有限元发展历史

1、有限元方法历史简介数学有限元方法（FEM）是用来求偏微分方程式（PDE）的近似解，也求积分方程式，比如热传输方程式。求解方法是鉴于完整撤消微分方程式（稳态问题），或把偏微分方程式（PDE）译成等效的常微分方程式，而后采纳像有限差等标准的技术求解。在解偏微分方程式时，主要的挑战是创立近似研究的方程式，但数字稳固，这意味着在输入数据和中间计算都不汇齐集错误，并造成无心义的输出结果。有很多这么做的方法，它们都有各自的优弊端。关于求解复杂域（像汽车和油管道）偏微分方程式，或当希望在所有范围精准变化时，有限元方法是好的选择。比如，在模拟地球天气模式时，在土地和完整开放的海疆之上有着正确的展望是特别重要的

2、，采纳有限元方法，这个要求是能够做获取的。历史有限元方法发源于需要解决市政工程和航空工程方面复杂的弹性构造剖析问题。它的开发能够追忆到A.Hrennikoff（1941）和R.Courant（1942）的工作。固然这些前驱者使用这些方法，而且惹人注视的不一样，但他们都共享一个基本的特征：把连续域的网格失散化进入一组失散的子域里。Hrennikoff的工作是采纳格子使域失散，而与之近似，为了求解发源于汽缸扭转的问题的二阶椭圆的偏微分方程式（PDEs），RichardCourant的方法是把域划分红有限的三角形子域。关于由Rayleigh，Ritz和Galerkin开发的偏微分方程式（PDEs），

3、RichardCourant的贡献是改良，绘制了大批的初期结果。针对机身和构造剖析的有限元方法的开发最早开始于1950年月中期，而且用于市政工程的有限元方法很多是1960年月在伯克利开始启动（见伯克利初期有限元研究）。在1973年Strang和Fix第一版的有限元方法的剖析里，供给的方法采纳了严格的数学基础，而且已经在宽泛变化的工程学科，即电磁和流体力学里，针对物理系统的数字建模，概括成为应用数学的分枝。在构造力学里，有限元方法的开发经常是鉴于能量理论，即虚功原理或最小总潜能原理，关于构造工程师来说，早就激烈要求供给综合的，直觉的和物理的依照。技术议论我们将从能够推测的一般方法里取二个简单问题

4、来举例说明有限元方法。我们假定读者是熟习微积分学和线性代数。我们将采纳一维空间式中f是假定的，而u是x的未知函数，而且u是与x相关的u的二阶导数。二维空间取样问题是狄利克雷问题式中是在（x，y）平面内连结开地区，那些界限是“和睦的”（即光滑流形或多边形），而且uxx和uyy，分别表示与x和y相关的二阶导数。经过计算不定积分，能够“直接”求解问题P1。但是，只有当只有一个维度空间时，才使用这个方法求解界限值问题，而且不推行到更高空间的问题，或像u+u”=f问题。出于这个原由，我们将针对P1开发有限元方法，而且稍微表达它对P2的广义性。我们的解说将发生在二个步骤里，反应出二个实质的步骤，第一步一定

5、采纳有限元方法（FEM）求援于求解界限值问题（BVP）。在第一步，在它的弱或变分形式上从头描绘初始的界限值问题（BVP）。往常这一步几乎不需要作计算，不过在纸上手工进行变换。第二步是失散化，在有限的维度空间里，把弱形式失散化。在这个第二步以后，关于大的，可是有限空间的线性问题，我们有详细的公式，那些解快要似解答初始的界限值问题（BVP）。而后就在计算机里履行这个有限的空间问题。变分公式化第一步是把P1和P2变换为它们的变分公式。假如u求解P1，那么关于任何光滑函数v，我们有反过来，假如关于假定的u，控制每个光滑函数v(t)，那么一步就能够显示这个u将求解P1。（凭证是非平庸的，而且采纳Sobo

6、lev空间）经过在的右侧采纳部分积分法，我们获取式中我们已经做了此外的假定v(0)=v(1)=0。4.1存在的凭证纲要和解的独一性我们能够定义是有界变分的(0，1)的函数，在x=0和x=1是0。这样的函数是“一次可微分的”，而且它产生出相对称的双线性图，而后把定义的内积变换成为Hibert空间（详尽的凭证是非平庸的）。在另一方面，左边也是内积，此次在Lp空间L2(0，1)。针对Hibert空间的Riesz表示法例显示有一个独一的u解和因此的P1。4.2P2的变分形式假如我们采纳Green的理论做部分积分，我们看到假如u求解出P2，那么关于任何v：式中表示梯度，而且表示二维平面里的点积。一旦在的

7、“一次可微分的”函数的般配空间里，能够把更多的变换成为点积，那么就是0。我们也已经假定。空间可能不再依照有界变分来定义，而是看Sobolev空间。也能够显示解的存在和独一性。失散化在里端点（蓝色）带有0值的函数和分段线性近似法（红色，拜见直接强度图说里的彩图）。在二维里的分段线性函数基本函数vk（蓝色，拜见直接强度图说里的彩图）和它们的分段线性线性组合。基本思想是代替有限空间的线性问题采纳有限空间的版本：(3)式中V是的有限空间子空间。V有很多可能的选择（一种可能致使spectral方法）。但是，关于有限元方法，我们取V为分段线性函数的空间。于P1，我取隔（0，1），nx0 x1xn1，而且我

