非线性期望理论及金融场不确定性

1、非线性期望理论及金融市场不确定性本文主要研究了非线性期望理论及金融市场中的不确定性问题。文章共有四章,前两章主要是理论性研究,第一章深入研究了非线性期望乘积空间理论,研究 了非线性期望下乘积空间的正则性问题以及非线性期望下独立增量过程的乘积 空间问题，是对非线性期望理论的完善和补充。第二章研究了倒向随机微分方程最优控制问题及资产定价问题。后两章主要是应用性研究，深入研究了金融市场中的不确定性及非线性期望在金融市场中的 应用。第三章介绍了非线性期望资产定价理论，并利用非线性期望理论改进了目前 国际上最通用的SPAN呆证金系统,改进SPAN算原理,得到了均值-方差不确定 性下的SPAN呆证金系统，

2、可以更为快捷、准确、稳健的度量风险。并用 S&P500 指数期权数据进行了实证检验。第四章深入探讨了金融市场中的不确定性，说明了金融数据的分布不确定性 和描述参数不确定性在金融市场中客观存在。 深入研究了均值不确定性和方差不 确定性在金融市场中的具体表现、估计方法，并利用均值不确定性构建了投资策 略。本章主各章节主要内容如下:（一）非线性期望下的乘积空间本章研究非线性期望下 的乘积空间理论，主要针对非线性（resp.次线性）期望下乘积空间的正则性及独 立增量过程的乘积空间问题进行深入探讨，完善了非线性期望乘积空间理论并弥 补了之前理论中的不足。本章的结果主要出自:Gao Q,Hu M,Ji X

3、,Liu G.Product space for two processes with indepen-dent increments under nonlinear expectations.Electronic Communications in Probability 22(2017). 要有以下两部分内容：1.非线性(resp.次线性)期望下乘积空间的正则性：正则性 是概率论中很重要的概念，一般情况下，次线性期望空间并不满足正则性，而G期 望空间满足正则性(2),彭实戈院士在10中给出了乘积空间的定义，但是在定 义中并未提及正则性，因此一个自然而然的问题就是，对于给定的正则次线性期 望

4、空间，其乘积空间是否依然满足正则性。本章主为解决这个问题，首先研究两个正则次线性期望乘积空间的正则性，通过将经典的有限乘积概率空间构造推广到次线性期望情形，可以得知两个正则次线性 期望空间的乘积空间仍保持正则性，并进一步推广到有限维的情形，得到如下结 论：给定有限个正则次线性期望空间(Q i,Hi,(?)_i),i = 1,2,.n,则其乘积空问()也是正则次线性期望空间。再通过反证法，可将结论推广到可列次线性期望 空间。进一步研究次线性期望下完备乘积空间是否保持正则性，这种情况下问题较 为复杂，本文在完备可分的距离空间下，证明了概率表示族是弱紧的及随机变量 的逼近性质，最终得到了次线性期望下

5、的完备乘积空间仍保持正则性，整体思路如下：给定正则次线性期望空间(Qi,Hi,(?)_i),i=1,2,.,n 其乘积空间记为 (),记()为()的完备化空间。则可以证明()也是正则次线性期望空间,)且存在() 上的一族弱紧概率族Pi使得由此可给出有限个正则次线性期望空间的完备乘积 空间问题的证明。基于有限个情形的结论和随机变量的逼近性质，进一步可得如下结论：给定 一列正则次线性期望空间(Q i,Hi,(?)_i),i1,其中(Q i, pi为完备可分距离空间,Hi=Cb.Lip( Qi)。记0 =，则(Q ,L ( Q ),E为正则次线性期望空间，且满足 Cb(Q)(?)L (Q),其中(Q

6、,L /( Q),1)为(Q ,H,E)的完备化空间。2,非线性(resp.次线性)期望下独立增量过程的乘积空间接下来研究非线性 (resp.次线性)期望空间中独立增量过程的乘积空间问题，即对于给定的两个d- 维独立增量过程，是否存在一个非线性期望空间，及一个定义在空间上的2d-维 的独立增量过程，使得其前d-维与后d-维过程分别同分布于先前给定的两个独 立增量过程。这是彭院士 10中的乘积空间方法无法解决的。本文通过离散化的方法，利用胎紧的性质，提出一种全新的构建思路，研究有 限维、可列维和不可列维独立增量过程的乘积空间问题。有限维独立增量过程的 乘积空间的主要定理如下：定理0.1.令(Mt

