东南大学材料力学

1、材 料 力 学(Mechanics of materials)1. 课程的价值基础2. 课程的特点变形3. 课程的目的与内容安全性，强度、 刚度、稳定性4. 课程的分析方法点，几何、物理、平衡材料力学主要研究构件的变形、内部力与破坏的 规律绪 论 (Introduction) 5. 基本假设连续性、均匀性、各向同性、 小变形、线弹性6. 研究对象杆件（member） 几何特征：横截面、轴线7. 杆件变形的基本形式轴向拉伸（或压 缩） 剪切、扭转、弯曲材料力学主要研究构件的变形、内部力与破坏的 规律FF拉伸（tension）FF压缩（compression）第一章 绪论构件(或零件): 组成结构

2、或机械的单个部分。 保证构件在外力作用下正常工作，必须同时满足以下三方面要求：强度(strength)：外力作用下不破坏 -不发生断裂或塑性变形。刚度(stiffness)：在外力作用下变形不超过 一定范围。稳定性(stability)：外力(压力)作用下，保 持其原有平衡形态。一、材料力学基本任务强度：构件在外力作用下不发生断裂或塑性变形Tacoma大桥（美国华盛顿州，1940）刚度：构件在外力作用下变形不超过 一定范围稳定性：构件在外力作用下，保持其原有平衡形态钢板尺：一端固定一端自由P经济要求：安全与经济之间存在矛盾如何解决？材料力学的任务： 在满足强度、刚度和稳定性的要求下，以最经济的

3、代价设计构件、校核构件。力学模型工程问题数学模型结果模型修正关键：力学模型的建立例：建立力学模型问题：机械中的传动轴，允许的最大挠度在轴承间距的万分之五，最大扭转角小于0.51o/m。研究运动时：这么小的变形可以忽略不计，认为传动轴是刚体；研究变形时：小的变形不能忽略，即可变形固体。二 、 (可)变形固体及其基本假设理论力学：研究刚体(抽象化概念)材料力学：研究（可）变形固体（可）变形固体: 构件是由固体材料制成的， 固体在外力作用下要变形， 故称为（可）变形固体。材料力学中对变形固体所作的基本假设1、连续性假设 认为物质毫无空隙地充满了物体 的几何空间，结构是密实的。2、均匀性假设 物体内任

4、两点物质构成与性质完 全相同。3、各向同性假设 材料内各点沿着任意方向的性质 完全相同。4、小变形假设 最大变形量远小于构件的最小尺寸。 在研究构件的平衡和运动时按变形前的原始尺寸进行计算，以保证问题在几何上是线性的。在求某一小变形值时，其高阶小量就可舍去。P12P 材料力学中是将实际材料看作均匀、连续和各向同性的(可)变形固体，并且只限于在弹性变形和小变形条件下进行研究。三、杆件变形的基本形式杆件: 一个方向的尺寸远大于其它两个方向 的尺寸的构件纵向:长的一个方向横向:短的两个方向轴 线：所有横截面形心的连线横截面：垂直于轴线方向的截面 横截面和轴线是相互垂直的直 杆：轴线为直线等直杆：轴线

5、为直线，横截面相同曲 杆：轴线为曲线变截面杆：横截面变化杆件的四种基本变形形式： 1、轴向拉伸或压缩变形 受力特点：杆受一对大小相等，方向相反的纵 向力，力的作用线与杆轴线重合。变形特点： 相邻截面相互离开(或靠近)FF2、剪切变形受力特点：杆受一对大小相等，方向相反的横向力作用，力的作用线靠得很近。变形特点： 相邻截面相对错动。PP 3、扭转变形受力特点： 杆受一对大小相等，方向相反的力偶，力偶作用面垂直于杆轴线。变形特点：相邻截面绕轴相对转动。mm4、弯曲变形受力特点：杆受一对大小相等，方向相反的力 偶作用，力偶作用面是包含(或平行) 轴线的纵向面。变形特点：相邻截面绕垂直于力偶作用面的轴

6、 线作相对转动。mm注意： 在扭转变形和弯曲变形中，外力偶作用面方位是不同的。 工程中常用构件在荷载作用下的变形，大多为上述几种基本变形形式的组合，纯属一种基本变形形式的构件较为少见。但若以一种基本变形形式为主，其它属于次要变形的，则可按这种基本变形形式计算。若几种变形形式都非次要变形，则属于组合变形问题。材料力学的回顾与展望 萌芽时期 远在公元前二千多年前，中国和世界其他文明古国就开始建造有力学思想的建筑物、简单的车船等。中国在隋时(公元591599年)建造的赵州石拱桥，已蕴含了杆、板、壳体设计的一些基本思想。 发展时期 实践经验的积累和17世纪物理学的成就，为其发展准备了条件。在18世纪，

7、制造大型机器、建造大型桥梁和大型厂房这些社会需要，成为发展的推动力。 英国的胡克于1678年提出：物体的变形与所受外载荷成正比，后称为胡克定律；伯努利在17世纪末提出关于弹性杆的挠度曲线的概念；欧拉于1744年建立了受压柱体失稳临界值的公式，又于1757年建立了柱体受压的微分方程，从而成为第一个研究稳定性问题的学者。库仑在1773年提出了材料强度理论，他还在1784年研究了扭转问题并提出剪切的概念。 法国的柯西于1822年给出应力和应变的严格定义。柯西提出的应力和应变概念，对后来数学弹性理论，乃至整个固体力学的发展产生了深远的影响。 1855年，法国的圣维南提出了有名的圣维南原理；英国的麦克斯

