《工程力学》压杆稳定

1、工程力学-压杆稳定10.1 压杆稳定性的概念 稳定性概念 构件在平衡的前提下，平衡形式可以是稳定平衡、不稳定平衡和临界平衡。判断平衡是否稳定，必须加干扰。干扰可以是加一个力；可以是使其振动；甚至是吹一口气。 稳定平衡：干扰去掉以后，构件可以完全恢复原有形式下的平衡，称为稳定平衡。 不稳平衡：干扰去掉以后，构件不能完全恢复原有形式下的平衡，称为不稳定平衡。 临界平衡：临界情况。小变形情况下，干扰到那里，就在那里保持曲线形式的平衡。 注意：不要混淆平衡的概念和稳定性的概念。构件不稳定，不是指不平衡。稳定性是指平衡形式是否稳定，是在已经平衡的前提下来讨论该平衡形式是否稳定。 现以如图10-2所示一端

2、固定，一端自由细长的压杆来说明这类问题。若压杆为中心受压的理想直杆，即假设：(1) 杆是绝对直杆，无初曲率。(2) 外力F绝对通过轴线，无偏心。(3) 材料绝对均匀。 则在外力F 的作用下，F 无论有多大，也没有理由往旁边弯曲。设压杆受到干扰而弯曲，去掉干扰后，则任意横截面上，有两种弯矩在抗衡：MW = Fw使杆继续弯曲。M = EIw使杆回弹。 若压力F Fcr，这时MWFcr，这时MW M ，杆件的平衡将失去稳定性。干扰解除后，杆件将继续弯曲，不能恢复，表明压杆在原来直线形状下的平衡是不稳平衡，见图10-2(d)。压杆丧失其直线形状的平衡形式的稳定性，称为丧失稳定，简称失稳，也称为屈曲。

3、两端铰支细长压杆的欧拉公式 细长的中心受压直杆在临界力作用下，其材料仍处于理想的线弹性范围内，这类稳定问题称为线弹性稳定问题。 理想压杆两端铰支的欧拉临界力公式为： （10-1）式中：E为弹性模量，EI 为弯曲刚度，L为压杆长度。 其他支承形式下的临界力 一端固定另一端自由，长度为L的压杆的挠曲线，相当于两端铰支长为2L的压杆挠曲线的上半部分，所以，一端固定另一端自由，长度为L的压杆的临界压力，等于两端铰支长为2 L的压杆的临界力，即 (10-2) 对于两端固定的压杆如图 10-4(c)所示，其挠曲线上有两个距端部L/4处的拐点，即弯矩等于零的点，在力学上相当于铰链。因此在这种支承形式下，压杆

4、的临界力只要在两端铰支的临界力公式中，以0.5L替代长度L即可。 对于一端固定、一端铰支的压杆如图10-4(d)所示，在其挠曲线上距下端0.3L处有一个拐点，这样上下两个铰链的长度0.7L，因此在这种支承形式下，压杆的临界力只要在两端铰支的临界力公式中，以0.7L替代长度l即可。10.2 细长杆临界力 例10-1 如图10-6所示细长压杆，一端固定，另一端自由。已知其弹性模量E =10GPa ，长度l = 2m。试求h =160mm,b = 90mm和h = b =120mm两种情况下压杆的临界力。解：(1) 计算情况的临界力 截面对 y, z 轴的惯性矩分别为由于 Iy Iz ，所以压杆必然

5、绕y轴弯曲失稳，应将Iy代入公式(11.3)计算临界力，根据杆端约束=2，即(2) 计算情况的临界力，截面对 y, z 轴的惯性矩相等，均为10.3 临界应力与临界应力总图 临界应力 将压杆的临界力Fcr除以杆的横截面面积A，变得到压杆横截面上的应力，称为压杆的临界应力，用cr表示，即若令I /A = i2，即 ，i称为压杆横截面的惯性半径，临界应力公式又可写为 或 (10-4) 欧拉公式的适用范围 由于推导临界力的欧拉公式时，应用的是仅适用于比例极限以内的挠曲线近似微分方程，因此由欧拉公式计算的临界应力也不得超过材料的比例极限，即 p用柔度表示为 (10-5)令 p= (10-6)p是对应于

6、材料比例极限时的柔度值，称为压杆的极限柔度，也就是适用欧拉公式的最小柔度值。 临界应力总图 欧拉公式适用范围的讨论可知，根据杆件柔度的大小，可以将压杆分为三类，并按其不同方式确定其临界应力。细长杆，即p 时，用欧拉公式计算临界应力；中长杆，即s p时，用经验公式计算临界应力；短杆，即s时，这类压杆一般不会失稳，而可能发生屈服或是断裂，按强度问题处理。 塑性材料压杆的临界应力随其柔度而变化的情况如图10-8，此图称为临界应力总图。从图中可以看出，短杆的临界应力与 值无关，而中长杆的临界应力则随 值的增加而减小；中长杆的临界应力大于比例极限，而细长杆的临界应力小于比例极限p。10.4 压杆的稳定计

7、算及合理设计 压杆的稳定条件1. 安全因数法压杆的稳定条件为： F 或 (10-10)式中nst 为规定的稳定安全因数。临界力Fcr与压杆工作压力F的比值，表示压杆工作时的实际稳定性储备，称为压杆的工作稳定安全因数，用n表示。于是得到安全因数表示的压杆稳定条件 n = nst (10-11)2. 稳定因数法 =此式中，系数 为稳定因数，其反映压杆稳定许用应力随着压杆柔度改变这一特点。 例10-3 空气压缩机的活塞杆由45号钢制成s = 350MPaP = 280MPa ，E = 200GPa。长度L = 703mm，直径d = 45mm。最大压力F = 41.6kN。规定安全因数nst810。试校核其稳定性。 解：由公式(10-6)，求出 p= =活塞杆两端可简化为铰支座，所以=1。活塞杆截面为圆形 ，由于p ，所以欧拉公式不再适用。由表 11-2 得到优质碳钢 45号钢的a = 460MPa，b = 2.57MPa ，代入公式(11.9)可见活塞杆sp，是中