7、)t 0和(Nt)t 0是两个分别定义在 非线性(resp,次线性)空间(Q1,H1,E1)和(Q2,H2,E2)上的d-维独立增量过程， 满足假设(A)。则存在定义在非线性(resp,次线性)空间(Q,H,E)上的2d-维独立增量过程 (Mt,Nt)t 0满足:(?)进一步，如果(Mt)t 0和(Nt)t 0是两个平稳独立增量过 程，则(Mt,Nt)t 0也是一个平稳独立增量过程。非线性情形与次线性情形相似， 因此本文只讨论次线性情形，非线性情形同理可证。进一步可知，只需要证明t 0,1的情形即可。在稠密的有限点集 Dn=i2-n:0 i 0 2n上构造符合要求的次线性期望空间(Q,Hn,E

8、n):如下定义 Hn:记 6 n = 2-n,(?) 如下定义 En:Hn- R:Step 1.对于给定的小 C Cb.Lip(R2d), 满足对 i 02n,小(Xi 6 n-X(i-1) 6 n)=小(Mi 6 n-M(i-1) 6 n,Ni 6 n-N(i-1) 6 n) Hn定义 En小(Xi 6 n-X(i-1) 6 n)=E1巾(Mi 6 n-M(i-1) 6 n),其中也 (x)=E2(|)(x,Ni 6n-N(i-1) 6 n),(?)x Rd Step 2,对给定的小(X 6 n,X2 6 n-X6 n,.,X2n6 n-X(2n-1) 6 n) C Hn,小 C Cb.Li

9、p(R2n 乂 2d),定义 En小(X 6 n,X26 n-X 6 n,.,X2n6 n-X(2n-1) 6 n)=6 0，其中小 0=En6 1(X 6 n),引理 0.1.按上述方法定义(Q,Hn,En),那么(1)( Q Hn,En)构成一次线性期望空间;(2)对 每个 10i &2n,Xi 6 n-X(i-1) 6 n 独立于(X 6 n,.,X(i-1)6 n-X(i-2) 6n);(3)(?)(?) 由此可知在稠密的有限点集 Dn= i2-n:0 i 1,有Hn(?)Hn+1.令(?)，易见(?) 为H的一个子空间，使得对每一个小C Cb.Lip(Rm)满足：若Y1,.,ym (

10、?),则有小(Y1,.,Ym) (?) 0下面，我们希望定义一个次线性期望E:(?) -R。然而，在Hn上En+1 丰En ,这是因为在次线性期望下独立性的顺序是不可交换的。不过，通过下面的胎紧性引理，仍可以构造E:引理0.2.对每一个固定的n 1,令Fkn, k n,为在Ek下的分布.从而Fkn:k n是胎紧的.用这一引 理来构造次线性期望 E:(?) - R.可得如下引理：引理0.3.设P = i2-n:n1,0 i R 满足如下条件:(1)对每一 列(?);(2)对每一列(?)且(?).通过以上引理，最终完成了定理0.1的证明。进一 步研究无穷个独立增量过程的乘积空间问题。首先，利用相容

11、性构造非线性(resp.次线性)期望，结合对角线法则，将结论 推广到可列个独立增量过程的乘积空间中，主要定理如下：定理0.2.令(Mti)t 0,i 1是定义在非线性(resp.次线性)期望空间(Q i,Hi,(?)J),i1上满足假设的至多可列维独立增量过程，则存在非线性(resp.次线性)期望空间 (Q,H,E)及定义在其上的可列维独立增量过程 (Mt1,Mt2,.,Mti,)t 0满足:(?)进一步，如果(Mti)t 0,i 1是至多可列维平稳独立增量过程，则同理 可得(Mt1,Mt2,Mii,)t 0也是可列维平稳独立增量过程。进一步推广到不可列个独立增量过程的乘积空间问题，注意到对角

12、线法则方法在不可列个独立增 量过程的乘积空间问题上并不适用，因此无法利用之前的方法得到想用的结论。因此我们定义上独立增量过程，并进一步给出不可列维上独立增量过程的定 义:给定非线性（resp.次线性）期望空间（Q,H,E）,X,y分别是其上的m潍和n-维 随机向量，称Y上独立于X,若对任给的（?）小 Cb.Lip（RmXn）,都有给定非线性 （resp.次线性）期望空间（Q ,H,E）,（Xt）t0为此空间上的d-维随机过程，若对（?）,都有Xt+s-Xt上独立于（Xt1,.,Xtm）, 则称（X不）t 0为上独立增量过程。 进一步的，若对（?）t 0还有（?），则称（Xt）t 0为平稳上独立

