型为标准形三、用配方法化二次型为标准形三、用配方法化二次型为标准形三、用配方法化二次型为标准形目录/Contents4.14.24.34.44.54.6向量的内积、长度及正交性方阵的特征值与特征向量相似矩阵实对称矩阵的相似对角化二次型及其标准形正定二次型与