简单的超静定问题

1、简单的超静定问题第1页，共42页，2022年，5月20日，16点42分，星期二第六章 简单的超静定问题6.1 超静定问题及其解法6.2 拉压超静定问题6.3 扭转超静定问题6.4 简单超静定梁第2页，共42页，2022年，5月20日，16点42分，星期二6.1 超静定问题及其解法静定结构: 仅靠静力平衡方程就可以求出结构的约束反力或内力FAB2AF1BaaC第3页，共42页，2022年，5月20日，16点42分，星期二超静定结构(静不定结构): 静力学平衡方程不能求解超静定结构的未知力的数目多于独立的平衡方程的数目；两者的差值称为超静定的次数BDCA132FaaFFCFBFABCAAFaaFF

2、FN2N3N1yxBCAD第4页，共42页，2022年，5月20日，16点42分，星期二习惯上把维持物体平衡并非必需的约束称为多余约束，相应的约束反力称为多余未知力。 超静定的次数就等于多余约束或多余未知力的数目。NOTE：从提高结构的强度和刚度的角度来说，多余约束往往是必需的，并不是多余的超静定的求解：根据静力学平衡条件确定结构的超静定次数，列出独立的平衡方程；然后根据几何、物理关系得出需要的补充方程；则可求解超静定问题。第5页，共42页，2022年，5月20日，16点42分，星期二补充方程：为求出超静定结构的全部未知力，除了利用平衡方程以外，还必须寻找补充方程，且使补充方程的数目等于多余未

3、知力的数目。根据变形几何相容条件，建立变形几何相容方程，结合物理关系（胡克定律），则可得出需要的补充方程。补充方程的获得，体现了超静定问题的求解技巧。本章节我们将以轴向拉压、扭转、弯曲的超静定问题进行说明。第6页，共42页，2022年，5月20日，16点42分，星期二6.2 拉压超静定问题例 两端固定的等直杆 AB，在 C 处承受轴向力F如图，杆的拉压刚度为 EA，求杆的支反力。解：一次超静定问题FBAFABablFC(1)力：由节点 A 的平衡条件列出杆轴线方向的平衡方程1、拉压超静定问题解法第7页，共42页，2022年，5月20日，16点42分，星期二（2）变形：变形协调条件(求补充方程)

4、可选取固定端 B 为多余约束，予以解除，在该处的施加对应的约束反力FB，得到一个作用有原荷载和多余未知力的静定结构-称为原超静定结构的基本静定系或相当系统注意原超静定结构的 B 端约束情况，相当系统要保持和原结构相等，则相当系统在 B 点的位移为零。即得变形协调条件BFFBCA第8页，共42页，2022年，5月20日，16点42分，星期二在相当系统中求 B 点的位移，按叠加原理，可得 （3） 胡克定理(物理关系)（4）得出补充方程得FB为正,表明其方向与图中所设一致.xFBCADBFxFBBADBB第9页，共42页，2022年，5月20日，16点42分，星期二例 设l，2，3杆用铰连接如图，1

5、、2两杆的长度、横截面面积和材料均相同，即l1=l2=l，A1=A2 =A ， E1= E2=E；3杆长度为l3 ，横截面面积为A3，弹性模量为E3 。试求各杆的轴力解：一次超静定问题(1)力：由节点A的平衡条件列出平衡方程BDCA132FAFaaFFFN2N3N1yx第10页，共42页，2022年，5月20日，16点42分，星期二(2)变形：变形协调条件(求补充方程)(3)胡克定理aaDlDl31B1aa32DCAA(4)得出补充方程第11页，共42页，2022年，5月20日，16点42分，星期二联立平衡方程、补充方程，求解得在超静定杆系中，各杆轴力的大小和该杆的刚度与其它杆的刚度的比值有关

6、增大或减少1、2两杆的刚度，则它们的轴力也将随之增大或减少；杆系中任一杆的刚度的改变都将引起杆系各轴力的重新分配。这些特点在静定杆系中是不存在的。第12页，共42页，2022年，5月20日，16点42分，星期二归纳起来，求解超静定问题的步骤是：(1)根据分离体的平衡条件，建立独立的平衡方程；(2)建立变形协调条件，求补充方程(3)利用胡克定律，得到补充方程；(4). 联立求解 第13页，共42页，2022年，5月20日，16点42分，星期二 例 一平行杆系，三杆的横截面面积、长度和弹性模量均分别相同，用A、l、E 表示。设AC为一刚性横梁，试求在荷载F 作用下各杆的轴力解: (1)受力分析-平

