二次根式讲义

1、二次根式复习讲义知识点一：二次根式的概念【知识要点】二次根式的定义：形如,(a20)的式子叫二次根式，其中a叫被开方数，只有当a是一个非负数时，,才有意义.【典型例题】【例1】下歹|各式1)，5,2)%/=3)/x2+2,4)5)；(3)2,6)3B、xN3C、x4D、xN3且xW412、如果代数式-m+有意义，那么，直角坐标系中点P(m,n)的位置在()mnnA、第一象限B、第二象限C、第三象限D、第四象限【例3】若y=vx5+、：5x+2009,则Ux+y=fx50解题思路：式子：a(aN0),(八，x=5,y=2009,则x+y=20145x0举一反三：1、若x1d=(x+y)2,则xy

2、的值为()A1B1C2D32、若x、y都是实数，且y=、2x3+v32x+4,求xy的值1【例4】已知是心整数部分，b是心的小数部分，求a+的值。b+2举一反三：1、若君的整数部分是a，小数部分是b，则3a-b=。知识点二：二次根式的性质【知识要点】.非负性：0)是一个非负数.注意：此性质可作公式记住，后面根式运算中经常用到.(va)2=a(a0).注意：此性质既可正用，也可反用，反用的意义在于，可以把任意一个非负数或非负代数式写成完全平方的形式：a=(va)2(a0)3.ta23.ta2=lal=a(a0)a(a|、与(va)2:a(a0)的区别与联系a(a0)的运用)【例6】化简：a-1+

3、Qa=3)2的结果为()A、42aB、0C、2a4D、4举一反三：1、在实数范围内分解因式：X4-9=,X2-20)的应用)-a(a0)TOC o 1-5 h z【例7】已知X2，则化简%:x2-4x+4的结果是()A、x2B、x+2C、x2D、2x举一反三：1、根式352的值是()A.-3B.3或-3C.3D.92、若a30,则化简2-6a+9+4-”的结果是()(A)1(B)1(C)2a7(D)72a【例8】如果表示a,b两个实数的点在数轴上的位置如图所示，那么化简|a-b|+q(a+b)2的结果等于()F一厂oA-2bB2bC-2aD2aTOC o 1-5 h z举一反三：实数a在数轴上

4、的位置如图所示：化简：a-1+J(a-2)2=1-1012【例9】化简1-X-相2-8X+16的结果是2x-5,则ux的取值范围是()(A)x为任意实数(B)1WxW4(C)xN1(D)xW1举一反三：若代数式七/(2-a)2+v(a-4)2的值是常数2，则a的取值范围是()(A)a巳4(B)aW2(C)2WaW4(D)a=2或a=4a+2【例10】化简二次根式a、：一一厂的结果是()a2(A)v-a2(B)-*-a2(C)、：a2(D)、a2举一反三：1、把二次根式a11化简，正确的结果是()A.、：aB.七aC.“aD.aa知识点三：最简二次根式和同类二次根式【知识要点】1、最简二次根式：

5、最简二次根式的定义:被开方数是整数，因式是整式;被开方数中不含能开得尽方的数或因式.2、同类二次根式(可合并根式)：几个二次根式化成最简二次根式后，如果被开方数相同，这几个二次根式就叫做同类二次根式，即可以合并的两个根式。【典型例题】下列根式中，不是最简二次根式的是()A.V7B.3C.2-D.2【例11】举一反三：1、下列根式不是最简二次根式的是()A.a-2+1B.2xX+1C.4bD.J0.1y2、在根式1)4a2+b2；2)；X；3x2%丁；4)v27abc，最简二次根式是()A.1)2)B.3)4)C.1)3)D.1)4)3、把下列各式化为最简二次根式：J2，卬【例12】下列根式中能

6、与工3是合并的是()A.8B.427C.2、；5D.：2举一反三：1、下列各组根式中，是可以合并的根式是()A、73和、A、73和、,18B、C、v,a2b和,01122D、aa+1和%a12、在二次根式：12；123；（|；27中，能与、.:3合并的二次根式知识点四：二次根式计算分母有理化【知识要点】1分母有理化定义：把分母中的根号化去，叫做分母有理化。2有理化因式：两个含有二次根式的代数式相乘，如果它们的积不含有二次根式，就说这两个代数式互为有理化因式。有理化因式确定方法如下：单项二次根式：利用J7JZ=a来确定，如：ya与;a,、Ja+b与弋a+b,aab与Jab等分别互为有理化因式。a

7、a+bb与*abb,两项二次根式：利用平方差公式来确定。如a+bb与a八下a、K+aa+bb与*abb,3.分母有理化的方法与步骤：先将分子、分母化成最简二次根式；将分子、分母都乘以分母的有理化因式，使分母中不含根式；最后结果必须化成最简二次根式或有理式。【典型例题】【例13】把下列各式分母有理化1(1)-48-43(2)二1(1)-48-43(2)二30)4二次根式的除法法则：两个数的算术平方根的商，等于这两个数的商的算术平方根。Oaa=7(aN0,b0)注意：乘、除法的运算法则要灵活运用，在实际运算中经常从等式的右边变形至等式的左边，同时还要考虑字母的取值范围，最后把运算结果化成最简二次根

8、式【典型例题】【例15】化简(1)5916(3).5-2.J5(3);|x0,y0):3：64b2(x0,y0)【例16】化简：不(0b0)知识点六：二次根式计算二次根式的加减【知识要点】需要先把二次根式化简，然后把被开方数相同的二次根式（即同类二次根式）的系数相加减，被开方数不变。注意：对于二次根式的加减，关键是合并同类二次根式，通常是先化成最简二次根式，再把同类二次根式合并但在化简二次根式时，二次根式的被开方数应不含分母，不含能开得尽的因数【典型例题】【例17】计算(1),32-1秆5+2&5【例17】计算(1),32-1秆5+2&5-3鼻；乙V4/r(2)10372451；【例18】(3)127aa3-a2-+3a6一a-0,b0时，如果ab,则%；、而；如果ab,则ha0,b0时，如果a2b2，则ab；如果a2b2，则ab。3、分母有理化法通过分母有理化，利用分子的大小来比较。4、分子有理化法通过分子有理化，利用分母的大小来比较。5