13、增量过程。设（Mt入）t 0,入 I是非线性（resp.次线性）期望空间（Q ,H,E）上的一族 随机过程，其中,I为不可列集。如果对 都有（Mt入1,Mt入2,Mt入n）t 0., 是n-维上独立增量过程，则称（Mt入）t , X 为不可列上独立增量过程。进一步的，若对,n,者B有（Mt入1,Mt入2,.,Mt入n.,）t0是n-维平稳上独立增量过程，则称（Mt入）t 0 J为不可列平稳上独立增量过程。给出不 可列个独立增量过程的乘积空间的主要定理：定理0.3.令（Mt入）t 0,入C I（其 中I为不可列集）是一族定义在非线性（resp.次线性）空间（Q入，H入，E入）上的 不可列个1-维

14、独立增量过程，满足:（C1）存在次线性期望E入：H入-R分别控制E 入，入 I;（C2）对每个t 0,Mt入的分布在E入下是胎紧的；对每个t0,入 I,有（?）则存在一个非线性（resp.次线性）期望空间（Q,H,E）,及定义在其上的 不可列维上独立增量过程（Mt入，入e I）t 0满足：进一步，如果（At入）t 0,入 I是1-维平稳独立增量过程，则（Mt入）t 0,入 I是不可列维平稳上独立增 量过程。（二）BSDEM机控制及不完备市场资产定价本章主要研究带有广义效用泛函的FBSDEI机控制最大值原理问题及不完备市场定价问题。本章的结果主要出 自：1)Gao Q,Yang S.Maximu

15、m principle for forward-backward SDEs with a general cost functional.International journal ofcontrol(2016):1-7.2)Gao Q,Yang S.Pricing of contingent claims in an incomplete market with finite state stochastic processes in discrete time,Completed Manuscript,1-10.本章主要有以下两部分内容：1.带有广义效用泛函的FBSDffi!机控制最大值原

16、理彭实戈院士(53,29)第一次介绍了由倒向随机微分方程或正倒向随机微分方程驱动的最优控制问题，并得到了很多研究者的进一步推广，如 Xu57,Lim and Zhou24,Shi and Wu54 等。在29中，彭院士首次研究了如下正倒向随机微分方程系统的随机最优控制 问题:其效用泛函为：事实上，上述效用泛函中的h( )和丫 (.)可能不仅仅依赖于 终端条件(t=T)和起始条件(t = 0),通常情况下，还会依赖于全局时间条件(t 0,T).也就是说，效用泛函中h( )和丫 (.)不仅由起始和终端这两个特殊时间 点决定，还依赖于更一般的全局时间条件。在本文中，我们会研究带有如下依赖于 全局时间

17、条件的广义效用泛函的正倒向随机系统的随机最大值原理，其中，注意到效用泛函(0.2)是上述广义效用泛函(0.3)的一个特殊形式，也就是说，广义效 用泛函(0.3)考虑到了更一般的情况，是对经典随机控制问题的十分有意义的推 广，而在本文之前，带有(0.3)形式广义效用泛函的控制系统的最大值原理问题还 未被认真研究。利用Frechet导数的框架，可以构建一系列需要逐步求解的伴随方程，从而 推导出相应的最大值原理。最大的难点在于如何得到对应的伴随方程。本文利用Riesz表示定理与Frechet导数的框架相结合，使Frechet导数Dxh(x0,弓I)和Dxy (y0,T)可以被相对应的有限测度2和B描

18、述。 将测度世和 B分解为连续部分和跳跃部分，可以构建一系列的伴随方程，并通过逐步解这些 伴随方程得到相对应的最大值原理。并且为了更直观的展示本文研究的带有广义效用泛函的随机控制系统与经 典情况的不同，本章最后通过简单的例子进行直观的展示。本章简要过程如下：令 U为 R上的非空凸子集.记 u = u( ) C M2(R)|u(t) C U,a.e.,a.s.。令u( )是一个最优控制,(x( ),y( ),z( )为对应的轨道，记=u( )+ p u( ),0 p 1,u( )+ w( ) C u,.因为 u 是凸的，因此 upC u。引入变 分方程，易知变分方程存在唯一解(),“()，工R:

19、H(x,y,z,u,p,k,q,t)= pb(x,u,t)+ k(T (x,u,t)+ qg(x,y,z,u,t)+ f(x,y,z,u,t)相应的可以利用汉密尔顿方程改写伴随方程：因此可以得到主要定理，定理0.4.假设条件(i)-(iii) 成立，今u( )是一个最优控制并令(x( ),y( ),z( )是相对应的轨道,则有2.不完备市场资产 组合定价当市场完备时，每一个衍生品收益都可以被市场中的一个投资组合复制 其价格可以由完备市场无套利理论得出。而在不完备的市场中的定价问题较为复杂，本文运用随机控制的方式来研究最高价与最低价，利用有限时间有限状态过 程下的广义Girsanov变换对未定权

