高考圆锥曲线中点弦问题 讲义-高三数学一轮复习

1、圆锥曲线中点弦问题题型识别：弦中点，斜率积用点差若，是椭圆上不重合的两点，点为的中点，的值为定值么？答题模版第一步：若，是椭圆上不重合的两点，则，第二步：两式相减得，第三步：是直线的斜率，是线段的中点，化简可得类型1 求中点弦直线斜率或方程典例1：已知椭圆：，为坐标原点，作斜率为的直线交椭圆于，两点，线段的中点为，直线与的夹角为，且，则（ ）A B C D【答案】A【解析】由题意知，设，则，将，两点坐标代入椭圆方程，两式相减得，则，设直线的倾斜角为，则，设直线的倾斜角为，则，则，解得.对点训练1.已知是直线被椭圆所截得线段的中点，则直线的方程是 A B C D2.已知双曲线与不过原点且不平行于

2、坐标轴的直线相交于两点，线段的中点为，设直线的斜率为，直线的斜率为，则（ ）A B C D3.已知双曲线上存在两点M,N关于直线对称，且MN的中点在抛物线上，则实数m的值为（ ）A4 B-4 C0或4 D0或-4类型2 求曲线的标准方程典例2：已知椭圆的左右焦点分别为，过左焦点作斜率为2的直线与椭圆交于两点，的中点是，为坐标原点，若直线的斜率为，则的值是（ ）A2 B C D【答案】D【解析】设A（x1，y1），B（x2，y2），则，1，两式相减可得（x1x2）（x1+x2）（y1y2）（y1+y2）0，P为线段AB的中点，2xpx1+x2，2ypy1+y2，又kAB2，即，对点训练1.椭圆与

3、直线交于、两点，过原点与线段中点的直线的斜率为，则的值为（ ）A B C D2.若双曲线的中心为原点，是双曲线的焦点，过的直线与双曲线相交于，两点，且的中点为则双曲线的方程为（ ）A B C D3.已知抛物线C的顶点为原点，焦点在x轴上，直线yx与抛物线C交于A，B两点，若P(2，2)为AB的中点，则抛物线C的方程为( )By2=4x By2类型三 点差法求离心率典例3：已知A，B是椭圆E：的左、右顶点，M是E上不同于A，B的任意一点，若直线AM，BM的斜率之积为，则E的离心率为（ ）A B C D【答案】D【解析】由题意方程可知，设,则 ,，整理得：，又，得，即，联立，得，即，解得对点训练1

4、.设椭圆的两焦点为，若椭圆上存在点，使，则椭圆的离心率的取值范围为( ).A B C D2.经过双曲线的右焦点，倾斜角为的直线与双曲线的右支有且只有一个交点，则此双曲线离心率的取值范围是（ ）A2，+） B（1，2） C（1，2 D（2，+）3.已知双曲线的两条渐近线分别为与，与为上关于原点对称的两点，为上一点且，则双曲线离心率的值为（ ）A B C D综合训练1.已知 m,n,s,tR，m+n=3，ms+nt=1，其中m，n是常数且mn，若s+t的最小值是3+22A. x2y+3=0 B. 4x2y3=0 C. x+y3=0 D. 2x+y4=02.已知椭圆的右焦点为，离心率，过点的直线交椭

5、圆于两点，若中点为，则直线的斜率为（ ）A2 B C D3.已知双曲线上有不共线的三点，且的中点分别为，若的斜率之和为-2，则 （ ）A-4 B C4 D64.若双曲线的中心为原点，是双曲线的焦点，过F直线l与双曲线交于M，N两点，且MN的中点为，则双曲线的方程为 A B C D5.椭圆mx2ny21与直线y1x交于M，N两点，过原点与线段MN中点所在直线的斜率为，则的值是( )A B C D6.中心为原点，一个焦点为F（0,5）的椭圆，截直线y3x2所得弦中点的横坐标为，则该椭圆方程为（ ）A B C D7.已知椭圆的左、右顶点分别为A，B，点M为椭圆C上异于A，B的一点，直线AM和直线BM

6、的斜率之积为，则椭圆C的离心率为（ ）A B C D8.已知椭圆，的一条弦所在的直线方程是，弦的中点坐标是，则椭圆的离心率是（ ）A B C D圆锥曲线中点弦问题解析题型识别：弦中点，斜率积用点差若，是椭圆上不重合的两点，点为的中点，的值为定值么？答题模版第一步：若，是椭圆上不重合的两点，则，第二步：两式相减得，第三步：是直线的斜率，是线段的中点，化简可得类型1 求中点弦直线斜率或方程典例1：已知椭圆：，为坐标原点，作斜率为的直线交椭圆于，两点，线段的中点为，直线与的夹角为，且，则（ ）A B C D【答案】A【解析】由题意知，设，则，将，两点坐标代入椭圆方程，两式相减得，则，设直线的倾斜角为

7、，则，设直线的倾斜角为，则，则，解得.对点训练1.已知是直线被椭圆所截得线段的中点，则直线的方程是 A B C D【答案】B【解析】设直线和圆锥曲线交点为，其中点坐标为，当斜率不存在时，显然不成立，设，分别代入圆锥曲线的解析式，并作差，利用平方差公式对结果进行因式分解，得，得，所以，即：2.已知双曲线与不过原点且不平行于坐标轴的直线相交于两点，线段的中点为，设直线的斜率为，直线的斜率为，则（ ）A B C D【答案】A【解析】设直线l的方程为，代入双曲线方程，得到，得到，设，则，则，故，故选A3.已知双曲线上存在两点M,N关于直线对称，且MN的中点在抛物线上，则实数m的值为（ ）A4 B-4