8、韦在1864年对只有两个力的简单情况提出了功的互等定理；意大利的卡斯蒂利亚诺于1873年提出了卡氏第一和卡氏第二定理；德国的恩盖塞于1884年提出了余能的概念。 二次世界大战以后的时期，固体力学的发展有两个特征：一是有限元和电子计算机得到广泛应用；二是出现了两个新的分支：断裂力学和复合材料力学。 1、根据均匀性假设，可认为构件的（ ）在各点处相同。A、应力B、应变C、变形D、材料的弹性常数D 请您思考：2、测试桥梁上混凝土的抗压强度时，可用取芯法，取出一小圆柱体在试验机上试验。取芯时，主要考虑的假设为（ ）。A、 均匀性和连续性B、 均匀性和各向同性C、 各向同性D、 连续性A 3、关于合理的

9、构件，最好的说法为（ ）。A、在外力作用下不破坏。B、在外力作用下，变形不超过一定范围。D、满足强度、刚度和稳定性的要求下，既经济又安全。C、在外力作用下，保持其原有平衡形态。D 4、一圆截面钢杆受一对平衡力偶作用，关于杆的变形正确说法为（ ）。A、不变形B、弯曲变形C、扭转变形D、弯曲或扭转变形DFF剪切（shearing）扭转（torsion）弯曲（bending）二、轴向拉伸、压缩及剪切(Axial tension,compression and shearing)1. 拉压内力、轴力图 轴向拉伸或压缩：直杆、承受轴向外力 变形纵向伸长或缩短（1）内力的概念外力作用引起的、内部的互相作用

10、力实际内力的改变量分布内力系的合力或合力偶（2）求内力的方法截面法 将内力转化为外力来求解（2）求内力的方法截面法 将内力转化为外力来求解mm截断mm等效平衡（3）拉压杆的内力轴力（axial force)沿轴线方向表示轴力沿杆截面位置的变化：x轴力方程轴力图轴力最大值2. 拉压应力（stress) 内部力在截面上的变化（1）应力的概念点上的力M面积A上的平均应力截面m-m上点 M处的总应力表示分布内力系的集度分量：法向分量 正应力(normaol stress)，外法线方向为正 切向分量 切应力(shear stress)， 顺时针方向为正单位：Pa ,分析杆件变形的规律由几何关系 点变形的

11、变化情况由物理关系 点应力的分布由等效关系 内力表示的应力（2）求应力的方法（3）拉压杆横截面上的应力拉伸试验变形规律：轴线伸长保持直线、 横截面平 移、保持平面且垂直于轴线平面假设轴向伸长均匀材料的均匀性假设 正应力均匀分布abcdabcdFFF同向分布力系 的合力为轴力FN等直杆危险截面、危险点思考：拉压杆横截面上无切应力例2-1 等直杆，受力如图示，圆截面直径为d。试求:(1)作轴力图，(2)最大正应力。 解: (1)求轴力截面法 CD段:BC段:aaaABCDF2F2FFN12FDFN12FD2FCAB段:轴力图:(2)求应力横截面积CD段中正应力最大:2FFN3D2FCFBF2FAB

12、CD例2-2 立柱AB段横截面面积为A，BC段横截面面 积为2A，长度ABBCL，材料质量密度为。 试求:(1)作轴力图，(2)最大正应力。ABCq1q2解:(1)荷载自重：线分布力均匀 AB段：轴力：AB段，；BC段：BC段，(2)最大正应力在截面C上(注意：静力学等效的限制!)练习：P44 习题23（4）拉压杆斜截面上的应力类似地分析轴向伸长均匀总应力均匀分布分量：同一点不同方位截面上的应力变化 应力状态 （state of stress)Fc dFa bF拉压杆中点的应力状态：=0时，最大，=45时，最大， 正应力最大的截面与切应力最大的截面成45 各截面上的应力由横截面上的正应力0 完

13、全确定单向应力状态（5）特殊情况拉压杆横截面上的正应力公式及均匀分布结论 在外力作用点附近往往不正确圣维南原理（Saint-Venants principle）拉压杆横截面上的正应力公式及均匀分布结论 在横截面突然变化处不太正确 应力集中应力集中因数F3. 拉压变形（deformation）（1）正应变的概念线段x 的平均正应变点o处沿x 轴方向的正应变(normal strain)相应于正应力的变形符号：伸长正 ；压缩负ooAxx+xxoyCxzxxAB（2）拉压杆的正应变纵向正应变等直杆、两端承受轴向外力 与 的符号相反思考：空心圆截面杆的横向正应变 拉压杆的体积变化FF正应变沿轴线方 向

