一维稳态导热问题数值模拟

1、一维稳态导热问题数值模拟问题描述：设有一导热方程，dTdx问题描述：设有一导热方程，dTdx2+T=0,边界条件为dT八x=0=0dxx=1T=1编写一段程序对此问题进行数值模拟。解析：d2Tdx2x=0竺=d2Tdx2x=1T=11、用控制容积有限差分方法做出内部节点和边界节点的离散化方程:首先进行离散化，先确定节点，再确定控制容积。将0-1划分为N段，共N+1A_1个节点，N个控制容积，其中x一n。可以得到如下：Ay对原方程建立差分方程，内部节点有:eddTJ_(_)+Tdx=0dxdxwdTndTndx+T_+TAx=0dx.IwnepAxPwAx+TAx=0pnepAxPwAx+TAx

2、=0pT-Tne,p1NT-T11八p、w+T01PNN)T=NT+NTaT=aT+aTPPEEWW则转换为下式，：aT=aT+aTPiiEiEiWiWi上式即为内部节点的离散化方程。对于外部节点可有：TT注1iT=1ia+aEi=2，.，N综上可以得到内部节点和外部节点的离散化方程为:aT=aT+aTPiiEiEiwiwiT=Ti+1iT=1Ii即为11、一l(2N-NTjT+1=TT=1I-I=NT+NTEiwii=2，.,Ni=1i=N+1i=2，.,Ni=1i=N+1上式不满足系数为负数，则可改用如下离散方程:内部节点：T-TT-T1丁2T八EppwT+T*011NPNPaaaNEwa

3、=2N+b_T*pNNpaT=aT+aT+baTaT+aT+bppEEWWpipiEiEiWiWii12(2N+_)T=N(T+T)+_T*Nii-1i+1NP边界节点X=1Tn+1=1aTaT+aT+bppEEWWaaNEw2aT2aT=aT+aT+T*NNN+1N+1N-1N-1Np12(2N+_)T=N+NT+_T*NNN-1NP边界节点X0dTdx0边界节点X0dTdx0ddTJ(一()+T)dx=0Pdxdx1a=NbT*eNpT-T1pte+(T-2T*)01pp2Na11+=N+e2N2NaTaTaTaT+bppEEaT=aT+T*1122NP11(N-_JT=NT+_T*2n1

4、2NPii12i=epsx=G*x0+f;n=n+1;tol=norm(x-x0);x0=x;if(n=M)disp(Warning：逖代次数过多，可能不收敛.)return;endend(2)主程序(demo文件)如下：N=inputC请输入N值n)Tp=input(请输入Tp值n)x1=zeros(N,1)A0=zeros(N);A0(1,1)=N+1/(2*N);A0(1,2)=-N;A0(N,N-1)=-N;A0(N,N)=2*N+1/N;fori=2:N-1A0(i,i-1)=-N;A0(i,i)=2*N+1/N;A0(i,i+1)=-N;endb0=zeros(N,1);b0(1,

5、1)=(1/N)*Tp;b0(N,1)=(2/N)*Tp+N;fori=2:N-1b0(i,1)=(2/N)*Tp;endA二A0;b=bO;xO=xl;x,n=gauseidel(A,b,xO)x=x;lt=(O:l/N:l)title。一维稳态导热问题空间温度分布图)xlabel(空间分布X)ylabel。温度分布T)holdonplot(t,x)3、结果分析，以上程序计算当取T*=l。P二，工胃一笔，胃空间大仙I.口00102Q.3二，工胃一笔，胃空间大仙I.口00102Q.3口qn.5060丁口田Q9空间-币、.当N=10时，迭代次数n=3431.35171.34851.33871.3

6、2241.29921.26911.23161.18651.13321.0712方程组的解1.35191.26921.35101.25141.34861.23171.34461.21011.33891.18651.33151.16091.32251.13321.31181.10341.29931.07131.28511.0368方程组的解当N=20时，迭代次数n=1243当N=30时，迭代次数n=2634当N=30时，迭代次数n=26341.35191.31551.20251.35151.30781.18651.35041.29931.16971.34861.29011.15191.34611.28001.13321.34281.26921.11361.33891.25751.09291.33411.24501.07131.32871.23171.04861.32251.21751.024