课时考点空间向量及应用

1、文档编码 : CN6T7A10W8Z2 HS4Z4O4T9D8 ZK9Q10N10M4H1课时考点 17 空间向量及其应用 高考考纲透析：线线 ,线面 ,面面的平行与垂直 高考热点：,空间角与距离 ,棱柱 ,棱锥 ,球 ,空间向量异面直线所成的角,直线和平面平行,垂直的判定与性质,两个平面垂直的判定与性质,直线和平面所成的角 ,二面角及其平面角,点到平面的距离学问整合 : 用空间向量可以解决的立体几何问题有: ,可以证明有关线线平行,线面平行 ,面面平行问题利用两个向量共线的条件和共面对量定理利用两个向量垂直的充要条件可以证明有关线线 利用两个向量的夹角公式可以求解有关角的问题,线面 ,面面垂

2、直问题利用向量的模及向量在单位向量上的射影可以求解有关的距离问题热点题型 1 求异面直线所成的角已知直四棱柱ABCDA B C D 中,AA 12,底面 ABCD 是直角梯形,A90o,AB/CD ,AB4,AD2,DC1,求异面直线（结果用反三角函数表BC 与 DC 所成的角的大小示）A1D1C1B1DCA B 解 由题意 AB CD, C1BA是异面直线 得 AC= 5 . 又在 Rt ACC 1中, 可得 AC1=3.BC1 与 DC 所成的角 . 连结 AC1 与 AC, 在 Rt ADC中, 可在梯形 ABCD中 , 过 C作 CH AD交 AB于 H, 得 CHB=90 , CH=

3、2, HB=3, CB=13 . 317又在 Rt CBC 1中, 可得 BC1= 17 , 在 ABC 1中,cos C1BA=317, C1BA=ar ccos1717异面直线 BC1与 DC所成角的大小为ar ccos317A1D1zC1B117另解 : 如图 , 以 D为坐标原点 , 分别以 DA、DC、DD1所在直线为 x、y、z 轴建立直角坐标系.就 C10,1,2,B2,4,0, BC = 2, 3,2, A xDCy BCD =0, 1,0, 设BC 与 CD 所成的角为 ,就 cos =BC 1CD=317, = ar ccos317. BC 1CD1717异面直线 BC1与

4、 DC所成角的大小为ar ccos31717热点题型 2求直线与平面所成的角如图,在三棱锥PABC中, ABBC,ABBC1 2PA,点 O、D分别是 AC、PC的中点, OP底面 ABC 求证 OD 平面 PAB 求直线 OD 与平面 PBC所成角的大小；PDAOCB解：方法一：P O、D 分别为 AC、 PC 中点,ODPAAODECFB又 PA 平面 PABOD平面 PAB Q AB BC,OA OC,OA OB OC,又 Q OP 平面 ABCPA PB PC .取BC中点 ,连结 PE,就 BC 平面 POE作 OF PE 于 ,连结 DF,就 OF 平面 PBCODF 是 OD 与

5、平面 PBC 所成的角 .在 Rt ODF 中,sin ODF OF 210 ,OD 30OD 与平面 PBC 所成的角为 arcsin 210 .30方法二：QOP平面ABC,OAOC,ABBC,Oxyz如图 ,PDCOAOB,OAOP,OBOP .以O为原点,射线OP为非负z 轴,建立空间直角坐标系设ABa,就A2a,0,0 ,B0,2a,0 ,C2a,0,0222z设OPh,就P0,0,h.QD为PC的中点,uuur OD2a,0,1h,又uuur PA2a ,0,h,422uuur OD1uuur PA .uuur ODuuur PA .OD平面PAB .2QPA2 ,h7 , 2xA

6、OByOD uuur 2 a ,0, 14 a ,4 4可求得平面 PBC 的法向量 rn 1,1, 1 ,7cos OD n uuur ruuur OD n uuur rr 210 .OD n 30设 OD 与平面 PBC 所成的角为,就 sin cos OD n uuur r 210 ,30210OD 与平面 PBC 所成的角为 arcsin30热点题型 3 二面角及点到面的距离的求法如图,直二面角DAB E 中,四边形ABCD 是边长为 2 的正方形, AE=EB ,F 为 CE 上的点,且 BF 平面 ACE. （）求证AE平面 BCE；DFC（）求二面角BAC E 的大小；（）求点D

7、 到平面 ACE 的距离 . ABE（I）QBF平面ACE,BFAE,平面ABE,Q 二面角D-AB-E为直二面角,平面ABCD又BCAB,BC平面ABE,BCAE,BCE；又BF平面BCE,BFIBC=B,AE平面（II ）连结 AC 、BD 交于 G,连结 FG, ABCD 为正方形, BDAC, BF平面 ACE ,FG AC, FGB 为二面角 B-AC-E 的平面角,由（I）可知, AE平面 BCE, AEEB,又AE=EB ,AB=2 ,AE=BE= 2 ,在直角三角形 BCE 中, CE= BC 2BE 26, BF BC BE 2 2 2CE 6 3在 正 方 形 中 , BG

