重点高中物理竞赛精品讲义之-程稼夫篇

1、精心整理精心整理精心整理精心整理精心整理精心整理精心整理精心整理精心整理精心整理电磁学静电学1、静电场的性质个有源场。静电场是一个保守场，也是个有源场。6Fd=o高斯定理静电力环路积分等于零曲EdS=岂Eso电场强度与电势是描述同一静电场的两种办法，两者有联系工Edr=U-Uab过程Edr二-dU维情况下Edx=xdUdxe一dUxdx2、几个对称性的电场维情况下Edx=xdUdxe一dUxdx2、几个对称性的电场(1)球对称的电场场源1EU点电荷jI均匀对电球面1均匀带点球体例：一半径为Ri的球体均匀带电,体电荷密度为P，球内有一半径为R2的小球形空腔，空腔中心与与球心相距为a，如图求空腔中

2、心处的电场E求空腔中心处的电势U解：(1)在空腔中任选一点p,Ep可以看成两个均匀带电球体产生的电场P3E丄r亠C-7)3E23Ei2oo强度之差,令a=oo12这个与p在空腔中位置无关，所以空腔中心处可=沪（2）求空腔中心处的电势电势也满足叠加原理U可以看成两个均匀带电球体产生电势之差pTOC o 1-5 h z即U=（3R2-a2）R（3R2-0）=R3（R2-R2）a2o26E16E26EL12ooo假设上面球面上，有两个无限小面原sAS，计算s，受到除了s上电荷之处，球面ijii上其它电荷对S的静电力，这个静电力包含了S上电荷对s上电荷的作用力.iji同样s受到除了s上电荷以外，球面上

3、其它电荷对s上电荷的作用力，这个力同jij样包含了厶s对s的作用力.ij如果把这里的sis所受力相加，则s,s之间的相互作用力相抵消。jij出于这个想法，现在把上半球面分成无限小的面元,把每个面元上所受的静电力（除去各自小面元）相加，其和就是下半球面上的电荷对上半球面上电荷的作用力。电力f=电力f=?o法：F=f兀R2兀R2二出T=o2E2E14兀R2丿oo再观察下，均匀带电球面上的电场强度=?通常谈论的表面上电场强度是指什么？例:求均匀带电球面（Q,R），单位面积受到的静解:令RtR+R（R0），质量为m，该电子束从远处沿垂直于平行板电容极板方向射向电容器，其前端（右端）于t=0时刻刚好达到

4、电容器左极板，电容器两极板上多开一个小孔使电子可以不受阻碍地穿过电容器两极板AB，加有如图所示的变化电SVab，电压的最大最小值分别为+Vo,_Vo，周期为T,若以工表示每个周期中电压处于最大的时间间隔，则一T）是周期中电压处于最小的时间间隔，已知T的值正好使SVab变化的第一个周期内通过电容器达电容器右边的所有电子，能够在某一个时刻b形成均匀分布的一段电子束。设两级间距很小,，电子穿越时间，且mV2二6eVo，不计电子间相互作用（1）满足题给条件的T,U的值分别为？（2）试在下图中画出t=2T那一刻，在02T时间内通过电容器的电子在电容器的右侧空间形成电流I,随离开右极板距离x的变化曲线，并

5、在图上标出图线特征点的横、纵坐标。取Xlev正方向为电流正方向，图中x=0处为右极板B的小孔位置，横坐标单位S=T0m解：（1）第一个周期内通过的所有电子在通过前是一段速度为V的均匀电子束（孔的左侧）。通过小孔以后，分成两段速度不同的电子束。0T时间内，所加电压为+V0，通过小孔后速度由V减小，设为V1,满足关系TT时间内，所加电压为V0，通过小孔后速度由V增大，设为V2,满足关系式，再由题中告知：T的值正好在VAB的变化的第一个周期内通过电容器达右边的所有电子，能够在b时刻形成均匀分布的一段电子束V此话要求在tJb时刻，达到小孔右侧的这两束电子束在前端应该在某处相重达到小孔右侧的两电子束的长

