用平均值法和掷点法计算一维定积分

1、用平均值法和掷点法计算一维定积分一、课题名称：用平均值法和掷点法计算一维定积分二、班级和姓名：*三、主要内容：a.一维定积分计算的平均值法期望值估计法)研究的内容和算法一般规则：任何一个积分，都可看作某个随机变量的期望值，因 此可以用这个随机变量的平均值来近似它。要求积分 I真bg(z)dz, z a,b, 0 L g (z) M(Z a)1先做变量代换，则，b a， x 0，1【真0 g(x)dx若 L手0, M 手0, (f(xf(X)1 fe,(x归一化可得M L,I 1 f ( x ) dx 0 x 1 ,0 f (x )10如果在x的定义域0,1内均匀的随机取点，该均匀分布的随机变

2、量记为1可得到另一随机变量n1则1 f(1),有 E E f ( )1 , n1的期望值等于积分值。只要抽取足够多的随机点，f(的平均值等于A 1 f( i)i 1源程序#include#include#includeusing namespace std; doublerandx,randnum; unsigned long randi=1; const unsigned long randa=16807; unsigned long randm=pow(2,31)-1;voidrandom_number()if(randi=randm)randi=randi-1;randi=(randa*

3、randi)%randm;randx=randi;randnum=randx/randm;return;int main(void)doubleu,fun,x;int amount;cout 入次数amount;for(inti=1;i=amount;i+)double sum=0;for(int j=1;j=i;j+)random_number();u=randnum;x=4*u;fun=4*x*x*exp(-x);sum=sum+fun;if(i=amount)coutsum/amountendl;计算结果输入 10000 次，得 =1.52164b.一维定积分计算的掷点法研究的内容和算法

4、对于积分101 f（X）dX，操作步骤：在单位正方形内均匀投点，每个点的坐标为（xi,yi共做N次投点。如果投点满足不等式 yif（Q）即点落在曲线f（XF，则记录下投点次数认为试验成功）；反之，则认为试验失败。而蒙特卡洛方法：就是产生随机数1, /如果ei f,（则2认为试验成功；否则，则试验失败。若在N次试验中有川次成功，则比值m/N就给出I值m/N就给出I的一个无偏估计值：1二。取随机变量，（，）1，I E （1 ,2 ）0,12f( 2) f(,N次实验下的无偏估计值。I(1，2)源程序#include#include#include using namespace std;doubl

5、erandx,randnum;unsigned long randi=1;const unsigned long randa=16807;unsigned long randm=pow(2,31)-1;voidrandom_number()if(randi=randm)randi=randi-1;randi=(randa*randi)%randm;randx=randi;randnum=randx/randm;return;int main(void)double u,v,fun,m,fun1;int amount;cout 入次数amount;for(double i=1;i=amount;

6、i+)double m=0;for(int j=1;j=i;j+)random_number();u=randnum;random_number();v=randnum;fun=64*u*u*exp(-4*u);fun1=fun/4;if(v=fun1)m=m+1;if(i=amount)cout4*m/amountendl;计算结果输入 10000 次，得 I=1.5528四、两种方法的比较类型数值误差真实值I1.523790平均值法I11.521642.15*10-3掷点法I1.552829*10-3显然，平均值法更加准确。五、观察其中平均值法投点数对观察值及其误差的影响。1=1.52379投点数测量值I1误差25001.536