20、益或期权定价。本文的研究是对35中研究的进一步扩展。任一概率测度被称为一个P-鞅测度，如果在FT上等价于P并且其折现价格过程为鞅。我们将所有的P-鞅测度记作P。需要注意的是，在完备市场中,P = Q,其折 现过程唯一，存在唯一的自融资策略，定价可以通过无套利原则得出，衍生产品价 格可以被基础产品的投资组合复制。而在不完备市场中，存在多个P-鞅测度，因此并不存在唯一的自融资策略， 定价也难以通过无套利推导得出，市场存在多种报价(卖方报价，买方报价),需要 关注的是市场的最大价格和最小价格。在完备市场中，对于给定的未定权益U,存在y 0和投资组合策略满足如下方程其中y是t = 0的无套利价格。记M

21、(t)=8(t)+ M(t),则在不完备市场中U存在多种价格，t = 0,U的最小价 格(下价格)为infP PEP(Ud),U的最大价格(上价格)为suP PEP(Ud).利用最 优控制方法我们可以对最小最大价格进行动态研究。U在时刻t的最大可能价格为J(t尸esssup入 (?)EP入Ud|Ft,其中P人表示所有满足如下形式的关于P的Girsanov变换的概率测度：其中，其具有以下性质：定义过程 f(t):f(t)=A(t)-j(t), 则f(t)是一个增过程，可得特别的,t=T时，有U在时刻的 最小可能价格为K(t)= essin fv(?)Epv)Ud|Ft,类似最大价格的推导可知，存

22、在一个投资组合过程小(t)和一个右连续减过程g(t,g(0)=0满足(三)非线性期 望下的SPAN呆证金本章研究非线性期望理论在保证金计算中的应用。本部分结果出自：高强，杨淑振等.基于市场复杂性的新型保证金计算工具， 第四届全国金融期货与期权研究大赛获奖论文 (全国一等奖),1-46,2014.首先介 绍了保证金制度和国际主流的保证金计算系统 ，并对国际上最成熟通用的保证金 管理系统SPANS行了深入分析，介绍了 SPAN呆证金的计算原理：其最核心的价 格侦测风险模块基于情景模拟法，预估未来标的价格和波动率的变化，将未来市 场划分为16种可能情形，分别计算16种情形中的可能损失，取其中的最大值

23、作为 最大预期损失，以此制定相应的保证金标准。此外，SPAN保证金还包括跨月价差 风险、交割月风险值、商品间价差折抵、空头期权最低风险值等。分析SPAN呆证金的优缺点，指出其只计算了 16种情形，无法涵盖未来市场 的多种可能性，并且理论基础是Black-Scholes公式，其假设波动率是一个常数， 因此不能估计波动率不确定下的风险。进一步分析了国际上其他SPANC进系统的改进原理并利用S&P500殳指期权数据对标准SPANS统(SPAN16和改进SPAN 系统(SPAN-44和SPAN-93进行了实证分析比较，发现改进的SPAN呆证金系统划 分了更多种可能情形，在一定程度上更为准确的度量了风险

24、，但是同时也加大了 计算量，并且无法解决真实市场中波动率不确定性带来的风险。接下来介绍非线性期望理论中的三个重要分布：最大分布,G-正态分布和G- 分布，以及对应的三个重要的随机过程：G-布朗运动，有界变差G-布朗运动和广 义G-布朗运动，具增量过程分别服从之前的三种分布，例如G-布朗运动的增量过 程服从G-正态分布。其与金融市场不确定性有着直接的对应关系，G-正态分布、G-布朗运动与方差不确定性(波动率不确定性)直接相关,G-正态分布随机变量可表示为(?)，A描述了 X的方差不确定性，在一维情形下,(?),其中,(?)，则方差(波动率)不确定性区间为2, 2最大分布、有界变差G-布朗运动与均

25、值(收益率)不确定性直接相关，最大分 布随机变量可记为(?)0描述了 Y的均值不确定性程度，在一维情形下,(?),其中, =EX, = =-E-X,均值不确定性区间为小，以。上面的两个分布可以非平凡 地组合为一个新的分布，即G-分布，其对应广义G-布朗运动，与均值-方差不确定 性(收益率-波动率不确定性)直接相关。由止匕，可以给出如下形式的几何 G-布朗运动:dXs =uXsd s s + o-XsdBs,Xt = x,其中“ t, 0服从最大分布,Bt,t 0服从G-正态分布，且其终端支付函数 为(Xr)。定义风险为u(t,Xt):=E-(XT),其中u(t,Xt)为下面偏微分方程的解探讨其