6、度相等由此可写方程（3）由于tb二2T，观察的就是这个时刻右侧空间的电流分布，应该确定两件事情:电流在空间位置的分布电流强度的大小分布电子束长度4、静电势能、电势例1：如图所示N对e、-e离子，等间距a,沿直线排列精心整理（1）设N-a，试确定某个e的电势能W+和-e的电势能W_（2）N足够大时，W+W_近似取小题（1）的结论，求系统的电势能W（3）N足够大时，将非边缘的一对离子e、-e一起缓慢地移到无限远，其余离子仍在原位，试求外力做的功A.提示ln(1+x)=xx2x3解：(1)U=2+-e+.4兀提示ln(1+x)=xx2x3解：(1)U=2+-e+.4兀a4兀a4兀-3a2）足够大的N

7、,（4）将一个正离子缓慢移到无限远处，余下系统电势能W-W+此时该正离子的空位相邻的一个负离子的所具有的电势能为W=We24兀a再将该负离子移到无限远处，余下系统的电势能W二W-W-W1+无限远处负离子移到正离子旁边，这一对正负离子的电势能W2=e24兀a利用动能关系，求出外力做功例2如图两个点电荷位于X轴上，在他们形成的电场中，轴上多点的电势如图曲线所示，当xT时，电势UTa;当乂的坐标为x;电势极小值为U的点的坐标为ax若取无限远处的电势为零，则XTa，电势UT,电势为零（a0），试根据图线提供的信息，确定这两个点电荷所带电的符号，电量的大小以及在X轴的位置。解：由图中信息可知，带正电荷的

8、电荷Q1在x=处，由于x点电荷必须为负（-Q2）.它在x0的位置上（设距离x=距离为a）利用图中x=点电势为零方程：二x处电势为，所以另一个X在ax处，合电势为-U方程X在ax处，合电力等于0,方程联立三个方程得到a二a(a-2)x，Q1axU，Qa-2k2a(a-1)2Ux=a-2k例3：在水平平面上有两相垂直相交的内壁光滑的联通细管，管内放置两个质量均为m，电荷量均为q的同号带电质点为A、B,初始时质点A至两管交点O的距离为d，质点B位于交点O处，速度相互垂直，方向如图，大小均为u二:弩Vmd求质点运动中，它们之间的最小距离解：通常，这里应该采用两质点的相对运动处理。设运动过程中，A,B两

9、质点的位置矢量为rA,rB，则相对位矢为r二r-rABBA分别写出A、B两质点的动力学方程，然后写出相对动力学方程：kq2ma=e(其中a是B相对A的相对加速度)r2rB在运动时所受的力只有相反向的静电力，这个静电力是个有心力，同时又是一个保守力上述两个方程为角动量守恒，守恒量可由初始值确定。初始时，相对于A的运动为右图，守恒方程联系初态和相距最近状态，rm,Vm联系消去v,解得rmmdu20du，rrmmdu20du，rr0im解之前利用uo=kq2i5d4联立解得v二m例4：电荷均匀分布在半径为R的圆面上，电荷量的密度为&，试求园面边缘的电势。解：利用u二工k，其中dq=2r6dr(这里6

10、是r的函数)0rmm电势和电势能例1:当电荷连续分布时，求静电能量有两个公式W=Xudq，W二udq2试说明这两个公式的物理意义，并以平行板电容为例，分别利用上述公式求出它在电容C,蓄电量为Q时的静电场。解：(1)利用W=工udq计算(2)利用W二2工udq计算乙XUdq=U(-Q),XUdq=U(+Q)一i一+i+导体旁移动电荷，求外力做功例1:如图一个原来不带电电荷的同心球壳，内外半径分别为a，b,球心处放一个点电荷，电量为Q现在用外力把此点电荷从球心移到无限远处，求外力做功等于多少？解：由于在Q移动过程中，导体球壳表面感应电荷变化，所产生的电场不是静电场，因此需要另外想办法。初始时刻，Q