14、不变横向正应变 在横截面上均匀分布（3）正应变与正应力的关系虎克定律(Hookes law)拉压试验：应力不超过比例极限时，结论：正应变与正应力成正比 比例常数E弹性模量反映材料抵抗弹性变形的能力单位：Pa，1GPa=109Pa横向正应变与纵向正应变成比例比例常数横向变形因数或泊松(Poisson)比上述两个比例关系成立的应力条件：单向应力状态， 线弹性范围内 材料E低碳钢200210GPa0.240.28铸刚60162GPa0.230.27混凝土15.236GPa0.160.18弹性常数E、值 表2-1同一材料制成的拉压杆，正应变随截面位置的变化 由正应力确定拉压杆的变形程度：横向 0 伸长

15、，L 1（2）强度条件n 值：1.52.2 塑性材料, 3.05.0脆性材料许用应力 表 2-2 材料 拉 压 低碳钢 170MPa 170MPa 铸铁 44MPa 44MPa 混凝土 0.5MPa 0.8MPa强度计算的问题：注意：拉伸与压缩许用应力不同的问题思考：杆件强度与结构强度的关系 杆件强度与结构强度计算的异同校核 满足，否则不满足截面尺寸许用载荷例2-9 同前例2-1。试求： (1)许用应力为时，校核杆的强度； (2)已知F、 时，选择圆杆的直径； (3)已知d、 时，确定许用荷载。解: 轴力图如前，危险截面在CD段中，最大正应力(1)当 时，满足强度条件；反之，不满足 (2)强度

16、条件(3)强度条件例2-10 简易支架，杆AC由两根807等边角钢组成， 杆AB由两根10号工字钢组成，许用应力 170MPa，受力F50kN。 试求:(1)校核强度；(2)选择合理型钢； (3)确定许用荷载。1mCB30AF解: (1)节点A的平衡：解得： xyFFN1FN2A查表得截面积：杆的正应力满足强度条件(2)合理截面杆AC可选用两根503等边角钢，杆AB用工字钢不合理，可选用其它型钢。(3)许用载荷思考: 如何使强度合理化，1 2 ？ 1)选择杆截面，2) 调整结构，如夹角，3)用不同材料 思考：P43- 2-7,10,11练习：P48- 习题2-24,278. 连接件剪切的强度（

17、1）剪切强度条件连接件 螺栓、铆钉等，体积小、应力与变形复杂可能的失效形式 剪切、挤压松动近似的强度条件：剪切面 As 剪力 FsFFFsAsFFbsFAbs（2）挤压强度条件挤压面，计算挤压面积 Abs，挤压力Fbs例2-11 拉杆头部直径D=32mm，h=12mm，d=20 mm，=100MPa，bs=240MPa。试校核其强度。解: 剪切： 挤压：满足强度条件。注：通常还需校核杆的强度hdDF=50kN例2-12 矩形截面杆由榫接头连接，b250 mm，F50kN，=1MPa，bs=10 MPa。 试求接头尺寸l与a。解: 剪切：挤压：blalFF取l200mm，a20mmDF搭接强度分

18、析：压环式保险器的强度练习：P290- 8-22 , 23 , 25FFF轴力图对称布置受力偶作用FFoMeMeoF1a1（3）连接组的剪切作用力第二章 拉伸、压缩与剪切力学性能(机械性质)：材料在外力作用下表现出的变形、破坏等方面的特性 试件 先在试样中间等直部分上划两条横线这一段杆称为标距 l (original gage length).l = 10d 或 l =5d dl标距国家标准金属拉伸试验方法（GB228-2002） 实验条件国家标准金属拉伸试验方法（GB228-2002）（1） 常温: 室内温度（2） 静载: 以缓慢平稳的方式加载第二章 拉伸、压缩与剪切2-1 轴向拉伸与压缩的

19、概念和实例2-2 轴向拉伸或压缩时横截面上的内力和应力2-3 直杆轴向拉伸或压缩时斜截面上的应力2-4 材料拉伸时的力学性能2-5 材料压缩时的力学性能2-7 失效、安全因素和强度计算2-8 轴向拉伸或压缩时变形2-9 轴向拉伸或压缩的应变能2-10 拉伸、压超静定问题2-11 温度应力和装配应力2-12 应力集中的概念2-13 剪切和挤压实用计算第二章 拉伸、压缩与剪切2-1 轴向拉伸与压缩的概念和实例1概念轴向压缩：轴向缩短，横向变粗。轴向拉伸：轴向伸长，横向缩短。第二章 拉伸、压缩与剪切第二章 拉伸、压缩与剪切2实例第二章 拉伸、压缩与剪切第二章 拉伸、压缩与剪切第二章 拉伸、压缩与剪切

20、2-2 轴向拉伸或压缩时横截面上的内力和应力指由轴向拉力或压力作用所引起的、横截面两侧部分之间相互作用力系的合成。1轴向拉伸或压缩时横截面上的内力（轴力）FFmmFmmF2、轴力的正负规定: FN0FNFNFN bL，铸铁抗压性能远远大于抗拉性能，断裂面为与轴向大致成45o55o的滑移面破坏。2. 铸铁压缩第二章 拉伸、压缩与剪切思考题用这三种材料制成同尺寸拉杆，请回答如下问题：三种材料的应力应变曲线如图，123se第二章 拉伸、压缩与剪切哪种塑性最好？哪种强度最好？哪种刚度最好？失效：由于材料的力学行为而使构件丧失正常功能的现象。脆性材料拉max= u拉= b拉塑性材料max= u= s拉压