26、计算原理，考虑有界边值问题，通过标准的离散格式离散化上述方程给 出上述方程的数值解法，并可以证明牛顿迭代的收敛性及全隐格式的收敛性。利用非线性期望理论改进SPAN呆证金系统,给出波动率不确定性下的SPAN 保证金计算方法：假设标的物(股票或者期货)Xt满足G-期望下的几何布朗运动： 其中Bt,t 0服从G-正态分布，且E(t21=(t2,E- (t21=-(t2.其终端支付函 数为(Xr)。定义风险u(t,Xt):=E-(XT),其中u(t,Xt)为下面偏微分方程的解其中6 2=(b+A(T )2,(t2=(t2=A(t)2 o则针对SPAN寸于标的价格的可能变化情形：给出9种可能的变化，其中

27、,波动 率的可能变动范围在区间(Tt- A (T , (T t+ A6内连续取值。取9种情况的最大 值作为最大预期风险，将加入波动率不确定性的SPAN呆证金称为G-SPAN-9G-SPAN-9r收取保证金为：其中Pt是t时期的期权价格。同理，可以给出均 值不确定性下的SPANS证金计算方法和均值-波动率不确定性下的SPANS证金。由于篇幅原因，这里只给出均值-波动率不确定性下的SPAN呆证金计算方法：假设股票价格满足下面的随机微分方程 dXs = uXsd刀s + o- XsdBs,X= x,其中“ t满足最大分布，Bt满足G-正态分布，且(?)(?)其终端支付函数为(Xr)。定义 风险:u(

28、t,Xt):=E-(XT),其中u(t,Xt)为下面偏微分方程的解 其中(?)(?)因此，同时引入均值不确定性和波动率不确定性，只需计算一种情形，即可 得到全面涵盖标的价格和波动率连续变化的风险值：价格变动波动率变动计算 比例(?)其中 Ax = PSR, A(T = VSR。此时G-期望下收取保证金为：pt,T(XT)尸Pt+E-(XT)其中Pt是t时 期的期权价格。只需进行一次运算，即可得到涵盖更全面风险的运算结果。利用S&P50Q1权数据进彳T实证分析，可知,利用非线性期望理论改进的 G-SPA认证金不仅运算次数更少，还更全面的考虑了价格和波动率不确定导致 的风险，是一种准确快捷稳健的保

29、证金计算方式。(四)金融市场的不确定性金融 市场中的不确定性主要体现有：金融数据分布的不确定性；金融数据特征描述参 数的不确定性；金融数据的模型不确定性。首先验证金融数据分布的不确定性，正态分布是金融市场中最重要的分布之 一,很多金融研究都以正态分布假设为基石。 金融数据分析中，常假设某个时间段 内的金融数据服从同一分布，比如最常见的，假设资产收益率服从正态分布，现在 我们选取最能代表金融市场数据特征的沪深 300股指和相对应的沪深300股指期 货数据进行实证检验。经过实际分析，按一天作为窗口长度进行正态检验，服从正态性假设的天数 较少，股指只有不到20%股指期货只有不到10%若按一周为窗口长

30、度进行验证， 则服从正态分布的周数少于1%,由此可知，正态分布假设在金融市场中存在较大 问题。实际上，不仅是正态分布假设难以成立，在实际的金融市场中，很难找出一种 或者几种不同的分布，来准确描述经济、金融数据的分布。不同金融数据展现出 不同的数据特征，即便是同一金融数据的背后，也可能来源于不同的经济、金融、 社会原理的共同作用。因此，分布不确定性在金融中客观存在。除了分布的不确定性，描述数据特征 的重要参数，比如均值（一阶矩）和方差（波动率、二阶矩）,也存在不确定性，收益 率和波动率亦存在相应的不确定性。分析沪深300股指和沪深300股指期货日收益率的均值和方差，可知其均值 方差均存在不确定性，股指期货的变动幅度相较股指的变化更为剧烈，具有更大 的不确定性。均值、方差的不确定性亦客观存在，一段时间内，均值和方差在一个 范围内变化，当数据量足够大时，可以认为均值、方差在一个区间内连续变动。由此可知，金融数据存在分布不确定性和特征参数的不确定性 ，同一时间段 内