重庆市九龙坡区2023学年高三（最后冲刺）数学试卷（含解析）

1、2023学年高考数学模拟测试卷注意事项:1答题前，考生先将自己的姓名、准考证号码填写清楚，将条形码准确粘贴在条形码区域内。2答题时请按要求用笔。3请按照题号顺序在答题卡各题目的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效；在草稿纸、试卷上答题无效。4作图可先使用铅笔画出，确定后必须用黑色字迹的签字笔描黑。5保持卡面清洁，不要折暴、不要弄破、弄皱，不准使用涂改液、修正带、刮纸刀。一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1复数满足，则复数在复平面内所对应的点在（ ）A第一象限B第二象限C第三象限D第四象限2已知三棱锥中，是等边三角形，则三

2、棱锥的外接球的表面积为（ ）ABCD3已知是双曲线的两个焦点，过点且垂直于轴的直线与相交于两点，若，则的内切圆半径为（ ）ABCD4将3个黑球3个白球和1个红球排成一排，各小球除了颜色以外其他属性均相同，则相同颜色的小球不相邻的排法共有（ ）A14种B15种C16种D18种5已知等比数列的前项和为，若，且公比为2，则与的关系正确的是（ ）ABCD6若双曲线的一条渐近线与直线垂直，则该双曲线的离心率为（ ）A2BCD7设一个正三棱柱，每条棱长都相等，一只蚂蚁从上底面的某顶点出发，每次只沿着棱爬行并爬到另一个顶点，算一次爬行，若它选择三个方向爬行的概率相等，若蚂蚁爬行10次，仍然在上底面的概率为，

3、则为（ ）ABCD8若集合，则=（ ）ABCD9函数的大致图象为（ ）ABCD10定义域为R的偶函数满足任意，有，且当时，.若函数至少有三个零点，则的取值范围是（ ）ABCD11设点是椭圆上的一点，是椭圆的两个焦点，若，则（ ）ABCD12设，则（ ）ABCD二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。13已知三棱锥的四个顶点都在球的球面上，则球的表面积为_.14已知双曲线（，）的左，右焦点分别为，过点的直线与双曲线的左，右两支分别交于，两点，若，则双曲线的离心率为_. 15曲线在点（1，1）处的切线与轴及直线=所围成的三角形面积为，则实数=_。16设、是表面积为的球的球面上五点，四边形为

4、正方形，则四棱锥体积的最大值为_.三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17（12分）在平面直角坐标系xOy中，抛物线C：，以坐标原点O为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，直线l的极坐标方程为（）.（1）求抛物线C的极坐标方程；（2）若抛物线C与直线l交于A，B两点，求的值.18（12分）已知函数，其中（1）求函数的单调区间；若满足，且求证： （2）函数若对任意，都有，求的最大值19（12分）已知数列的前项和为，且满足，各项均为正数的等比数列满足（1）求数列的通项公式；（2）若，求数列的前项和20（12分）如图,在四棱锥中,四边形是直角梯形, 底面 ,是的中点.（1

5、）.求证:平面平面;（2）.若二面角的余弦值为,求直线与平面所成角的正弦值.21（12分）网络看病就是国内或者国外的单个人、多个人或者单位通过国际互联网或者其他局域网对自我、他人或者某种生物的生理疾病或者机器故障进行查找询问、诊断治疗、检查修复的一种新兴的看病方式.因此，实地看病与网络看病便成为现在人们的两种看病方式，最近某信息机构调研了患者对网络看病，实地看病的满意程度，在每种看病方式的患者中各随机抽取15名，将他们分成两组，每组15人，分别对网络看病，实地看病两种方式进行满意度测评，根据患者的评分（满分100分）绘制了如图所示的茎叶图：（1）根据茎叶图判断患者对于网络看病、实地看病那种方式