21、构件材料的失效判据：脆性材料压max= u压= b压第二章 拉伸、压缩与剪切2-7 失效、安全因数和强度计算I. 材料的拉、压许用应力塑性材料： 脆性材料：许用拉应力 其中，ns对应于屈服极限的安全因数其中，nb对应于拉、压强度的安全因数第二章 拉伸、压缩与剪切 许用压应力 II. 拉(压)杆的强度条件其中：smax拉(压)杆的最大工作应力；s材料拉伸(压缩)时的许用应力。第二章 拉伸、压缩与剪切. 强度计算的三种类型 (3) 许可荷载的确定:FN,max=As (2) 截面选择： (1) 强度校核：第二章 拉伸、压缩与剪切例2-7-1 已知一圆杆受拉力P =25 k N ，许用应力 =170

22、MPa ，直径 d =14mm，校核此杆强度。解： 轴力：FN = P =25kN应力：强度校核：结论：此杆满足强度要求，能够正常工作。第二章 拉伸、压缩与剪切例2-7-2 图示三角架，杆AC由两根80 mm 80 mm7 mm等边角钢组成，杆AB由两根10号工字钢组成。两种型钢的材料均为Q235钢，s=170 MPa。试求许可荷载F。第二章 拉伸、压缩与剪切(拉)（压）第二章 拉伸、压缩与剪切计算各杆的实际轴力的表达式由型钢表查出相应等边角钢和工字钢的横截面面积杆AC的横截面面积：杆AB的横截面面积：第二章 拉伸、压缩与剪切p395p408计算各杆的许可轴力由强度条件 ；得各杆的许可轴力：故

23、根据强度条件列不等式例2-7-3 试选择图示桁架的钢拉杆DI的直径d。已知：F =16 kN，=120 MPa。第二章 拉伸、压缩与剪切DI钢拉杆所需面积和直径：由于圆钢的最小直径为10 mm，故钢拉杆DI采用f10圆钢。解:第二章 拉伸、压缩与剪切例题2-7-4 已知三铰屋架如图，承受竖向均布载荷，载荷的分布集度为：q =4.2kN/m，屋架中的钢拉杆直径 d =16 mm，许用应力=170M Pa。试校核钢拉杆的强度。钢拉杆4.2mq8.5m第二章 拉伸、压缩与剪切下雨解：q钢拉杆8.5m4.2mRARBHA第二章 拉伸、压缩与剪切 应力：强度校核与结论：此杆满足强度要求，是安全的。 局部

24、平衡求 轴力： qRAHARCHCFN第二章 拉伸、压缩与剪切例2-7-5 D=350mm，p=1MPa。螺栓 =40MPa，求螺栓直径。每个螺栓承受轴力为总压力的1/6解：油缸盖受到的力根据强度条件即螺栓的轴力为得即螺栓的直径为第二章 拉伸、压缩与剪切例2-7-6 图示空心圆截面杆，外径D20mm，内径d15mm，承受轴向荷载F20kN作用，材料的屈服应力s235MPa，安全因数n=1.5。试校核杆的强度。 解：可见，工作应力小于许用应力，说明杆件安全。FFDd第二章 拉伸、压缩与剪切三、扭转（Torsion） 1. 扭转内力、扭矩图扭转：直杆、承受垂直于杆轴线平面内的力偶 变形横截面绕杆轴

25、相对转动截面法：外力为平行平面的力偶系内力也是力偶 M1M2MnmmM1M2Tmm T 作用面垂直于杆件扭转杆的内力扭矩（torsional moment）符号：外法线方向正；内法线方向负表示扭矩沿杆截面位置的变化：扭矩方程 T=T ( x )扭矩最大值 | T | max扭矩图xTO2. 扭转应力、强度条件 切应力在截面上的变化（1）切应力与切应变、剪切虎克定律符号：随切应力而定mx y 平面内x、y方向的平均切应变点o处xy平面x、y方向的切应变(shear strain)相应于切应力的变形oyxxoyyxzz单元体上的切应力切应力互等定理剪切试验：在线弹性范围内，剪切虎克定律切变模量，反

26、映材料抵抗弹性剪切变形的能力单位：Pa，GPa（2）扭转杆横截面上的应力扭转试验变形规律：轴线保持直线不变 横截面绕轴线相对转、 保持平面且垂直于轴线截取微段x：切应变平面假设abcdabcd圆截面直杆bdxeTT+TdbMeMe内部点e的切应变剪切虎克定律(线弹性)横截面上的切应力垂直于半径，沿半径线性分布，在同一圆周上大小相同横截面上点在切平面内的切应变沿半径线性变化，在同一圆周上大小相同 切应力oT共面旋转力系 的合力偶矩为扭矩 TIp极惯性矩，取决于截面尺寸，单位：m4危险截面、危险点外圆周上最大切应力扭转截面系数，单位：m3切应力圆截面：空心圆截面：薄壁圆环截面：思考：扭转圆杆横截面

