等差数列前项求和公式

1、等差数列前项求和公式第1页，共22页，2022年，5月20日，5点32分，星期二教学目标 探索并掌握等差数列的前n项和公式，学会用公式解决一些实际问题.第2页，共22页，2022年，5月20日，5点32分，星期二重点、难点 等差数列前n项公式推导思路的获得，及对公式的熟练应用。第3页，共22页，2022年，5月20日，5点32分，星期二导 入1+2+3+100=？（1+100）+（2+99）+（3+98）+（50+51）=10150=5050第4页，共22页，2022年，5月20日，5点32分，星期二用下面方法计算1,2,3n的前n项和倒序相加法第5页，共22页，2022年，5月20日，5点3

2、2分，星期二公式的推导所以即 sn = a1 + (a1+d)+ + a1+(n-2)d+a1+(n-1)d sn = an + (an-d)+ + an-(n-2)d+an-(n-1)d第6页，共22页，2022年，5月20日，5点32分，星期二公 式把 代入上式可得公式一：公式二：第7页，共22页，2022年，5月20日，5点32分，星期二练习：根据下列各题中的条件，求相应的等差数列an的前n项和Sn。a1=4，a8=18，n=8 sn= 88a1=14.5，d=0.7，an=32sn=604.5第8页，共22页，2022年，5月20日，5点32分，星期二典型例题例1： 2、2000年11

3、月14日教育部下发了关于在中小学实施“校校通”工程的通知.某市据此提出了实施“校校通”工程的总目标：从2001年起用10年的时间，在全市中小学建成不同标准的校园网.据测算2001年该市用于“校校通”工程的经费为500万元.为了保证工程的顺利实施，计划每年投入的资金都比上一年增加50万元。那么从2001年起的未来10年内，该市在“校校通”工程中的总投入是多少？第9页，共22页，2022年，5月20日，5点32分，星期二解：根据题意，从2001 2010年，该市每年投入“校校通”工程的经费都比上一年增加50万元，所以可以建立一个等差数列an，表示从2001年起各年投入的资金，其中a1=500， d

4、=50那么，到2010年(n=10)，投入的资金总额为s10=10500+10(101)50/2=7250（万元）答：从20012010年，该市在“校校通”工程的总投入是7250万元。 审题抽象出数学模型解答第10页，共22页，2022年，5月20日，5点32分，星期二例2： 已知一个等差数列an前10项的和是310，前二十项的和是1220。由这些条件能确定这个等差数列的前n项和的公式吗？第11页，共22页，2022年，5月20日，5点32分，星期二解：由题意知: s10=310， s20=1220将它们代入公式Sn=na1+n(n-1)d/2，得到: 10a1+45d=310 20a1+19

5、0d=1220 解这个关于a1与d的方程组，得到： a1=4， d=6所以Sn=4n+n(n-1)6/2=3n2+n.第12页，共22页，2022年，5月20日，5点32分，星期二a1=11,an=231、等差数列an中a1=20,an=54,sn=999求d及n d=1/3,n=37,sn=629 求a1及and=17/13,n=27针对训练第13页，共22页，2022年，5月20日，5点32分，星期二小结：Sn实质是一个关于a1 ，n，d或a1 ， an ， d的方程。因此对于等差数列的相关量a1 ，n，d ，an， Sn，已知其中任意三个量，根据通项公式与求和公式便可确定其他量。第14页

6、，共22页，2022年，5月20日，5点32分，星期二例3：已知数列an前n项的和为 sn=n2+(1/2)n求这个数列的通项公式。这个数列是等差数列吗？如果是，它的首项与公差分别是什么？第15页，共22页，2022年，5月20日，5点32分，星期二所以数列an的通项公式为an=2n1/2.由此可知，数列an是一个首项为3/2，公差为2的等差数列。解：根据sn=a1+a2+an-1+an 与 sn-1=a1+a2+an-1（n1）可知，当n1时， an=snsn-1 =n2+1/2n（n1)2+1/2（n1） =2n1/2 当n=1时， a1=s1=12+1/21=3/2， 也满足式。第16页

7、，共22页，2022年，5月20日，5点32分，星期二已知数列an的前n项和为 ，求这个数列的通项公式。针对练习第17页，共22页，2022年，5月20日，5点32分，星期二解：当n=1时，当n1时又n=1时所以第18页，共22页，2022年，5月20日，5点32分，星期二当n=1时a1=S1当n1时，an=Sn-Sn-1如果当n=1时an=Sn-Sn-1与a1的值相等，那么得到数列an 的通项公式为an=Sn-Sn-1，当n=1时an=Sn-Sn-1与a1的值不相等，那么数列an 的通项公式要分段表示为an=S1 n=1Sn-Sn-1 n1思考：已知前n项和Sn如何求通项an？第19页，共22页，2022年，5月20日，5点32分，星期二探 究P+q+r (n=1)2pn-p+q (n1)an=解：由上题思路可得：只有r=0时，数列an才是等差数列首项为：a1=p+q,公差为：d=2p如果数列an的前n项和是常数项为0，且是关于n的一元二次关系式，那么数列an是等差数列。第20页，共22页，2022年，5月20日，5点32分，星期二课堂小结1、学习了等差数列前