三角形重心外心垂心内心的向量表示及其性质

1、向量的重心、垂心、心里、外心、旁心三角形重心、心里、垂心、外心的观点及简单的三角形形状判断方法。重心：ABC中、每条边上所对应的中线的交点；垂心：ABC中、每条边上所对应的垂线上的交点；心里：ABC中、每个角的角均分线的交点（内切圆的圆心）；外心：ABC中、每条边上所对应的中垂线的交点（外接圆的圆心）。一、重心1、O是ABC的重心OAOBOC0若O是ABC的重心，则BOCAOCAOB1ABC故OAOBOC0,1(PA3PGPBPC)G为ABC的重心.3、P是ABC所在平面内任一点.G是ABC的重心PG1().23PAPBPC证明：PGPAAGPBBGPCCG3PG(AGBGCG)(PAPBPC

2、)G是ABC的重心GAGBGC0AGBGCG0，即3PGPAPBPC由此可得PG1(PAPBPC).（反之亦然（证略）33、已知O是平面上必定点，A，B，C是平面上不共线的三个点，动点P知足uuuruuuruuuruuur(0，)，则P的轨迹必定经过ABC的重心.OPOA(ABAC)，例1若O为uuuruuuruuurrABC的（ABC内一点，OAOBOC0，则O是）A心里B外心C垂心D重心二、垂心1、O是ABC的垂心OA?OBOB?OCOA?OC若O是ABC(非直角三角形)的垂心，则故tanAOAtanBOBtanCOC02、H是面内任一点，HAHBHBHCHCHA点H是ABC的垂心.由HA

3、HBHBHCHB(HCHA)0HBAC0HBAC,同理HCAB，HABC.故H是ABC的垂心.（反之亦然（证略）3、P是ABC所在平面上一点，若PAPBPBPCPCPA，则P是ABC的垂心uuuruuuruuuruuuruuuruuuruuuruuuruuur0uuuruuur由PAPBPBPC，得PB(PAPC)0，即PBCA，因此PBCA同理uuuruuuruuuruuur可证PCAB，PABCP是ABC的垂心如图1.图1图4、已知O是平面上必定点，A，B，C是平面上不共线的三个点，动点P知足uuuruuuruuuruuurABAC，(0，)，则动点P的轨迹必定经过OPOAuuuruuur

4、ABcosBACcosCABC的垂心例2P是ABC所在平面上一点，若PAPBPBPCPCPA，则P是ABC的（）A外心B心里C重心D垂心三、心里1、O是ABC的心里的充要条件是OA?ABACOB?BABCOC?CACB0ABACBABCCACBAe1e2BCP引进单位向量，使条件变得更简短。假如记AB,BC,CA的单位向量为e1,e2,e3，则方才O是ABC的心里的充要条件能够写成OA?e1e3OB?e1e2OC?e2e302、O是ABC的心里的充要条件也能够是a?OAb?OBc?OC0。3、若O是ABC的心里，则SBOC:SAOC:SAOBa:b:c故a?OAb?OBc?OC0或许sinA?

5、OAsinB?OBsinC?OC0;4、已知I为ABC所在平面上的一点，且ABc，ACb，BCa若uuruuruur0，则I是ABC的心里aIAbIBcICuuruuruuuruuruuruuurbuuruuuruuur0，IBIAAB，ICIAAC，则由题意得(ac)IAbABcACuuuruuuruuuruuuruuuruuuruuuruuuruuuruuurABACbABcACACABABACACAB，uuuruuurABACuurbcuuuruuurABACAIabcuuuruuurABACuuuruuuruuuruuurABACuuur与uuur分别为AB和AC方向上的单位向量，AB