27、上无正应力与径向切应力odDodD例3-1 圆轴，n=300r/min，功率P1=500kW，P2= 150kW，P3=150kW，P4=200kW。试作扭矩图。BCADM2M1M4M36.37扭矩图(kNm)9.564.78解: 截面法 BC段： CA段：AD段： 扭矩图如上， ，AC段中若交换轮 A与D的位置，则最大扭矩将出现在AD段， = 15.93kNm，不合理。例3-2 钻杆，P10kW，n180r/min，土深l40m，阻力为均布力偶。试求扭矩图。解: 主动力偶阻力偶集度 扭矩扭矩图如上 土上表面处杆的扭矩最大mMel0.531kNm扭矩图（3）扭转杆斜截面上的应力应力状态分析：

28、取单元体斜截面上的应力 、xoyyxzzoyxnt极值应力：两对相互垂直面上只有切应力， 且大小相等达到极值两对相互垂直面上只有正应力， 且大小相等达到极值45mintmax45正应力最大的截面与切应力最大的截面成45各截面上应力由横截面上的切应力 完全确定纯剪切应力状态思考：纯剪切应力状态与扭转杆的关系（4）强度条件圆截面直杆 各点处于纯剪切应力状态取决于试验确定u 考虑安全性 n得到许用切应力强度计算的问题：校核max 满足，否则不满足许用载荷 T Wp 强度条件截面尺寸例3-3 同例3-2，钻杆外径D60mm，内径d =50mm，G=80GPa，=40MPa。试校核强度。解: 扭矩图如前

29、上端最大扭矩外圆周上最大切应力满足强度条件。注意：截面、扭矩变化时，需分别进行强度计算 合理截面，高Wp，空心材料远离形心思考：P82- 3-2,3,4,6练习：P84- 习题3-1,123. 扭转变形、刚度条件、应变能（1）扭转杆的变形圆截面直杆，横截面上点在切平面内的切应变圆杆扭转变形 横截面相对转动单位长度扭转角(angle of twist)两端截面的相对扭转角G、Ip、T 为常数时，G、Ip、T 分段为常数时，GIp 扭转刚度思考：扭转杆的体积变化（2）刚度条件保证扭转杆的正常工作 限制变形t 许可单位长度扭转角，单位： 刚度计算的问题： 校核、选择截面尺寸、确定许用荷载安全有效 同

30、时考虑强度+刚度思考：一般情况下刚度条件比强度条件更严格刚度条件例3-4 同例3-2，试求最大单位长度扭转角，两端截面相对扭转角。解: 扭矩图如前。 上端面 刚度校核 选择截面 许用荷载?例3-5 等直圆杆，d=40mm，a=400mm，G=80GPa， DB=1。试求max，AD 。0解: 截面法扭矩图如上。相对扭矩角 解得 Me=877NmAMeBCDMeMeaa2aMeMe 最大扭矩DC段与BA段危险截面 最大切应力外圆周上危险点 相对扭转角：（3）扭转杆的应变能外力偶作功转化为应变能 V=W单位体积的应变能 应变能密度单元体的应变能xoyyxzzo功扭转杆的应变能适用的应力条件：G、I

31、p、T 为常数时，G、Ip、T 分段为常数时，思考：比较杆扭转与拉压时的应变能及其表达式纯剪切应力状态，线弹性范围内例3-6 同例3-2试求杆的应变能。解: 扭矩方程 T=-mx 思考：P83- 3-5，8，9练习：P85- 习题3-5，15，20应变能：4. 非圆截面杆的扭转非圆杆扭转变形的特征横截面翘曲平面假设不成立两种扭转：自由扭转；约束扭转自由扭转矩形截面hbmaxmaxMeMe5. 截面的几何性质（1）静矩与形心截面A对于y与z轴的静矩（first moment of area）可正可负，单位：m3用形心的坐标表示轴过形心静矩为零ozycdAzy（2）极惯性矩、惯性矩、惯性积截面A对

32、于点o的极惯性矩 非负，单位：m4截面A对于y与z轴的惯性矩(second moment of area)惯性矩与极惯性矩的关系截面A对于y与z轴的惯性积可正可负，y轴或z轴过形心惯性半径常用截面的几何性质附录（3）平行移轴公式、组合截面法坐标关系惯性矩惯性积注意：形心坐标a与b可正可负ozycdAzyycyczczc组合截面法：截面A分割成n个子截面Ai之和惯性矩静矩（4）转轴公式、主惯性矩坐标关系惯性矩惯性积和的不变性ozyz1dAzyz1y1y1极值主惯性轴y0与z0主惯性矩最大最小形心主惯性轴 形心主惯性矩思考：正方形与正三角形对于形心轴的静矩与惯性矩例I-1 计算图示截面的形心主惯性

33、矩。分析:(1)确定形心 基本坐标Oyz，组合法形心oyz1zczcy1a1b1b2a2yc0(2)形心轴惯性矩(积)形心轴Cyczc组合法平行移轴(3)确定主惯性矩轴形心主惯性轴Cy1z1 (存在对称性，可直接确定Iy1z1=0 )(4)形心主惯性矩对应关系由转轴公式确定。 Iy1z1=0 思考：P337- I-1, 2, 3, 4, 5, 6 习题 I-6, 7练习：P338- 习题I-1(b，d), 4, 13(a), 14, 17, 20(a) 1. 横截面变形后仍为平面； 2. 轴向长度不变（斜线比直线长了，这不是轴向伸缩吗？不是） 3. 横向线长度不变。 所以各面均无正应变和正应力

