初中数学分类讨论思想运用的案例分析

1、 初中数学分类讨论思想运用的案例分析 周务新【Key】初中数学 分类思想案例分析G A0450-9889（2016）02A-0073-02分类思想是基于对象本质属性的异同，将数学研究对象根据一定的关系，合理划分为不同的种类进行分类讨论，再将讨论的结果进行总结归纳，得出题目和要研究问题的答案。比较是分类讨论的基础，分类讨论思想是深入研究问题的一种常用思想方法，需要在实践应用中掌握解题思路与技巧，做到触类旁通，举一反三。在初中数学教学中，分类讨论思想的运用较为广泛，关于绝对值、有理数、与圆有关的位置关系等概念的分类，还有不等式、含有字母的方程相关解题方法的分类，图形位置关系、等腰三角形顶点不确定问

2、题的分类等。本文就几个重要的分类思路与解题策略进行讨论分析。一、坐标与图形分类问题分类讨论思想的运用中，坐标与图形分类的运用较多，大多将重点集中在坐标系中各类图形的变换方式，将坐标与矩形、三角形、抛物线、双曲线等图形相结合，综合考查这些图形的基本性质在坐标系下的运用，增加了题型的难度与变化程度，也重点强调了对学生想象力的培养。例1：在平面直角坐标系中，O为坐标原点，点A的坐标为（1，3），M为坐标轴上一点，且使得MOA为等腰三角形，则满足条件的点M的个数有几个？【解答】本题考查等腰三角形的判定、坐标与图形性质、数形结合、分类讨论等相关知识，通过数形结合，画图分析，了解到满足条件的M的个数有6个

3、。例2：在平面直角坐标系中，已知点E（-4，2），F（-2，-2），以原点O为位似中心，相似比为2，把EFO缩小，则点E的对应点E的坐标是？【解答】本题考查位似变换、坐标与图形性质、操作题、分类讨论等相关知识。根据题意画出相应的图形，可以分析出点E的对应点E的坐标是（-2，1）或（2，-1）。例3：（如图1）在平面直角坐标系中，矩形OABC的顶点A、C的坐标分别为（10，0）、（0，4），点D是OA的中点，点P在BC上运动，当ODP是腰长为5的等腰三角形时，点P的坐标为？【解答】当ODP是腰长为5的等腰三角形时，有三种情况，需要分类讨论：（1）PD=OD=5，点P在点D的左侧，计算出P的坐标为

4、（2，4）;（2）P在D的左侧，OP=OD=5，计算出P的坐标为（3，4）;（3）PD=OD=5，点P在点D的右侧，计算出P的坐标为（8，4）。【分析】本题考查矩形的性质、坐标与图形性质、等腰三角形的性质、勾股定理等动点型相关知识，需要运用到分类讨论的思想进行解答。P是一个不确定的点，在矩形与等腰三角形性质下，有三种不同的位置，再运用勾股定理，可以解答出P点的坐标。二、等腰三角形分类问题等腰三角形分类问题属于分类讨论中经常考查的一类问题，中考考查频率高。常会涉及腰长与底边长的确定、底角与顶角的确定等。较为复杂的是与圆、坐标等结合起来进行综合考查，综合题型较为复杂，学生要把握等腰三角形性质的核心

5、，有效变通。例4：若（a-1）2+|b-2|=0，则以a、b为边长的等腰三角形周长为多少？【解答】先根据非负数性质求解出a与b的结果，得出a=1，b=2。再结合三角形三边的关系，两边之和大于第三边，两边之差小于第三边，得出腰只能为2，底只能为1，所以，周长为2+2+1=5。【分析】本题考查等腰三角形的性质、非负数的性质绝对值、非负数的性质偶次方、三角形三边关系的相关知识，需要运用到分类讨论思想，进行结果的分类讨论与说明。难点在于讨论求解的思路。例5：等腰三角形的一个角是80，则它顶角的度数是多少？【解答】80角是顶角时，三角形的顶角为80，80角是底角时，顶角为180-802=20。综上，该等

6、腰三角形顶角的度数为80或20。【分析】本题考查等腰三角形两个底角相等，两腰长度相等，再结合三角形基本性质，两边之和大于第三边，两边之差小于第三边，就能得出问题的答案。三、动点型分类讨论问题动点型分类讨论问题一般是中考题型中的压轴题，也是学生较为头疼的问题。解决这类问题需要牢固掌握基础知识，综合运用三角形、圆形、坐标系、运动理论等相关知识，找准问题的关键，把握变化量及运动要素，有效解决问题。例6：射线QN与等边ABC的两边AB，BC分别交于点M，N，且ACQN，AM=MB=2cm，QM=4cm.动点P从点Q出发，沿射线QN以每秒1cm的速度向右移动，经过t秒，以点P为圆心，3cm为半径的圆与A

7、BC的边相切（切点在边上），请写出t可取的一切值。【解答】结合切线的性质、等边三角形的性质相关知识，已知ABC为等边三角形，AM=MB=2cm，在沿射线QN以每秒1cm的速度向右移动的过程中，会有3种切线情况，分别如下图2、图3、图4。运用切线性质中直角三角形的勾股定理、等边三角形的相关知识，以及运动中速度、时间与路程的关系，得出图2中t=2，图3中t=3与t=7，图4中t=8。由分类讨论，总结得出答案为t=2或3t7或t=8。【分析】本题考查了等边三角形的性质，平行线的性质，勾股定理，含30角的直角三角形性质，切线的性质的应用，主要考查学生综合运用定理进行计算的能力，注意要进行分类讨论，将分

8、类讨论的结果进行总结归纳，得出正确结果，还需要进行再次检验，以求结果的准确性，提高解题效果。对于动点型分类讨论，重要是进行分类思想与方法的运用，全面考虑每种情况，并验证其正确性，再进行分类计算，总结出最后的结果，确保结果的全面、准确、有效。四、图形的拼接分类讨论在几何图形的拼接过程中，也运用到了分类讨论思想，拼接问题需要注意拼接的合理性，要从角度、长度进行配合，不能随意拼接，观察拼接后想要的图形，再整体规划拼接前的切线，找到切线，计算各部分线段的长度，再计算面积、周长等。例7：如图，有一张一个角为30，最小边长为2的直角三角形纸片，沿图中所示中位线剪开后，将两部分拼成一个四边形，所得四边形的周

9、长是多少？【解答】根据三角函数可以计算出BC=4，AC=23，再根据中位线的性质可得CD=AD=3，CF=BF=2，DF=1，然后拼图，出现两种情况，如图5与图6，一种是拼成一个矩形，另一种拼成一个平行四边形，进而算出周长即可。结合计算得出，所得四边形的周长是8或4+23。【分析】这道题主要考查了图形的剪拼，关键是根据条件画出图形，要考虑全面。实施分类讨论，采取数形结合的方法，全面分类与总结归纳。【总结】对于该类型问题的分析，需要画出图形，运用数形结合的方法，再加上空间想象能力的运用，有效实施分类讨论，得出正确结果。总之，分类讨论思想的应用非常广泛，需要深入到问题本质，展开思想方法的研究，发现数学本质属性的相同点与不同点，将研究对象有效分类。基于不遗漏、不重复的原则，展开