8、定V式中我定x0=0，和xn+1=1。依照微分学的初步定，察V里的函数是不行微的。确，假如，那么在任何x=xk，k=1，n，往常是不定数的。然而，在x的每个其余数里存在着数，以及了部分分法的目的，同能够使用个数。于P2，我需要V是的一函数。在右的算式里，我已在平面里（三的下边）把15多形地区区分红三角形，而且个多形的分段性函数（上边色的三）在三角系的每个三角形都是性的；在定的三角系的每个三角形上，空V由性函数成。在文件里，常用V取代Vh。原由是希望把下边的三角形格得好上加好，失散（3）的解将在某种意上齐集到初始界P2的解。那么就由取很小的，h0的真数参数分红三角系。个参数将波及到最大，或三角系

9、里的均匀三角形的空。正如我定的三角系，分段性函数的空V也必改h，所以没有符号Vh。因为我没有行的剖析，我将不使用个符号。4.1基达成失散化，我必V的基。在一空状况里，于每个控制点xk，我将分段性函数vkk1，在每个，V里那些数，在x，V里那些数是是O，即于k=1，n。于二状况，我依照平展地区的三角系的最高点的xk，再次一个基本函数vk。函数vk是V的独一函数，在xk，那些数是1，而且在每个，那些数是0。依据作者的意思，在“有限元方法”里的“元”字，既波及到域里的三角形，也波及到分段性基本函数，或两者都波及。作例子，作者的趣在于采纳舍弯取直，能够把曲域改三角形，在哪个状况里，他能够把他的元作曲描

10、绘。在另一方面，一些作者用“分段二次方程式”，或许甚至“分段多式”来取代“分段性”。那作者可能，“高次元”代替“更高程度的多式”。有限元方法是不受三角形限制的（或在三空里的四周体，或许在多空里的更为高次的形体），可是能够在四形子域上定（在三空里的六面体、棱柱、或许棱椎，这样等等）。能够采纳多式，以及甚至非多式形状（即或）来定更高次形状（曲因素）。经常把采纳更高程度分段多式基本函数的方法称光元方法，特别假如多式的次数增添，当三角系空h于0。更为高的行（合用有限元方法）利用方法，（鉴于估理）估果的量，而且在求解期，依据的“精准”解，在某些限度以内，对准达到近似解来改正网孔。能够利用各样技来适网孔，

11、最流行的是：移点（r-自适性）精（和非精）元（h-自适性）改基本函数的序次（p-自适性）上述合（即hp-自适性）4.2基的小支撑个基的的主重点是内而且几乎所有的j，k都将是0。在一状况里，vk的支撑是隔xk-1，xk+1。所以，只需|j-k|1，和(vj，vk)的被函数同是0。同，在平面状况里，假如xj和xk，不共享三角系的，那么分和二个都04.3的矩形式和，那么（3）成。于j=1，n。假如我用u和f表示列向量(u1，un)t，和(f1，fn)t，而且假如L=(Lij)和M=(Mij)是那些入Lij=(vi，vj)和的矩，那么我就能够改写（4）。(5).正如我以前已的，因基函数vk有小支撑，所

12、以大部分L和M的入都是0。所以我必在未知u里求解性系，哪儿大部分矩L的入都需要我改0。的矩就是有名的稀少矩，而且的，有不一样的解（比化矩更为特别有效）。此外，L是相当的，所以共梯度方法的技就实用武之地了。关于不太大的问题，稀罕的承载单元分解和Cholesky分解仍旧工作优秀。比如，关于带有成千上万极点的网格，Matlab的反斜杠算子（鉴于稀罕的承载单元）就足够了。矩阵L往常是波及到劲度矩阵，而矩阵M称为质量矩阵。5比较有限差方法关于求解偏微分方程（PDEs），是能够选择有限差方法（FDM）的。在有限元法（FEM）和有限差分法（FDM）之间的差别是：n有限差分法（FDM）是近似于微分方程式；有限

13、元法是近似于它的解。n有限元法（FEM）最吸引人的特点是它能够相当简单的办理复杂的几何参数（和边界条件）。而在它的基本格式里的有限差分法（FDM）办理矩形形状是受限制的，而且简单的把它改造一下，在有限元法（FEM）里，几何参数的办理是理论上简单了然的。n有限差分法（FDM）最吸引人的特点是它能够很简单的履行。n有几种方法，一种能够把有限差方法（FDM）考虑为有限元法（FEM）的子集。一种能够选择基本函数作为分段连续函数或迪拉克三角函数。在二种方法里，在整个域定义近似值，可是一定不是连续的。作为选择，一种能够在失散域定义函数，结果连续的微分算子不再存心义，但是，这个方法不是有限元法（FEM）。n有原由以为有限元近似值的数学基础是更为合理的，比如，在有限差方法（FDM）里，因为在格子点之间的近似值的质量是差的。n有限元法（FEM）近似值的质量经常是比相应的有限差方法（FDM）高的，可是，这个是极端的问题，而且能够供给相反的个别例子。往常，有限元法（FEM）是在构造力学所有种类