2022年湖南省长沙市岳麓区湖南师大附中数学高二第二学期期末质量跟踪监视试题含解析

1、2021-2022高二下数学模拟试卷注意事项：1答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号、考场号和座位号填写在试题卷和答题卡上。用2B铅笔将试卷类型（B）填涂在答题卡相应位置上。将条形码粘贴在答题卡右上角条形码粘贴处。2作答选择题时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目选项的答案信息点涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案。答案不能答在试题卷上。3非选择题必须用黑色字迹的钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内相应位置上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新答案；不准使用铅笔和涂改液。不按以上要求作答无效。4考生必须保证答题卡的整洁。考试结束后，请将本试卷和答题

2、卡一并交回。一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1双曲线的焦点坐标是ABCD2已知双曲线的一条渐近线与轴所形成的锐角为，则双曲线的离心率为（ ）ABC2D或23的展开式中，的系数为（ ）ABC30D4已知：，且，若恒成立，则实数的取值范围是（ ）ABCD5已知XB(5,14)，则A54B72C36已知函数，若与的图象上分别存在点、，使得、关于直线对称，则实数的取值范围是（ ）ABCD7已知是定义在上的偶函数，且在上为增函数，则的解集为（ ）ABCD8 （ ）A9B12C15D39已知函数g（x）=loga（x3）+2（a0，a1

3、）的图象经过定点M，若幂函数f（x）=x的图象过点M，则的值等于（）A1B12C2D10某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为（ ）ABC3D11的展开式存在常数项，则正整数的最小值为（）A5B6C7D1412在极坐标中，点到圆的圆心的的距离为（ ）ABCD二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。13已知，则_.14已知棱长为的正方体中，分别是和的中点，点到平面的距离为_15某高中十佳校园主持人比赛上某一位选手得分的茎叶统计图如图所示，去掉一个最高分和一个最低分后，所剩数据的方差为_16在空间四边形中，若分别是的中点，是上点，且，记，则_.三、解答题：共70分。解答应写出文字说明

4、、证明过程或演算步骤。17（12分）已知命题p：函数的定义域为R；命题q：双曲线的离心率，若“”是真命题，“”是假命题，求实数a的取值范围18（12分）如图，已知椭圆与椭圆的离心率相同（1）求的值；（2）过椭圆的左顶点作直线，交椭圆于另一点，交椭圆于两点（点在之间）求面积的最大值（为坐标原点）；设的中点为，椭圆的右顶点为，直线与直线的交点为，试探究点是否在某一条定直线上运动，若是，求出该直线方程；若不是，请说明理由19（12分）已知集合，.（1）求；（2）若“”是“”的必要不充分条件，求实数a的取值范围.20（12分）设命题：方程表示双曲线；命题：“方程表示焦点在轴上的椭圆”. （1）若和均为

5、真命题，求的取值范围;（2）若为真命题，为假命题，求实数的取值范围.21（12分）已知函数（1）解不等式；（2）若对恒成立，求实数的取值范围22（10分）设函数.（1）化简：；（2）已知：，求的表达式；（3），请用数学归纳法证明不等式.参考答案一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1、C【解析】分析：由题意求出，则，可得焦点坐标详解：由双曲线，可得，故双曲线的焦点坐标是选C.点睛：本题考查双曲线的焦点坐标的求法，属基础题.2、C【解析】转化条件得，再利用即可得解.【详解】由题意可知双曲线的渐近线为，又 渐近线与轴所形成的锐角为，双

6、曲线离心率.故选：C.【点睛】本题考查了双曲线的性质，属于基础题.3、B【解析】将二项式表示为，利用二项展开式通项，可得出，再利用完全平方公式计算出展开式中的系数，乘以可得出结果.【详解】，其展开式通项为，由题意可得，此时所求项为，因此，的展开式中，的系数为，故选B.【点睛】本题考查三项展开式中指定项的系数，解题时要将三项视为两项相加，借助二项展开式通项求解，考查运算求解能力，属于中等题.4、A【解析】若恒成立,则的最小值大于,利用均值定理及“1”的代换求得的最小值,进而求解即可.【详解】由题,因为,所以,当且仅当,即,时等号成立,因为恒成立,则,即,解得,故选:A【点睛】本题考查均值不等式中