6、的满意度更高？并说明理由；（2）若将大于等于80分视为“满意”，根据茎叶图填写下面的列联表：满意不满意总计网络看病实地看病总计并根据列联表判断能否有的把握认为患者看病满意度与看病方式有关？（3）从网络看病的评价“满意”的人中随机抽取2人，求这2人平分都低于90分的概率.附，其中.0.150.100.050.0250.0100.0050.0012.0722.7063.8415.0246.6357.87910.82822（10分）如图，在平面直角坐标系xOy中，已知椭圆的离心率为，以椭圆C左顶点T为圆心作圆，设圆T与椭圆C交于点M与点N.（1）求椭圆C的方程；（2）求的最小值，并求此时圆T的方程；

7、（3）设点P是椭圆C上异于M，N的任意一点，且直线MP，NP分别与x轴交于点R，S，O为坐标原点，求证：为定值.2023学年模拟测试卷参考答案（含详细解析）一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1、B【答案解析】设,则,可得,即可得到,进而找到对应的点所在象限.【题目详解】设,则,所以复数在复平面内所对应的点为,在第二象限.故选:B【答案点睛】本题考查复数在复平面内对应的点所在象限,考查复数的模,考查运算能力.2、D【答案解析】根据底面为等边三角形，取中点，可证明平面，从而，即可证明三棱锥为正三棱锥.取底面等边的重心为，可求得到平

8、面的距离，画出几何关系，设球心为，即可由球的性质和勾股定理求得球的半径，进而得球的表面积.【题目详解】设为中点，是等边三角形，所以，又因为，且，所以平面，则，由三线合一性质可知所以三棱锥为正三棱锥，设底面等边的重心为，可得，所以三棱锥的外接球球心在面下方，设为，如下图所示：由球的性质可知，平面，且在同一直线上，设球的半径为，在中，即，解得，所以三棱锥的外接球表面积为，故选：D.【答案点睛】本题考查了三棱锥的结构特征和相关计算，正三棱锥的外接球半径求法，球的表面积求法，对空间想象能力要求较高，属于中档题.3、B【答案解析】首先由求得双曲线的方程，进而求得三角形的面积，再由三角形的面积等于周长乘以

9、内切圆的半径即可求解.【题目详解】由题意将代入双曲线的方程,得则,由,得的周长为,设的内切圆的半径为,则,故选：B【答案点睛】本题考查双曲线的定义、方程和性质，考查三角形的内心的概念，考查了转化的思想，属于中档题.4、D【答案解析】采取分类计数和分步计数相结合的方法，分两种情况具体讨论，一种是黑白依次相间，一种是开始仅有两个相同颜色的排在一起【题目详解】首先将黑球和白球排列好，再插入红球.情况1：黑球和白球按照黑白相间排列（“黑白黑白黑白”或“白黑白黑白黑”），此时将红球插入6个球组成的7个空中即可，因此共有27=14种；情况2：黑球或白球中仅有两个相同颜色的排在一起（“黑白白黑白黑”、“黑白

10、黑白白黑”、“白黑黑白黑白”“白黑白黑黑白”），此时红球只能插入两个相同颜色的球之中，共4种.综上所述，共有14+4=18种.故选：D【答案点睛】本题考查排列组合公式的具体应用，插空法的应用，属于基础题5、C【答案解析】在等比数列中，由即可表示之间的关系.【题目详解】由题可知，等比数列中，且公比为2，故故选：C【答案点睛】本题考查等比数列求和公式的应用，属于基础题.6、B【答案解析】由题中垂直关系，可得渐近线的方程，结合，构造齐次关系即得解【题目详解】双曲线的一条渐近线与直线垂直双曲线的渐近线方程为，得则离心率故选：B【答案点睛】本题考查了双曲线的渐近线和离心率，考查了学生综合分析，概念理解，

11、数学运算的能力，属于中档题.7、D【答案解析】由题意，设第次爬行后仍然在上底面的概率为.若上一步在上面，再走一步要想不掉下去，只有两条路，其概率为；若上一步在下面，则第步不在上面的概率是.如果爬上来，其概率是，两种事件又是互斥的,可得，根据求数列的通项知识可得选项.【题目详解】由题意，设第次爬行后仍然在上底面的概率为.若上一步在上面，再走一步要想不掉下去，只有两条路，其概率为；若上一步在下面，则第步不在上面的概率是.如果爬上来，其概率是，两种事件又是互斥的,，即，数列是以为公比的等比数列，而，所以，当时，故选：D.【答案点睛】本题考查几何体中的概率问题，关键在于运用递推的知识，得出相邻的项的关