7、衡方程123laaa2BCADFFDABCFN1N2FN3F第14页，共42页，2022年，5月20日，16点42分，星期二(2) 变形分析协调条件（求补充方程）(3) 胡克定理(4)联立求解得ABBCDDl1Dl2CDl3得出补充方程第15页，共42页，2022年，5月20日，16点42分，星期二超静定问题 单凭静力学平衡方程不能解出全部未知力的问题，称为超静定问题。此时未知力个数多于平衡方程式个数，其差数称为超静定次数。 一般超静定问题的解法为： 1）解除“多余”约束，使超静定结构变为静定结构（此相应静定结构称静定基），建立静力平衡方程。 2）根据“多余”约束性质，建立变形协调方程。 3）

8、建立物理方程（如胡克定律，热膨胀规律等）。 4）联解静力平衡方程以及2）和3）所建立的补充方程，求出未知力（约束力或内力）。第16页，共42页，2022年，5月20日，16点42分，星期二2、装配应力 温度应力(1) 装配应力 在静定问题中，只会使结构的几何形状略有改变，不会在杆中产生附加的内力.如1杆较设计尺寸过长，仅是A点的移动。 在超静定问题中，由于有了多余约束，就将产生附加的内力.附加的内力称为装配内力,与之相应的应力则称为装配应力,装配应力是杆在荷载作用以前已经具有的应力，也称为初应力。 3DBCAaAA1a2De第17页，共42页，2022年，5月20日，16点42分，星期二例 两

9、铸件用两钢杆1、2连接如图，其间距为 l=200mm。现需将制造得过长e=0.11mm的铜杆3装人铸件之间，并保持三杆的轴线平行且有等间距a。试计算各杆内的装配应力。已知：钢杆直径d=10mm，铜杆横截面为20mm 30mm的矩形，钢的弹性模量E=210GPa，铜的弹性模量E=100GPa。铸件很厚，其变形可略去不计。 BB1AA2CC3CC111aaDel1=Dl12DlACBBACB12111CADl3第18页，共42页，2022年，5月20日，16点42分，星期二解： 画出结构装配简图，并可确定装配后3 杆受压，1、2杆受拉=Dl12DlACBBACB12111CADl3FN1N3FFN

10、2aaACBx(1) 列出平衡方程,一次超静定问题第19页，共42页，2022年，5月20日，16点42分，星期二 变形分析协调条件（求补充方程） 因铸件可视作刚体，其变形相容条件是三杆变形后的端点须在同一直线上。由于结构在几何和物性均对称于杆3，可得变形协调条件为(3) 胡克定理=Dl12DlACBBACB12111CADl3第20页，共42页，2022年，5月20日，16点42分，星期二得出补充方程(4) 联立求解得所得结果均为正，说明原先假定杆1，2为拉力和杆3为压力是正确的。 第21页，共42页，2022年，5月20日，16点42分，星期二将已知数据代人，可得装配应力为 计算中注意单位

11、在超静定问题里，杆件尺寸的微小误差，会产生相当可观的装配应力。这种装配应力既可能引起不利的后果，也可能带来有利的影响。土建工程中的预应力钢筋混凝土构件，就是利用装配应力来提高构件承载能力的例子。第22页，共42页，2022年，5月20日，16点42分，星期二例 图a所示为超静定杆系结构，1，3杆的拉伸刚度为E1A1，2杆的为E2A2，已知中间杆2加工制作时短了 ，试求三杆在D点铰接在一起后各杆的内力。 解：图a中实线为装配前情况，虚线为装配后情况，由变形知1、3杆的轴力N1及N3为压力，2杆的N2为张力，D点的受力图如图b。 第23页，共42页，2022年，5月20日，16点42分，星期二静力

12、平衡方程 变形协调条件 物理方程 ， （c） （b） （a）第24页，共42页，2022年，5月20日，16点42分，星期二由（b），（c）得补充方程 （d） 由（a），（d）解得： 第25页，共42页，2022年，5月20日，16点42分，星期二综上分析结果可知，超静定问题与静定问题比较有以下特点： （1）内力（或约束力）的分配不仅与外载荷有关，还与杆件的刚度比有关，如例中（e）式所示，与 有关。 （2）超静定结构会引起温度应力和装配应力。 第26页，共42页，2022年，5月20日，16点42分，星期二(2) 温度应力静定问题：由于杆能自由变形，由温度所引起的变形不会在杆中产生内力。超静定

