因式分解之十字相乘法

1、14.3因式分解十字相乘法选自人教版八年级上册第十四章第三小节第三课时课程目标1.熟练掌握并懂得对形如x2+(p+q)x+pq和形如acx2+(ad+bc)x+bd类型的多项式运用十字相乘法进行因式分解；2.了解双十字相乘法及其使用条件，并会用双十字相乘法解特定的二次六项式；3.学会运用待定系数法对多项式进行因式分解复习巩固平方差公式：a2-b2= . 立方差公式：a3-b3=(a-b) .立方和公式：a3+b3= (a2-ab+b2).完全平方公式： =(a b)2.完全立方和公式： =(a+b)3(a+b)(a-b)(a2+ab+b2)(a+b)a2 2ab+b2a3+3a2b+3ab2+

2、b3观察与思考(x+2)(x+3)=x2+2x+3x+23 =x2+5x+6 x2+5x+6=(x+2)(x+3)(x-4)(x+5)=x2-4x+5x+(-4)5 =x2+x-20 x2+x-20=(x-4)(x+5)xx+2+3+2x+3xxx-4+5-4x+5x观察与思考(x-7)(x-4)=x2-7x-4x+(-7)(-4) =x2-11x+28 x2-11x+28=(x-7)(x-4) =x2+3x-8x+3(-8) =x2-5x-24 x2-5x-24= .xx-7-4-7x-4xxx+3-8+3x-8x(x-8)(x+3)(x+3)(x-8)方法小结1.x2+5x+6=(x+2)

3、 .2.x2+ =(x-4)(x+5)3. =(x-7)(x-4)4.x2-5x-24= .方法：先将常数项 成两个有理数相乘，再看这两个有理数的和是否恰好等于 ，这个一次项系数不是 ，而是要带上 。当常数项为正数是，拆分成的两个有理数一定 ，符号与一次项系数相同。当常数项为 时，拆分成的 ，且绝对值大的数与一次项系数同号。(x+3)(x-8)x2-11x+28(x+3)x-20拆分绝对值符号同号一次项系数负数两个有理数异号巩固练习把下列各式分解因式1.x2+7x+12=(x+ )(x )2.x2-5x+6=(x- )(x )3.x2-12x-28=(x )(x )4.x2+2x-8=(x )

4、(x )xxxxxxxx知识迁移把下列各式分解因式1.x2-4xy-5y2=(x-y)(x )2.m2+5mn-6n2=(m+n)(m )3.y2-8xy+12x2=(y )(y )4.b2-7bx2-18x4=(b )(b )xxmmyybb+5y+5y-y-xy+5xy-6x-2x-2xy-6xy-6nnmn-6mn-9x22x22bx2-9bx2结论 (x+p)(x+q)=x2+px+qx+pq =x2+(p+q)x+pq x2+(p+q)x+pq=(x+p)(x+q) xx+p+q+px+qx十字相乘法1.x2+7x+12=(x+ )(x )2.x2-5x+6=(x- )(x )3.x

5、2-12x-28=(x )(x )4.x2+2x-8=(x )(x )模型拓展11.6x2+7x+2=(2x-1)(3x )2.3x2+11x+10=(3x )( x )3.5x2-6xy-8y2=( x )( x )4.7x2-19x-6=( x )( x )2x3x3x x x x x x-2-1-3x-4x15-2y4y4xy-10 xy256x+5x17-327(-3)x+2x模型小结1.6x2+7x+2=(2x-1)(3x )2.3x2+11x+10=(3x )( x )3.5x2-6xy-8y2=( x )( x )4.7x2-19x-6=( x )( x )结论：形如acx2+(

6、ad+bc)x+bd的二次三项式可改写为 的形式,即：acx2+(ad+bc)x+bd=(ax+b)(cx+d)(ax+b)(cx+d)模型拓展2试因式分解：2x2+3xy-9y2+14x-3y+20通过观察我们发现：2x2+3xy-9y2可以用十字相乘法进行分解因式，即：2x2+3xy-9y2= .因此，原式可改写为 +14x-3y+20最后，再对 +14x-3y+20用十字相乘法分解因式： 原式=(2x-3y+4)(x+3y+5)小结：上述过程中实施了两次十字相乘法，现在我们将这两次十字相乘法结合在一起，可得2xx-3y+3y+4+56xy-3xy=3xy-15y+12y=3y10 x+4

7、x=14x(2x-3y)(x+3y)模型拓展2分解因式：2x2-7xy-22y2-5x+35y-3 解：原式=2x2-7xy-5x+(-22y2+35y-3) =2x2-7xy-5x =2x2-7xy-5x- 原式=(2x-11y+1)(x+2y-3)分解因式：x2-3xy-10y2+x+9y-2 解：原式=x2+x-2-10y2-3xy+9y =-10y2-3xy+9y+(x+2)(x-1) 原式=(2y+x-1)(-5y+x+2)2xx-11y+2y+1-34xy-11xy=-7xy33y+2y=35y-6x+x=-5x2y-5yxx-1+22xy-5xy=-3xy2x-x=x4y+5y=

8、9y-(22y2-35y+3)(11y-1)(2y-3)模型小结1.2x2+3xy-9y2+14x-3y+20= .2.2x2-7xy-22y2-5x+35y-3= .3.x2-3xy-10y2+x+9y-2= .结论：形如ax2+bxy+cy2+dx+ey+f的二次六项式进行双十字相乘法的一般步骤是： 先用十字相乘法分解 ; 再分解f，得到第三列，使得： 二三列交叉相乘的积的和等于 ； 一三列交叉相乘的积的和等于 .或者是先用十字相乘法分解ax2+dx+f，再分解 ，得到第二列，使得二三列交叉相乘的积的和等于 ；一二列交叉相乘的积的和等于 .ax2+bxy+cy2eydxcy2eybxy旧题

9、新解试因式分解：2x2+3xy-9y2+14x-3y+20通过观察我们发现：2x2+3xy-9y2可以用十字相乘法进行分解因式，即：2x2+3xy-9y2=(2x-3y)(x+3y).根据x2+(p+q)x+pq=(x+p)(x+q)和acx2+(ad+bc)x+bd=(ax+b)(cx+d)，我们可以猜想：2x2+3xy-9y2+14x-3y+20= .接着，将运用整式乘法的知识将等号右边的两个因式展开，再 ，并比较两式同类项的 可得：于是，2x2+3xy-9y2+14x-3y+20=(2x-3y+4)(x+3y+5)a+2b=143a-3b=-3解得a=4b=5(2x-3y+a)(x+3y+b)合并同类项系数拓展延伸用待定系数法分解下列因式：1.2x2+xy-3y2+x+14-152.x4-x3+4x2+3x+53.x2+(2k+2)x+2k+1小结：通过上述练习我们发现，只要能够进行 的就一定能够用 分解因式，并且，双十字相乘法要求的多项式必需是 ，但待定系数法没有这个限制，因此待定系数法的适用范围更广。双十字相乘法待定系数法二次六项式学习心得1.十字相乘法的两种模型： =(x+p)(x+q) acx2+(ad+bc)x+bd= .2.双十字相乘法： (ax+by+c)(dx+ey+f)=(a+d)x2+(bd+ae)x