12、系，这是常用的方法，属于难度题.8、C【答案解析】求出集合，然后与集合取交集即可【题目详解】由题意，则，故答案为C.【答案点睛】本题考查了分式不等式的解法，考查了集合的交集，考查了计算能力，属于基础题9、A【答案解析】利用特殊点的坐标代入，排除掉C，D；再由判断A选项正确.【题目详解】，排除掉C，D；，.故选：A【答案点睛】本题考查了由函数解析式判断函数的大致图象问题，代入特殊点，采用排除法求解是解决这类问题的一种常用方法，属于中档题.10、B【答案解析】由题意可得的周期为，当时，令，则的图像和的图像至少有个交点，画出图像，数形结合，根据，求得的取值范围.【题目详解】是定义域为R的偶函数，满足

13、任意，令，又，为周期为的偶函数，当时，当，当，作出图像，如下图所示：函数至少有三个零点，则的图像和的图像至少有个交点，若，的图像和的图像只有1个交点，不合题意，所以，的图像和的图像至少有个交点，则有，即，.故选:B.【答案点睛】本题考查函数周期性及其应用，解题过程中用到了数形结合方法，这也是高考常考的热点问题，属于中档题.11、B【答案解析】，故选B点睛：本题主要考查利用椭圆的简单性质及椭圆的定义. 求解与椭圆性质有关的问题时要结合图形进行分析，既使不画出图形，思考时也要联想到图形，当涉及顶点、焦点、长轴、短轴等椭圆的基本量时，要理清它们之间的关系，挖掘出它们之间的内在联系. 12、D【答案解

14、析】集合是一次不等式的解集，分别求出再求交集即可【题目详解】，则故选【答案点睛】本题主要考查了一次不等式的解集以及集合的交集运算，属于基础题二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。13、【答案解析】如图所示，将三棱锥补成长方体，球为长方体的外接球，长、宽、高分别为，计算得到，得到答案.【题目详解】如图所示，将三棱锥补成长方体，球为长方体的外接球，长、宽、高分别为，则，所以，所以球的半径，则球的表面积为.故答案为：.【答案点睛】本题考查了三棱锥的外接球问题，意在考查学生的计算能力和空间想象能力，将三棱锥补成长方体是解题的关键.14、【答案解析】设，由双曲线的定义得出：，由得为等腰三角形，

15、设，根据，可求出，得出，再结合焦点三角形，利用余弦定理：求出和的关系，即可得出离心率.【题目详解】解：设，由双曲线的定义得出：，由图可知：，又，即，则，为等腰三角形，设，则，即，解得：，则，解得：，解得：，在中，由余弦定理得：，即：，解得： ，即. 故答案为：.【答案点睛】本题考查双曲线的定义的应用，以及余弦定理的应用，求双曲线离心率.15、或1【答案解析】利用导数的几何意义，可得切线的斜率，以及切线方程，求得切线与轴和的交点，由三角形的面积公式可得所求值【题目详解】的导数为，可得切线的斜率为3，切线方程为，可得，可得切线与轴的交点为，切线与的交点为，可得，解得或。【答案点睛】本题主要考查利用

16、导数求切线方程，以及直线方程的运用，三角形的面积求法。16、【答案解析】根据球的表面积求得球的半径，设球心到四棱锥底面的距离为，求得四棱锥的表达式，利用基本不等式求得体积的最大值.【题目详解】由已知可得球的半径，设球心到四棱锥底面的距离为，棱锥的高为，底面边长为，的体积，当且仅当时等号成立.故答案为：【答案点睛】本小题主要考查球的表面积有关计算，考查球的内接四棱锥体积的最值的求法，属于中档题.三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17、（1）（2）【答案解析】(1)利用极坐标和直角坐标的互化公式，,即可求得结果.(2) 由的几何意义得,. 将代入抛物线C的方程,利用韦达