6、ACuurBACAI与BAC均分线共线，即AI均分同理可证：BI均分ABC，CI均分ACB进而I是ABC的心里，如图。5、已知O是平面上必定点，A，B，C是平面上不共线的三个点，动点P知足uuuruuuruuuruuurABAC，(0，)，则动点P的轨迹必定经过ABC的内OPOAuuuruuurABAC心uuuruuuruuurABAC，由题意得APuuuruuurABAC当(0，uuurBAC的均分线所在直线方向的向量，故动点P的)时，AP表示轨迹必定经过ABC的心里，如图。例3O平面上的必定点，A,B,C是平面上不共线的三个点，动点P知足OPOA(ABAC)，0,则P点的轨迹必定经过ABC

7、的（）ABAC（A）外心（B）心里（C）重心（D）垂心四、外心1、O是ABC的外心OAOBOC,若O是的外心则SBOC:SAOC:SAOBsinBOC:sinAOC:sinAOBsin2A:sin2B:sin2C故sinAOAsinBOBsinCOC0。uuuuruuuuruuuur2、已知O是ABC所在平面上一点，若OA2OB2OC2，则O是ABC的外心uuur2uuur2uuuruuuruuuruuuruuur2uuur2uuur22若OAOBOC，则OAOBOC，OAOBOC，则O是ABC的外心，如图1。图2图13、已知O是平面上的必定点，A，B，C是平面上不共线的三个点，动点P知足uu

8、uruuuruuuruuuruuurOBOCuuurABuuurAC(0，)，则动点P的轨迹必定通OP，2ABcosBACcosC过ABC的外心，如图2。例4uuuruuuruuur若O为ABC内一点，OAOBOC，则O是ABC的（）A心里B外心C垂心D重心对于“欧拉定理”的一些问题：有名的“欧拉定理”讲的是锐角三角形的“三心”外心、重心、垂心的地点关系：（1）三角形的外心、重心、垂心三点共线“欧拉线”；（2）三角形的重心在“欧拉线”上，且为外垂连线的第一个三分点，即重心到垂心的距离是重心到外心距离的2倍。例5在ABC中，已知Q、G、H分别是三角形的外心、重心、垂心。求证：Q、G、H三点共线，

9、且QG:GH=1:2。证明：以A为原点，AB所在的直线为x轴，成立如下图的直角坐标系。设A(0,0)、B（x1,0）、C(x2,y2)，D、E、F分别为AB、BC、AC的中点，则有：D（x1,0)、x1x2y2、x2y2)由题设可设Q（x1,y3)、H(x2,y4),2E(2,)F(,2222x1x2y2uuuuruuurx2x1y2,)AH(x2,y，,y3)G(34)QF(2223uuur(x2x1,y2)BCyuuuuruuurC(x2,y2)QAHBCuuuuruuurAH?BCx2(x2x1)y2y40FHx2(x2x1)y4Ey2uuuruuuurGQQFACQxuuuruuuur

10、x2x1y2ADB(x1,0)QF?ACx2(22)y2(2y3)0y3x2(x2x1)y22y22uuuurx1,y4y3)（2x2x1,3x2(x2x1)y2)QH(x2222y22uuurx1x1,y2y3)（2x2x1,y2x2(x2x1)y2)QG(x2323632y22(2x2x1,3x2(x2x1)y2)1(2x22x1,3x2(x2x1)y2)66y2632y221uuuur=QHuuuuruuur即QH=3QG，故Q、G、H三点共线，且QG:GH1：2例6若O、H分别是ABC的外心和垂心.求证OHOAOBOC.证明若ABC的垂心为H，外心为O，如图.连BO并延伸交外接圆于AD

11、AB，CDBCD，连接AD，CD.又垂心为H，AHBC，CHAB，AHCD，CHAD，四边形AHCD为平行四边形，AHDCDOOC，故OHOAAHOAOBOC.“欧拉定理”简化：例7设O、G、H分别是锐角ABC的外心、重心、垂心.求证OG1OH3证明按重心定理G是ABC的重心OG1(OAOBOC)3按垂心定理OHOAOBOC由此可得OG1OH.3增补练习一：已知A、B、C是平面上不共线的三点，O是ABC的重心，动点P知足1OP=1(1OA+1OB+2OC),则点P必定为ABC（）322边中线的中点边中线的三均分点（非重心）C.重心边的中点2在同一个平面上有ABC及一点知足关系式：OA2BC2O