34、。3-4 圆轴扭转时的应力一、等直圆杆扭转实验现象 第三章 扭 转二、等直圆杆扭转时横截面上的切应力：1. 变形几何关系：取dx微段2. 物理关系：3. 静力学关系：TOdA横截面上距圆心为处任一点剪应力4.横截面上最大剪应力： 三、扭转杆件的强度条件强度计算三方面： 校核强度： 设计截面尺寸： 计算许可载荷：例3-4-1：功率为150kW，转速为15.4转/秒的电动机转子轴如图，许用剪应力 =30M Pa, 试校核其强度。解：求扭矩及扭矩图计算并校核剪应力强度此轴满足强度要求。例3-4-2：一厚度为30mm、内直径为230mm 的空心圆管，承受扭矩T=180 kNm 。试求管中的最大剪应力，

35、使用： (1)当做薄壁圆筒，用近似理论（认为均匀）求解； (2)精确的扭转理论（认为不均匀）求解。解：(1) 利用薄壁圆筒的近似理论可求得(2) 利用精确的扭转理论可求得例3-4-3：某汽车主传动轴，传递扭矩T=1.98kNm，t=100MPa，若采用空心轴，=0.5，试确定最小外径。若采用实心轴，最小外径为多少？实心轴与空心轴相比，那种设计更省材料？ 解：3-5 圆轴扭转时的变形一、扭转时的变形由公式知：长为 l一段杆两截面间相对扭转角 为对于阶梯轴，两端面间相对扭转角 为二、扭转角变化率 ：三、刚度条件GIp 抗扭刚度，表示杆抵抗扭转变形能力的强弱。 称为许用单位扭转角。刚度计算的三方面：

36、 校核刚度： 设计截面尺寸： 计算许可载荷：例3-5-1：图示圆截面轴AC，承受外力偶矩MA， MB与MC 作用，试计算该轴的总扭转角AC(即截面C对截面A的相对转角)，并校核轴的刚度。 已知MA180Nm， MB320 N m， MC140Nm，I3.0105mm4，l=2m，G80GPa，0.50m。解：1扭转变形分析利用截面法，得AB段、BC段的扭矩分别为：T1180 Nm， T2-140 Nm设其扭转角分别为AB和BC，则： 各段轴的扭转角的转向，由相应扭矩的转向而定。 由此得轴AC的总扭转角为 2 刚度校核 该轴为等截面轴，而AB段的扭矩最大，所以，应校核AB段轴的扭转刚度。AB段的

37、扭转角变化率为：可见，该轴的扭转刚度符合要求。 例3-5-2：长度 L=2m 的空心圆杆受均布力偶 m=20（Nm）/m 的作用，如图，若杆的内外径之比为 =0.8 ，G=80GPa ，许用剪应力=30MPa。试（1）用强度计算公式设计杆的外径；（2）若 =2/m ，试校核此杆的刚度，并求右端面转角。用强度计算公式设计杆的外径代入数值得：D 0.0226m。40Nm解：轴的扭矩图：右端面转角为： 由扭转刚度条件校核刚度作业：3.2 3.5 3.7同学们交作业时，一定要按学号顺序排列。以防老师登记作业信息时出错。四、弯曲应力（Bending stress） 1. 弯曲内力、剪力图与弯矩图（1）弯

38、曲的基本概念弯曲：直杆，承受包含杆轴线纵向平面内的力偶 或横向力梁(beam) 弯曲为主要变形的杆件平面弯曲 变形后轴线在外力作用面内对称弯曲 外力作用在纵对称面内，变形后轴线 也在其中变形 轴线由直线变成曲线，横截面相应转动纵对称面静定梁简图：简支梁悬臂梁外伸梁对称轴变形后轴线MeFAFBF1F2AB平面弯曲 变形后轴线在 外力作用面内对称弯曲 外力作用在纵对 称面内，变形后 轴线也在其中（2）求解弯曲内力截面法：外力为平面一般力系Fs垂直与杆轴M作用面位于外力所在纵向平面平面弯曲梁的内力剪力与弯矩(shear and bending moment)剪力：顺时针的矩正；逆时针的矩负弯矩：下侧

39、受拉正；上侧受拉负 mm内力上该面内的力与力偶FnF1F2FsF1MmmC 符号：表示剪力与弯矩沿梁截面位置的变化：图线始终在受拉侧剪力最大值 | Fs | max ，弯矩最大值 | M | max剪力图oxFs弯矩图oxM剪力方程弯矩方程例4-1 悬臂梁，集中力F。试作剪力与弯矩图。xLAFBAFFSMF剪力图FL弯矩图解：截面法 ，内力方程：例4-2 简支梁，均布荷载q，AB=L。 试作剪力和弯矩图。qAB剪力图弯矩图例4-3 简支梁，集中力F，AC=a，BC=b，AB= L。 试作剪力与弯矩图。FABC剪力图弯矩图例4-4 简支梁，集中力偶Me，AC=a，BC= b， AB=L。试作剪力