7、“1”的代换的应用,考查利用均值定理求最值,考查不等式恒成立问题.5、B【解析】利用二项分布的数学期望，计算出EX，再利用期望的性质求出E【详解】XB5,14，E故选：B。【点睛】本题考查二项分布的数学期望与期望的性质，解题的关键就是利用二项分布的期望公式以及期望的性质，考查计算能力，属于基础题。6、A【解析】先求得关于对称函数，由与图像有公共点来求得实数的取值范围.【详解】设函数上一点为，关于对称点为，将其代入解析式得，即.在同一坐标系下画出和的图像如下图所示，由图可知，其中是的切线.由得，而，只有A选项符合，故选A.【点睛】本小题主要考查函数关于直线对称函数解析式的求法，考查两个函数有交点

8、问题的求解策略，考查数形结合的数学思想方法，考查化归与转化的数学思想方法，属于中档题.7、B【解析】是定义在上的偶函数，即，则函数的定义域为函数在上为增函数，故两边同时平方解得，故选8、A【解析】分析：直接利用排列组合的公式计算.详解：由题得.故答案为A.点睛：（1）本题主要考查排列组合的计算，意在考查学生对这些基础知识的掌握水平和基本的运算能力.(2) 排列数公式 ：=(，且)组合数公式：=(，且)9、B【解析】由对数函数的性质得到点M（4，2）在幂函数f（x）=x的图象上，由此先求出幂函数f（x），从而能求出的值【详解】y=loga（x3）+2（a0，a1）的图象过定点M，M（4，2），点

9、M（4，2）也在幂函数f（x）=x的图象上，f（4）=4=2，解得=12故选B【点睛】本题考查函数值的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意对数函数、幂函数的性质的合理运用10、D【解析】分析：作出三视图的直观图，然后根据组合体计算体积即可.详解：如图所示：由一个三棱柱截取G-DEF三棱锥后所剩下的图形，故该几何体的体积为：，故答案为选D.点睛：考查三视图还原为直观图后求解体积的计算，对直观图的准确还原是解题关键，属于中档题.11、C【解析】化简二项式展开式的通项公式，令的指数为零，根据为正整数，求得的最小值.【详解】，令，则，当时，有最小值为7.故选C.【点睛】本小题主要考查二项式展开式的通

10、项公式，考查与正整数有关问题，属于基础题.12、C【解析】分析：先把点的坐标和圆的方程都化成直角坐标方程，再求点到圆心的距离得解.详解：由题得点的坐标为，因为，所以，所以圆心的坐标为（2,0），所以点到圆心的距离为，故答案为：C.点睛：（1）本题主要考查极坐标和直角坐标的互化，考查两点间的距离的求法，意在考查学生对这些知识的掌握水平. （2）极坐标化直角坐标的公式为二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。13、【解析】将分子化为，然后在分式的分子和分母中同时除以，利用弦化切的思想进行计算.【详解】，故答案为.【点睛】本题考查利用弦化切思想进行求值，弦化切一般适用于以下两种情况：（1）分

11、式是关于角的次分式齐次式，在分式的分子和分母中同时除以，可将分式化为切的代数式进行计算；（2）角弦的二次整式，先除以，将代数式化为角的二次分式齐次式，然后在分式的分子和分母中同时除以，可将代数式化为切的代数式进行计算.14、1【解析】以D点为原点，的方向分别为轴建立空间直角坐标系，求出各顶点的坐标，进而求出平面的法向量，代入向量点到平面的距离公式，即可求解【详解】以为坐标原点，的方向分别为，轴的正方向，建立空间直角坐标系，则，所以，设是平面的法向量，则，即，令，可得，故，设点在平面上的射影为，连接，则是平面的斜线段，所以点到平面的距离【点睛】本题主要考查了空间向量在求解距离中的应用，对于利用空

12、间向量求解点到平面的距离的步骤通常为：求平面的法向量；求斜线段对应的向量在法向量上的投影的绝对值，即为点到平面的距离空间中其他距离问题一般都可转化为点到平面的距离求解着重考查了推理与运算能力，属于基础题.15、【解析】由题意，去掉一个最高分和一个最低分后，所剩数据为83，84，85，86，87，先求出所剩数据的平均数，由此能求出所剩数据的方差【详解】解：某高中十佳校园主持人比赛上某一位选手得分的茎叶统计图如图所示，去掉一个最高分和一个最低分后，所剩数据为：83，84，85，86，87，所剩数据的平均数为：，所剩数据的方差为：故答案为1【点睛】本题考查方差的求法，考查茎叶图、平均数、方差等基础知