17、定理，即可求得结果.【题目详解】（1）因为，代入得，所以抛物线C的极坐标方程为.（2）将代入抛物线C的方程得，所以，所以，由的几何意义得，.【答案点睛】本题考查直角坐标和极坐标的转化,考查极坐标方程的综合应用,考查了学生综合分析,转化与划归,数学运算的能力,难度一般.18、（1）单调递增区间，单调递减区间；详见解析；（2）.【答案解析】(1)求导可得,再分别求解与的解集,结合定义域分析函数的单调区间即可.根据(1)中的结论,求出的表达式,再分与两种情况,结合函数的单调性分析的范围即可.(2)求导分析的单调性,再结合单调性,设去绝对值化简可得,再构造函数,根据函数的单调性与恒成立问题可知,再换元

18、表达求解最大值即可.【题目详解】解：,由可得或,由可得,故函数的单调递增区间,单调递减区间；,或,若,因为,故,由知在上单调递增,若由可得x1,因为,所以,由在上单调递增,综上时,在上单调递减,不妨设由(1)在上单调递减,由,可得,所以, 令,可得单调递减,所以在上恒成立,即在上恒成立,即,所以, ,所以的最大值【答案点睛】本题主要考查了分类讨论分析函数单调性的问题,同时也考查了利用导数求解函数不等式以及构造函数分析函数的最值解决恒成立的问题.需要根据题意结合定义域与单调性分析函数的取值范围与最值等.属于难题.19、（1）；（2）【答案解析】（1）由化为，利用数列的通项公式和前n项和的关系，得

19、到是首项为，公差为的等差数列求解.（2）由（1）得到，再利用错位相减法求解.【题目详解】（1）可以化为，又时，数列从开始成等差数列，代入得是首项为，公差为的等差数列，.（2）由（1）得，两式相减得，.【答案点睛】本题主要考查数列的通项公式和前n项和的关系和错位相减法求和，还考查了运算求解的能力，属于中档题.20、（1）见解析；（2）.【答案解析】试题分析：（1）根据平面有，利用勾股定理可证明，故平面，再由面面垂直的判定定理可证得结论；（2）在点建立空间直角坐标系，利用二面角的余弦值为建立方程求得，在利用法向量求得和平面所成角的正弦值.试题解析：（） 平面平面因为,所以,所以,所以,又，所以平面

20、.因为平面，所以平面平面（）如图，以点为原点， 分别为轴、轴、轴正方向，建立空间直角坐标系，则.设，则取，则为面法向量设为面的法向量，则，即，取，则依题意，则于是设直线与平面所成角为，则即直线与平面所成角的正弦值为21、（1）实地看病的满意度更高，理由见解析；（2）列联表见解析，有；（3）.【答案解析】（1）对实地看病满意度更高，可以从茎叶图四个方面选一个回答即可；（2）先完成列联表，再由独立性检验得有的把握认为患者看病满意度与看病方式有关；（3）利用古典概型的概率公式求得这2人平分都低于90分的概率.【题目详解】（1）对实地看病满意度更高，理由如下：（i）由茎叶图可知：在网络看病中，有的患者满意度评分低于80分；在实地看病中，有的患者评分高于80分，因此患者对实地看病满意度更高.（ii）由茎叶图可知：网络看病满意度评分的中位数为73分，实地看病评分的中位数为87分，因此患者对实地看病满意度更高.（iii）由茎叶图可知：网络看病的满意度评分平均分低于80分；实地看病的满意度的评分平均分高于80分，因此患者对实地看病满意度更高.（iV）由茎叶图可知：网络看病的满意度评分在茎6上的最多，关于茎7大致呈对称分布；实地看病的评分分布在茎8，上的最多，关于茎8大致呈对称分布，又两种看病方式打分的分布区间相同，故可以认为实地看病评分比网络看病打分更高，因此实地看病的