8、=2 , 在 直 角 三 角 形BFG中 ,2sinFGBBF36DGCBG23二面角 B-AC-E 为arcsin6AFOB的 距3（III ）由（ II）可知,在正方形 ABCD 中,BG=DG ,D 到平面 ACBE就 是 2 3 3离等于 B 到平面 ACE 的距离, BF平面 ACE ,线段 BF 的长度点 B 到平面 ACE 的距离,即为D 到平面 ACE 的距离 所以 D 到平面的距离为23另法： 过点 E 作EOAB交 AB 于点 O. OE=1. 二面角 DAB E 为直二面角,EO平面 ABCD. 设 D 到平面 ACE 的距离为 h,VDACEVEACD,1SACBh1S

9、ACDEO.33AE平面 BCE ,AEEC.h1ADDCEO1221233.221AEEC12622点 D 到平面 ACE 的距离为233.解法二：（）同解法一. y 轴,过 O 点平C（）以线段AB 的中点为原点O,OE 所在直线为x 轴, AB 所在直线为行于 AD 的直线为 z 轴,建立空间直角坐标系Oxyz,如图 . AE面 BCE,BE面 BCE,AEBE,在RtAEB 中 ,AB2 ,O 为AB的中点,OE1 .A ,0,10 ,E0,1 0, ,C 2,1,0 .AE ,1,1 0 ,AC 0 , 2 2, .设平面 AEC 的一个法向量为nx ,y ,z ,就AEn0 ,即x

10、yy0 ,0 .ACn22 x0 ,解得yx ,DzMzx ,令x,1得n ,11,1 是平面 AEC 的一个法向量 . ByAFOx E又平面 BAC 的一个法向量为m ,1,00 ,n|AD|n|223.cosm ,n|m ,n|13.m|n33二面角 BAC E 的大小为arccos3.3（III ） AD/z 轴, AD=2 ,AD ,0 0 2, ,点 D 到平面 ACE 的距离d|AD|cosAD|n33样题 4 如图,已知长方体ABCDA B C D 1,AB2,AA 11,直线 BD 与平面AA B B 所成的角D 1为0 30 , AE 垂直 BD 于E F 为A B 的中点

11、（）求异面直线AE与BF所成的角；（）求平面BDF 与平面AA B 所成二面角（锐角）的大小；（）求点A到平面BDF的距离A1FB1AC1DEB C解法一：（向量法）在长方体ABCDA B C D 中,以 AB 所在直线为x 轴, AD 所在直线为y 轴,AA 1所在直线为 z 轴建立空间直角坐标系如图的角即为由已知AB2,AA 11,可得A0,0,0,B2,0,0,F1,0,1A1 zC1ED 1y又 AD平面AA B B ,从面 BD 与平面AA B B 所成DBA300FADB1又AB2,AEBD AE1,AD2 3xB3C1 3 2 3从而易得 E , ,0, D 0, ,02 2 3

12、（）Q uuurAE 1 , 3 ,0, uuurBF 1,0,12 2cos uuur uuurAE BF uuur uuur uuur uuurAE BF 12 2AE BF 2 4即异面直线 AE 、 BF 所成的角为 arccos 24（）易知平面 AA B的一个法向量 mr 0,1,0设 n r , , 是平面 BDF 的一个法向量uuurBD 2, 2 3,03n r uuurBF n BF rg uuur0 x x 0 x z由n r uuurBD n BD rg uuur0 2 x 2 3 y 0 3 x y3取 nr 1, 3,1cos m n r rm n m nr r r

13、r1 35 155即平面 BDF 与平面 AA B 所成二面角（锐角）大小为 arccos 155uuur（）点 A 到平面 BDF 的距离,即 AB 在平面 BDF 的法向量 nr上的投影的确定值所以距离uuur uuur rd | AB | cos AB n| uuurAB | g uuur uuur rAB nr| AB | | n | uuur r AB n | 2 2 5| n r | 5 5所以点 A 到平面 BDF 的距离为2 55解法二： 几何法 （）连结B D ,过 F 作B D 的垂线,垂足为K,B1A1C1ED1D1BB 与两底面 ABCD ,A B C D 都垂直,FK

14、ADFBBB 1FKB D 1FB平面 BDD 1B 1B3 1EB D 1BB 1B 1CAEBB 1又AEBDAE平面 BDD 1 B 1BB 1BDB因此FK/AEBFK为异面直线BF与AE所成的角2连结 BK ,由 FK面BDD B 得 FKBK ,从而BKF 为 Rt在Rt B KF 和Rt B D A 中,由FKA D 1得FKA D 1g B FAD1 g2AB13B FB D 1B D 1BD2322223又BF2, cosBFKFK2BK4B1SA1异面直线 BF 与 AE 所成的角为arccos24（）由于 AD面AA B 由 A作 BF 的垂线 AG ,垂足为 G ,连结 DG ,由三垂线定理知BGDGFGAGD即为平面BDF与平面AA B 所成二面角的平AD面角且DAG90o ,在平面AA B 中,延长 BF 与AA ；交C1于点 S F 为A B 的中点A F/1AB A F1AB ,BC221A 、 F 分别为 SA、 SB 的中点即SA2A A2AB , Rt BAS为等腰直角三角形,垂足G点实为斜边SB的中点 F,即 F、G 重合易得AGAF1SB2,在 Rt BAS中,AD23D1D23tanA