等比数列前项和公式的推导及性质

1、等比数列前项和公式的推导及性质第1页，共38页，2022年，5月20日，5点38分，星期二 引入：印度国际象棋发明者的故事（西 萨）第2页，共38页，2022年，5月20日，5点38分，星期二引入新课它是以为首项公比是的等比数列，分析：由于每格的麦粒数都是前一格的倍，共有64格每格所放的麦粒数依次为：麦粒的总数为:第3页，共38页，2022年，5月20日，5点38分，星期二请同学们考虑如何求出这个和？这种求和的方法,就是错位相减法! 如果1000粒麦粒重为40克，那么这些麦粒的总质量就是7300多亿吨。根据统计资料显示，全世界小麦的年产量约为6亿吨，就是说全世界都要1000多年才能生产这么多小

2、麦，国王无论如何是不能实现发明者的要求的。 第4页，共38页，2022年，5月20日，5点38分，星期二如何求等比数列的Sn: ，得错位相减法第5页，共38页，2022年，5月20日，5点38分，星期二1.使用公式求和时，需注意对 和 的情况加以讨论；2.推导公式的方法：错位相减法。注意：显然，当q=1时，第6页，共38页，2022年，5月20日，5点38分，星期二( q=1).(q1).等比数列的前n项和表述为：第7页，共38页，2022年，5月20日，5点38分，星期二Sn = a1 + a2 + a3 + .+ an-1 + an = a1 + a1q + a1q2 +.+ a1qn-2

3、 + a1qn-1= a1+ q ( a1 + a1q + .+ a1qn-3 + a1qn-2 )= a1 + q Sn-1 = a1 + q ( Sn an )Sn = a1 ( 1 q n ) 1 q 证法二：借助Sn-an =Sn-1 第8页，共38页，2022年，5月20日，5点38分，星期二(一) 用等比定理推导当 q = 1 时 Sn = n a1因为所以 用等比定理：证法三：第9页，共38页，2022年，5月20日，5点38分，星期二已知a1 、n、 q时已知a1 、an、 q时等比数列的前n项和公式知三求二第10页，共38页，2022年，5月20日，5点38分，星期二 (1)

4、 等比数列前n项和公式：等比数列前n项和公式你了解多少？Sn=1-q(q=1)(q=1)Sn=1-q(q=1)(q=1) (2) 等比数列前n项和公式的应用：1.在使用公式时.注意q的取值是利用公式的前提；.在使用公式时，要根据题意，适当选择公式。利用“错位相减法”推导 (3) 两个等比数列前n项和公式中任知其三可以求其二：第11页，共38页，2022年，5月20日，5点38分，星期二例1、求下列等比数列前8项的和第12页，共38页，2022年，5月20日，5点38分，星期二说明：.第13页，共38页，2022年，5月20日，5点38分，星期二例3.某商场今年销售计算机5000台，如果平均每年

5、的销售量比上一年的销售量增加10%，那么从今起，大约几年可使总销售量达到30000台(结果保留到个位)？分析：第1年产量为 5000台第2年产量为 5000(1+10%)=50001.1台第3年产量为5000(1+10%) (1+10%)第n年产量为则n年内的总产量为：第14页，共38页，2022年，5月20日，5点38分，星期二1数列2n1的前99项和为()A21001B12100C2991 D1299答案：C第15页，共38页，2022年，5月20日，5点38分，星期二2在等比数列an中，已知a13，an96，Sn189，则n的值为()A4 B5C6 D7答案：C第16页，共38页，202

6、2年，5月20日，5点38分，星期二3已知等比数列an中，an0，n1,2,3，a22，a48，则前5项和S5的值为_答案：31第17页，共38页，2022年，5月20日，5点38分，星期二4在等比数列an中，已知a1a2an2n1，则a12a22an2等于_第18页，共38页，2022年，5月20日，5点38分，星期二5设数列an是等比数列，其前n项和为Sn，且S33a3，求公比q的值第19页，共38页，2022年，5月20日，5点38分，星期二第20页，共38页，2022年，5月20日，5点38分，星期二第21页，共38页，2022年，5月20日，5点38分，星期二第22页，共38页，20

7、22年，5月20日，5点38分，星期二第23页，共38页，2022年，5月20日，5点38分，星期二第24页，共38页，2022年，5月20日，5点38分，星期二第25页，共38页，2022年，5月20日，5点38分，星期二第26页，共38页，2022年，5月20日，5点38分，星期二第27页，共38页，2022年，5月20日，5点38分，星期二第28页，共38页，2022年，5月20日，5点38分，星期二点评在求含有参数的等比数列的前n项和时，容易忽略对a1和q1的讨论，从而丢掉一种情况第29页，共38页，2022年，5月20日，5点38分，星期二题后感悟错位相减法 一般来说，如果数列an是

8、等差数列，公差为d；数列bn是等比数列，公比为q，则求数列anbn的前n项和就可以运用错位相减法第30页，共38页，2022年，5月20日，5点38分，星期二在运用错位相减法求数列的和时，要注意以下四个问题：(1)注意对q的讨论，在前面的讨论中，我们已知q是等比数列bn的公比，所以q0，但求和Sn12x3x2nxn1时，就应分x0、x1和x0且x1三种情况讨论(2)注意相消的规律(3)注意相消后式子(1q)Sn的构成，以及其中成等比数列的一部分的和的项数(4)应用等比数列求和公式必须注意公比q1这一前提条件如果不能确定公比q是否为1，应分两种情况讨论，这在以前高考中经常考查第31页，共38页，2022年，5月20日，5点38分，星期二第32页，共38页，2022年，5月20日，5点38分，星期二第33页，共38页，2022年，5月20日，5点38分，星期二第34页，共38页，2022年，5月20日，5点38分，星期二.3求和：第35页，共38页，2022年，5月20日，5点38分，星期二第36页，共38页，2022年，5月20日，5点38分，星期二第37页，共38页，2022年，5月20日，5点38分，星期二1.已知数列前n项和sn=2n-1，则此数列的奇数项的前n 项的和是 . 2.设an为等差数列，bn为等比数列， a1=b1=1,a2