40、与弯矩图。MeABC思考：P139- 4-1, 8 习题4-1(b,c,h)练习：P142- 习题4-2(c,h)剪力图弯矩图（3）内力变化的规律平衡剪力等于零处弯矩达到极值积分F1F2xyq(x)qdxFsFs+dFsMM+dM剪力图上无变化均布力q无力F集中力Me集中力偶剪力图上斜直线弯矩图上抛物线剪力图上水平线弯矩图上直线剪力图上有突变弯矩图上有尖角弯矩图上有突变Me例4-5 试作简支梁得内力图。FABCFDaalFa弯矩图解：q=0，水平直线反力 FA=F，AC段：FSF，CD段： FS =0AC段： FS0，斜直线，MC=FaBC段： FS=0，水平直线，M=Fa对称注：CD段，M为

41、常数(FS=0)，纯弯曲FF剪力图反对称例4-6 试作组合梁的内力图。qF=qaCBDAaaaqaqaCB剪力图解：反力: AC段：q0，斜直线，FSC=-qaBC段： q=0，水平直线，B处:集中力，跳跃BD段： q=0，水平直线，D处:集中力F，跳跃A处，集中力偶MA，跳跃。 AC段: q E2，弯矩为M。试求弯曲正应力。yzA1A2E1E2解: 几何分析: 当交接面未脱离错动时，组合截面相 当于单一截面平面假设仍成立 正应变线性变化 物理分析:对于纯弯曲，在线弹性范围内，胡克定律成立。但不同材料具有不同的弹性模量平衡分析：等效关系不变12M思考：矩形A1= A2情况， 形组合截面情况4.

42、 梁横截面上的切应力、切应力强度条件（1）切应力矩形截面梁假设：切应力平行侧边(y轴)，等高处(同y值)切应力相等qF1F2x截取一层xyzdFsoA*F*N1F*N2截取微段xyzFsbhdxoy静矩平衡切应力矩形截面梁横截面上点的切应力方向与剪力相一致，大小沿高度按抛物线变化，在上下层处为零在中性层上达到最大maxFs薄壁圆环截面梁假设：切应力与圆周相切， 大小沿壁厚不变中性层上切应力最大oyzmaxFs圆截面梁假设：等高处切应力汇交于点o， 沿y方向的分量相等中性层上切应力最大oyzoFs工字形截面梁腹板上的切应力：方向与Fs一致，大小按抛物线变化中性层上达到最大max 接近min翼缘上

43、y方向的切应力较小翼缘上z方向的切应力：方向沿z轴，大小基本上线性变化maxyzmin1Fs上下翼的切应力方向相反FS1FS1yCzAeFS切应力的合力：力FS 力偶(FS1,Fs1) 扭转薄壁梁特征 无扭转(无力偶)剪力FS经过点AA弯曲中心思考：弯曲中心与形心的关系 将槽形截面梁转过90放置又如何 如何避免弯曲时的扭转，使弯曲中心与形心一致（2）强度条件梁平面弯曲时横截面上的最大切应力 一般在中性层处最大切应力点处于纯剪切应力状态 取决于试验确定n 考虑安全性 n 得到许用应力强度计算的问题：校核、选择截面尺寸、确定许用荷载特别是弯矩较小而剪力较大的情况强度条件梁的安全 同时考虑正应力强度

44、+切应力强度注意：max截面并不等同于max截面同一截面上的max点与max点不在一处思考：截面上两部分面积相等与静矩大小相等的关系中性轴将截面分割成静矩大小相等的两部分， 但面积不一定相等例4-17 悬臂梁长L=1m，由三根木杆胶合而成，木杆的宽与高分别为b=100mm，a=50mm。受力F= 3kN，许用应力=10MPa，=1MPa，胶合处1=0.35MPa。试校核梁强度。FLABzyb3aFFL解：假设胶合处未脱离， 切应力：各截面FS=F假设成立中性层处切应力：满足切应力强度条件上下层处正应力：固定端截面Mmax=FL满足正应力强度条件思考：F增加，、1、 哪个先达到许用值？ 如何改善

45、 如何进行截面选择、许用荷载计算。思考：P140- 4-15, 16, 18 习题 4-35练习：P154- 习题4-48，52（1）合理配置荷载与支座5. 梁的合理强度设计增加辅梁 分散集中力作用 降低最大弯矩适当设置支座 合理跨长 降低最大弯矩使截面积远离中性轴提高弯曲截面系数（2）合理选取截面形状（3）合理设计外形比较：圆截面 矩形截面矩形截面平放 矩形截面竖放矩形截面 工字形截面注意：塑性材料 关于中性层对称脆性材料关于中性层不对称按弯矩的变化确定横截面的变化使各截面上的最大应力接近许用值等强度梁鱼腹梁五、弯曲变形（Bending deformation）1. 挠度与转角梁平面弯曲挠度

46、(deflection)横截面形心（轴上点）的横向 线位移 w转角 (angle of rotation) 横截面形心的纵向线位移横截面相对原位置的角位移小量，可略去AyxBFw位移随截面位置的变化挠度方程挠曲线挠度与转角的关系梁小变形由挠度确定转角方程思考：w、 的正负与梁的变形关系2. 挠曲线微分方程及其积分基于前面梁平面弯曲的假设：线弹性、大跨高比、 不计剪力影响等M决定的正负曲率几何描述挠曲线微分方程oyxM0 0 w0MMoyxM0 0MM积分支座约束条件：小变形假设挠曲线近似微分方程转角挠度悬臂梁 固定端A铰支AA悬臂梁，长L，惯性矩I，弹性模量E，受力F。试求挠度与转角方程。AB