13、问题：由于有了多余约束，杆由温度变化所引起的变形受到限制，从而将在杆中产生内力。这种内力称为温度内力。与之相应的应力则称为温度应力。 杆的变形包括两部分：即由温度变化所引起的变形，以及与温度内力相应的弹性变形。 第27页，共42页，2022年，5月20日，16点42分，星期二例 图示的等直杆 AB 的两端分别与刚性支承连接。设两支承间的距离(即杆长)为l，杆的横截面面积为A，材料的弹性模量为E，线膨胀系数为l。试求温度升高t时杆内的温度应力。 解：一次超静定（1）变形：如杆只有一端(A端)固定，则温度升高以后，杆将自由伸长。现因刚性支承 B 的阻挡，使杆不能伸长，相当于在杆的两端加了压力FN而

14、将杆顶住，而保持 B 点的不动。 ABlABDltABFNDlF第28页，共42页，2022年，5月20日，16点42分，星期二得到变形协调条件(求补充方程) 使用胡克定理得温度引起的变形 得出补充方程解得温度应力 第29页，共42页，2022年，5月20日，16点42分，星期二以上计算表明，在超静定结构中，温度应力是一个不容忽视的因素。在铁路钢轨接头处、混凝土路面中，通常都留有空隙；高温管道隔一段距离要设一个弯道，都为考虑温度的影响，调节因温度变化而产生的伸缩。如果忽视了温度变化的影响，将会导致破坏或妨碍结构物的正常工作。 如杆为钢杆， l =1.210-5/(oC), E=210GPa,

15、如温度升高 t=40 oC，杆内的温度应力为 第30页，共42页，2022年，5月20日，16点42分，星期二6.3 扭转超静定问题 扭转超静定问题的解法，同样是综合考虑静力、几何、物理三方面。其主要难点仍是由变形协调条件建立补充方程。例 两端固定的圆截面杆 AB ，在截面 C 处受一扭转力偶矩 Me 作用如图。已知杆的扭转刚度为GIp，试求杆两端的支反力偶矩。 MeABablCIII第31页，共42页，2022年，5月20日，16点42分，星期二解： 一次超静定 设想固定端B为多余约束，解除后加上相应的多余未知力偶矩MB，得基本静定系。MeABablCIIIMeMACABIIIxBM平衡方程

16、：设固定端A的支反力偶为MA ,方向同MB第32页，共42页，2022年，5月20日，16点42分，星期二变形协调条件：根据原超静定杆的约束情况，基本静定系在B端的扭转角应等于零, 即变形协调条件为按叠加原理：BB、BM分别为MB、Me引起的在杆端B的扭转角。线弹性时，物理关系(胡克定理)为代入上式可解得 MA可平衡方程求得 。第33页，共42页，2022年，5月20日，16点42分，星期二例 图示一长为l 的组合杆，由不同材料的实心圆截面杆和空心圆截面杆套在一起而组成，内、外两杆均在线弹性范围内工作，其扭转刚度分别为GaIpa和GbIpb。当组合杆的两端面各自固结于刚性板上，并在刚性板处受一

17、对扭转力偶矩Me作用时，试求分别作用在内、外杆上的扭转力偶矩。 ABrbarl第34页，共42页，2022年，5月20日，16点42分，星期二ABlj解：画出受力及变形简图写出独立平衡方程一次超静定问题。 变形协调条件：原杆两端各自与刚性板固结在一起，故内、外杆的扭转变形相同。即变形协调条件为第35页，共42页，2022年，5月20日，16点42分，星期二代入物理关系(胡克定理)，与平衡方程联立，即可求得Ma和Mb。并可进一步求得杆中切应力如图（内、外两杆材料不同），一般在两杆交界处的切应力是不同的。dDT1T1ttt2min1max2max21第36页，共42页，2022年，5月20日，16

18、点42分，星期二6.4 简单超静定梁 超静定问题平衡方程不能完全求解多余约束补充方程解除多余约束相当系统变形协调条件补充方程列变形协调条件：FBqABABqlAqBBqwAFBBwBBFAAM第37页，共42页，2022年，5月20日，16点42分，星期二可分别求出（也可查表）梁在均布载荷和集中力作用下的挠度为 得出补充方程为 解得第38页，共42页，2022年，5月20日，16点42分，星期二也可以取支座 A 处阻止梁端面转动的约束作为“多余”约束，解除后可得相当系统根据原超静定梁端面 A 的转角应等于零的变形相容条件，可由变形协调条件建立补充方程来求解。可从右向左作出剪力图和弯矩图 MAABql 图FSM图第39页，共42页，2022年，5月20日，16点42分，星期二例 梁AC在B、C处分别为固定铰支座和可动铰支座，梁的 A 端用一钢杆 AD 与梁 AC 铰接。在梁受荷载作用以前，杆 AD 内没有内力。已知梁和拉杆用同样的钢材制成，材料的弹性模量为E，梁横截面的惯性矩为I，拉杆横截面的面积为A，其余尺寸见图。试求钢杆AD内的拉力FN。 BACqa2alD2q第40页，