13、识，考查运算求解能力，考查函数与方程思想，是基础题16、【解析】由条件可得【详解】因为，分别是的中点所以所以故答案为：【点睛】本题考查的是空间向量的线性运算，较简单.三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17、或【解析】分别求出p，q真时的a的范围，再根据p真q假或p假q真得到a的范围取并集即可【详解】解：若命题p真，则在上恒成立则有，解得；若命题q真，则，解得由“”是真命题，“”是假命题，知p与q必为一真一假，若p真q假，则，得；若p假q真，则，得综合得a的范围为或【点睛】本题考查了复合命题的判断，考查对数函数、双曲线的性质，属于基础题18、（1）；（2）；点在定直线

14、上【解析】（1）利用两个椭圆离心率相同可构造出方程，解方程求得结果；（2）当与轴重合时，可知不符合题意，则可设直线的方程：且；设，联立直线与椭圆方程可求得，则可将所求面积表示为：，利用换元的方式将问题转化为二次函数的最值的求解，从而求得所求的最大值；利用中点坐标公式求得，则可得直线的方程；联立直线与椭圆方程，从而可求解出点坐标，进而得到直线方程，与直线联立解得坐标，从而可得定直线.【详解】(1) 由椭圆方程知：， 离心率：又椭圆中， ，又，解得：（2）当直线与轴重合时，三点共线，不符合题意故设直线的方程为：且设，由（1）知椭圆的方程为：联立方程消去得：即：解得：，又令，此时面积的最大值为：由知

15、： 直线的斜率：则直线的方程为：联立方程消去得：，解得： 则直线的方程为：联立直线和的方程，解得：点在定直线上运动【点睛】本题考查直线与椭圆的综合应用问题，涉及到椭圆方程的求解、椭圆中的三角形面积最值的求解、椭圆中的定直线问题；解决定直线问题的关键是能够通过已知条件求得所求点坐标中的定值，从而确定定直线；本题计算量较大，对于学生的运算与求解能力有较高的要求.19、 (1) .(2) .【解析】分析：（1）先求出A,B集合的解集，A集合求定义，B集合解不等式即可，然后由交集定义即可得结论；（2）若“”是“”的必要不充分条件，说明且，然后根据集合关系求解.详解：(1), 则 (2)，因为“”是“”

16、的必要不充分条件，所以且 由，得，解得 经检验，当时，成立，故实数的取值范围是 点睛：考查定义域，解不等式，交集的定义以及必要不充分条件，正确求解集合，缕清集合间的基本关系是解题关键，属于基础题.20、（1）；（2）或【解析】（1）根据双曲线方程和椭圆方程的标准形式，可得同时成立，从而求出；（2）为真命题，为假命题，则、一真一假，再根据集合的交、补运算求得或.【详解】（1）若为真命题，则，解得：或.若为真命题，则，解得：.若和均为真命题时，则的取值范围为.（2）若为真命题，为假命题，则、一真一假.当真假时，解得：或当假真时，无解综上所述：的取值范围为或.【点睛】本题以椭圆、双曲线方程的标准形式

17、为背景，与简易逻辑知识进行交会，本质考查集合的基本运算.21、（1）；（2）.【解析】（1）利用分段讨论法去掉绝对值，求出不等式f（x）-f（2x+4）2的解集；（2）由绝对值不等式的意义求出f（x）+f（x+3）的最小值，得出关于m的不等式，求解即可【详解】解：（1）由题知不等式，即，等价于，或，或；解得或或，即或，原不等式的解集为，；（2）由题知，的最小值为3，解得，实数的取值范围为，【点睛】本题考查了含有绝对值的不等式解法与应用问题，也考查了不等式恒成立问题，是基础题22、（1）；（2）；（3）证明见解析.【解析】（1）利用组合数公式化简后可得出结果；（2）由（1）得出，令可得，化简得出