12、B2AC2OC2AB2，则为ABC的（）A外心B心里C重心D垂心uuuruuuruuur0，2已知ABC的三个极点A、B、C及平面内一点P知足：PAPBPC则P为ABC的()外心心里C重心D垂心3已知O是平面上必定点，A、B、C是平面上不共线的三个点，动点P知足：OPOA(ABAC)，则P的轨迹必定经过ABC的（）外心心里C重心D垂心4已知ABC，P为三角形所在平面上的动点，且动点P知足：uuuruuuruuuruuuruuuruuur，则P点为三角形的PA?PCPA?PBPB?PC0（）外心心里C重心D垂心5已知ABC，P为三角形所在平面上的一点，且点P知足：uuuruuuruuur则PaP

13、AbPBc?PC0，点为三角形的（）外心心里C重心D垂心2CB26在三角形ABC中，动点P知足：CA2AB?CP，则P点轨迹必定通过ABC的：（）外心心里C重心D垂心7.已知非零向量AB与AC知足ABAC?BC0,且AB?AC1，则ABACABAC2ABC为A.三边均不相等的三角形B.直角三角形C.等腰非等边三角形D.等边三角形ABC的外接圆的圆心为O，两条边上的高的交点为H，OHm(OAOBOC)，则实数m=。9.点O是ABC所在平面内的一点，知足OAOBOBOCOCOA，则点O是ABC的（）A三个内角的角均分线的交点B三条边的垂直均分线的点C三条中线的交点D三条高的交点已知点G是ABC的重

14、心，过G作直线与AB，AC两边分别交于M，N两点，uuuuvuuuvuuuvuuuv113。且AMxAB，ANyAC，则yuuuvuuuvuuuv证点G是ABC的重心，知GAGBGCO，uuuvuuuvuuuvuuuvuuuvO，有uuuv1uuuvuuuv。又，三点共线得AG(ABAG)(ACAG)AG(ABAC)3MNG（A不在直线MN上），于是存在uuuvuuuuvuuuv1)，,，使得AGAMAN(且uuuvuuuvuuuv=1uuuvuuuv有AGxAByAC3(ABAC)，11，于是得11得xy3。3xy增补练习二：1、已知O是ABC内的一点，若222，则是的OAOBOCOABCA

15、、重心B、垂心C、外心D、心里2、在ABC中，有命题ABACBC；ABBCCA0；若ABAC?ABAC0，则ABC为等腰三角形；若AB?AC0，则ABC为锐角三角形，上述命题中正确的选项是A、B、C、D、3、已知ABC中，有ABAC?BC0和AB?AC1,试判断ABC的形ABACABAC2状。4、已知ABC中，ABa，BCb，B是ABC中的最大角，若a?b0，试判断ABC的形状。5、已知O是ABC所在平面内的一点，知足2222OC22OABCOBACAB，则O是ABC的A、重心B、垂心C、外心D、心里6、已知P是ABC所在平面内的一动点，且点P知足OPOAABAC,0,，则动点P必定过ABC的

16、ABACA、重心B、垂心C、外心D、心里7、已知O为平面内一点，A、B、C平面上不共线的三点，动点P知足OPOAAB1BC,0,，则动点P的轨迹必定经过ABC的2A、重心B、垂心C、外心D、心里8、已知O是ABC所在平面内的一点，动点P知足OPOAABAC,0,，则动点P必定过ABC的ABcosBACcosCA、重心B、垂心C、外心D、心里9、已知O是ABC所在平面内的一点，动点P知足OPOBOCABAC,0,，则动点P必定过ABC的2ABcosBACcosCA、重心10、已知点B、垂心G是的重心，过C、外心D、心里G作直线与AB、AC分别订交于M、N两点，且AMx?AB,ANy?AC，求证：113xy增补练习三：1、已知O是ABC内的一点，若OAOBOC0，则O是ABC的A、重心B、垂心C、外心D、心里2、若ABC的