47、Fyx解：挠曲线微分方程积分得例5-1.弯矩方程边界条件挠度转角最大值荷载不连续（如集中力作用）时，弯矩为分段函数挠曲线微分方程多个不同形式多组积分常数需利用连续性条件为便于确定分积分常数，保留弯矩方程中共同部分的一致形式等直梁弯曲刚度思考：弹性支座的约束条件EIz简支梁，长L，弯曲刚度EI，受力F，ACa，BCb。试求挠度与转角方程。FABCxy解：弯矩方程：例5-2.反力挠曲线微分方程积分得连续性条件边界条件挠度与转角思考：P175 5-1, 2, 3练习：P177 习题5-3, 8, 10 最大值:中点，两端时，中点偏右，右端时，3. 叠加原理梁承受多个荷载时，截面法的平衡关系确定弯矩小

48、变形弯矩与各外力成线性关系挠曲线微分方程确定挠度与转角线弹性、小变形挠度、转角与弯矩成线性关系挠度、转角与各外力成线性关系挠度与转角等于各外力单独作用结果之和叠加原理静定梁在简单荷载作用下的变形附录简支梁，受两个横向力F，ADDCCE= EBa，弯曲刚度EI。试求中点C的挠度。结构变形对称弯矩与力成比例，可分成各力单独作用结果之和。弯矩：反力例5-3.FABEFDC解：方程：挠度与弯矩，从而与力成比例，也可分成各力单独作用结果之和。注意：EI变化时又将如何？挠度公式中F、EI、L 的对应关系解：均布力作用：qFABC集中力作用：例5-4.外伸梁，BC2ABL，刚度EI，受力F qL，均布力q。

49、试求截面A的挠度与转角。12悬臂梁 AB受 F 简支梁 BC受叠加法：叠加：4. 梁的刚度条件、提到刚度的措施（1）刚度条件 保证梁的正常工作 限制变形刚度条件许可挠度与跨度之比许可转角刚度计算的问题：校核、选择截面尺寸、确定许用荷载安全有效同时考虑强度（正应力与切应力）+刚度（2）提高刚度的措施积分得w、提高弯曲刚度选用高弹性模量材料使截面积远离中性轴缩短跨长移动或增设支座思考：一般情况下三个安全性条件严格程度的关系5. 梁弯曲时的应变能外力与外力偶作功转化为应变能小变形、线弹性 只在 上、 只在 上作功单元体的应变能xoyxzzo () ()功应变能密度弯曲应变密度剪切应变能密度梁的弯曲应

50、变能E、Iz、M为常数时，E、Iz、M分段为常数时，E、Iz、M为分段函数时，梁的剪切应变能一般情况下梁的弯曲应变能比剪切应变能大得多思考：计算应变能的叠加法 比较矩形截面悬臂梁自由端承受横向外力时的 弯曲应变能与剪切应变能悬臂梁，长L，弯曲刚度EI，受力F。试求弯曲应变能与自由端挠度。ABFx解：应变能功能关系挠度例5-5.弯矩平面刚架，EI，ABCDBC=L，受一对力F。试求A与D的相对位移。FFABCD解：叠加法：考虑拉伸例5-6.结构变形对称，能量法：相对位移思考：P176 5-4, 5, 7, 8, 习题5-25 练习：P178 习题5-18(a), 19, 26价值：(2) 目的与

51、内容：(3) 参考书： 林祖森，“材料力学电算方法及程序”兵器工业出版社，1993.8 范钦珊，“材料力学计算机分析”，高等教育出版社，1987.5 介绍基本概念，促进分析、思考、训练，抛砖引玉 能力培养（深入学习、理解，并建立数值问题） 结构数值分析基础（建立基本概念）复杂、繁琐的问题（截面、力变化）数值方法的概念(4) 求杆基本变形的内力、应力、变形等 考虑拉压杆通过例题分析说明：外力：集中力F、分布力q内力、截面变化内力截面法应力内力、截面、材料变化基本思想：化整为零，积零成整目标：计算任意变截面直杆、任意外力作用 下的变形可推广于杆系（桁架）、刚架等（限于静定）E1，A1，L1FN1F

52、N2x1x2xoE1，A1，L1FN1FN2x1x2q1平衡，内力应力例2.平衡，内力应力例1.E1, A1, L1FN1FN3x1x2q1F2E2, A2, L2x3q2第二段：第一段（舍F2）：内力内力应力应力例3.矩阵形式：平衡方程静定：方程2，未知3，需知FN1或 FN3 ，设知FN3 F3， 可解得F则模块设计：初始化 准备（分段、编号） 初值（几何：x1, x2, x3；A1, A2；材料：E1, E2； 荷载：F2，F3；q1，q2） 主体计算 输出 形成结果，输出方式（数据文件、图、显示）思考：P175 5-1, 2, 3练习：P177 习题5-3, 8, 10建议软件：MATLAB程序设计：结构：初始化主体（解代数方程组）输出结果六、简单超静定问题(Statically indeterminate simple problems)1. 超静定问题及其解法超静定未知力数目超过独立的平衡方程数超静定次数未知力数与独立平衡方程数之差需补充的方程数超静定的根源约束过多增加变形的限制由变形协调关系确定