8、C0或4 D0或-4【答案】D【解析】MN关于y=x+m对称MN垂直直线y=x+m，MN的斜率1，MN中点P（x0，x0+m）在y=x+m上，且在MN上设直线MN：y=x+b，P在MN上，x0+m=x0+b，b=2x0+m 由消元可得：2x2+2bxb23=0 =4b242（b23）=12b2+120恒成立，Mx+Nx=b，x0=，b=MN中点P（，m）MN的中点在抛物线y2=9x上，m=0或m=4类型2 求曲线的标准方程典例2：已知椭圆的左右焦点分别为，过左焦点作斜率为2的直线与椭圆交于两点，的中点是，为坐标原点，若直线的斜率为，则的值是（ ）A2 B C D【答案】D【解析】设A（x1，y

9、1），B（x2，y2），则，1，两式相减可得（x1x2）（x1+x2）（y1y2）（y1+y2）0，P为线段AB的中点，2xpx1+x2，2ypy1+y2，又kAB2，即，对点训练1.椭圆与直线交于、两点，过原点与线段中点的直线的斜率为，则的值为（ ）A B C D【答案】C【解析】设点，联立，得：， ，设是线段的中点，（）直线的斜率为则,代入满足0（0，0）2.若双曲线的中心为原点，是双曲线的焦点，过的直线与双曲线相交于，两点，且的中点为则双曲线的方程为（ ）A B C D【答案】B【解析】由题意设该双曲线的标准方程为，则且，则，即，则，即，则，所以，即该双曲线的方程为.3.已知抛物线C的顶

10、点为原点，焦点在x轴上，直线yx与抛物线C交于A，B两点，若P(2，2)为AB的中点，则抛物线C的方程为( )By2=4x By2【答案】A【解析】设抛物线方程为y2=2px，直线与抛物线方程联立求得x22px=0，xA+xB=2p，xA+xB=22=4，p=2，类型三 点差法求离心率典例3：已知A，B是椭圆E：的左、右顶点，M是E上不同于A，B的任意一点，若直线AM，BM的斜率之积为，则E的离心率为（ ）A B C D【答案】D【解析】由题意方程可知，设,则 ,，整理得：，又，得，即，联立，得，即，解得对点训练1.设椭圆的两焦点为，若椭圆上存在点，使，则椭圆的离心率的取值范围为( ).A B

11、 C D【答案】C【解析】当P是椭圆的上下顶点时,最大，则椭圆的离心率的取值范围为.2.经过双曲线的右焦点，倾斜角为的直线与双曲线的右支有且只有一个交点，则此双曲线离心率的取值范围是（ ）A2，+） B（1，2） C（1，2 D（2，+）【答案】A【解析】已知双曲线的右焦点为F，若过点F且倾斜角为60的直线与双曲线的右支有且只有一个交点，则该直线的斜率的绝对值小于等于渐近线的斜率，离心率e2，e2，故选：A3.已知双曲线的两条渐近线分别为与，与为上关于原点对称的两点，为上一点且，则双曲线离心率的值为（ ）A B C D【答案】B【解析】设直线的方程为，则直线的方程为，设点、，则点，即，即，解得

12、，故选：B.综合训练1.已知 m,n,s,tR，m+n=3，ms+nt=1，其中m，n是常数且mn，若s+t的最小值是3+22A. x2y+3=0 B. 4x2y3=0 C. x+y3=0 D. 2x+y4=0【答案】D【解析】因为 m，n，s，t 为正数，m+n=3，ms+nt=1，s+t 的最小值是 3+22，所以 s+tms+nt 的最小值是 3+22，所以 s+tms+nt=m+n+mts+nstm+n+2mn，满足 mts=nst 时取最小值，此时最小值为 m+n+2mn=3+22，得：mn=2，又：m+n=3，所以，2.已知椭圆的右焦点为，离心率，过点的直线交椭圆于两点，若中点为，

13、则直线的斜率为（ ）A2 B C D【答案】C【解析】由题得.设，由题得，所以，两式相减得，所以，所以，所以.3.已知双曲线上有不共线的三点，且的中点分别为，若的斜率之和为-2，则 （ ）A-4 B C4 D6【答案】A【解析】设，则，两式相减，得，即，即，同理，得，所以.4.若双曲线的中心为原点，是双曲线的焦点，过F直线l与双曲线交于M，N两点，且MN的中点为，则双曲线的方程为 A B C D【答案】D【解析】根据题意，是双曲线的焦点，则双曲线的焦点在x轴上，设双曲线的方程为，且，直线MN过焦点F，则，则有，变形可得，又由，且，变形可得：，又由，则，解可得：，则要求双曲线的方程为：.5.椭圆

14、mx2ny21与直线y1x交于M，N两点，过原点与线段MN中点所在直线的斜率为，则的值是( )A B C D【答案】A【解析】设，设中点为，直线的斜率为，直线的斜率为.由于在椭圆上，故，两式相减得，化简为，即.6.中心为原点，一个焦点为F（0,5）的椭圆，截直线y3x2所得弦中点的横坐标为，则该椭圆方程为（ ）A B C D【答案】C【解析】由已知得c5，设椭圆的方程为，联立得，消去y得（10a2450）x212（a250）x4（a250）a2（a250）0，设直线y3x2与椭圆的交点坐标分别为（x1，y1），（x2，y2），由根与系数关系得x1x2，由题意知x1x21，即1，解得a275，所以该椭圆方程为.7.已知椭圆的左、右顶