11、未移动之前，在Q处，导体球壳内，外表面的感应电荷产生的静电场有电势，其值:（另Q=nq，然后逐个移动q计算外力做功外力做功之和其中初始吧Q=nq（分散），移到无限远，又把nq=Q陳中），合起来做功为零。解法二:如图外力做功A=Wf-W=Q2,其中C=4ke匹f02C0b-a例2:块接地无限大导体平板，离板距离为a处有一个带电量为Q的点电荷，现在吧Q沿垂直于板的方向移到无限远处，求外力做多少功？解法一：上一例的解法解法二:。解法三：设移动Q过程中离板距离达到X且移动缓慢，移动过程中外力始终等于作用在Q上的静电力，即所以外力做功为电场线例1：计算在通过导体面上以0为圆心，R为半径的圆上的电量等于由

12、Q发出的全部电量一半的条件下，求R=?解：一个方法是先求出导体面上相对于0的表明感应电荷面密度的分布，求出半径为R的园面上电量为-2时，R=?乙这里采用初等方法，由于导体板右侧电场强度分布是由点电荷Q和导体板上感应电荷共同激发产生，或者等价的认为：导体板右侧电场分布是由点电荷Q及其相应的电荷-Q共同激发产生。由于右侧空间电场强度分布的非球形对称性，所以计算通过导体板上半径为R的园面上电通量较困难，这是因为右侧的电场，已经由Q,-Q两点电荷产生的场叠加后形成的分布。这里采用方法是：在计算通过导体板上园面的电通量宁可不用叠加后的电场计算，而用叠加前的由Q发出，由-Q吸收的两个球对称的电场来处理，其

13、结果显然是相同的。以Q为球心，r为半径做一个球面假设由Q发出的电量为N,那么具有球对称的，由Q发出的电通量，通过圆的电通量为同样，由-Q吸收电场线，通过导体上同一个园面上的电通量必为这个值，而且通量方向相同。写出通过圆面电通量的方程：对应的R为：tg二R,R=l3a3a例2:个半径为R的接地导体球，球外距球心为d处放置一个电量为q的点电荷A,已知导体球面上06，区域的感应电荷量为-1q，求0020解：本系统球外有一个点电荷Q和导体球上感应电荷共同激发产生的电场分布，或者说球外有一R个由电荷q及其相应的电荷q二-q如图几何关系：q几何关系：qd化简整理得：COS0二善（3R2-d2）例3:点电荷

14、+q和-q（qvq）分别位于x轴上A.B两点，A,B的距离为L,从+q发出的某一条电力线与连线AB成a角度，求：（1）求该电场线最终的场线与x轴间的夹角（2）求该电场线或其最终的场线与x轴的交点c的位置解：题给的那条由q发出的电场线将来去向何处，首先应该在q发出的千万条电场线中找出一条能达到B而未达到B的那条电场线在A发出时与AB的夹角a0由于点电荷发出或者接受的电通量与该电荷的电量成正比，所以在写电量时均对应的电量表示，（1）当aa时,0q/-解得卩=arccosl(1+cosa)-1q-q当aa时，c点即为B点0如图,r沁r12APCA中,1-sin0APCA中,1-sin0APCB中,s

15、inQsinQ利用r利用r1r2，sin0sinQ一一eE又（E,E,E,）三角形中，乜二sinUsin甲所以Xi二丁，另一个方程x-x二Lxq212q,q-q,例4.;两条均匀带电的无限平行直线，单位长的电荷量分别为久和-久，相距2a,两带电线构成的平面为Z-X平面，使Z轴与两线平行且距离相等，取直角坐标，试证明。（1）电势为U的等势面半径为r=|k2ka|的圆柱面，其中k二exp2册，圆柱的轴线与两带电的直线平行且共面，位置在x轴上，x=二a处。0k2一1（2）在X-Y平面上，电场线的方程为X2+y2-by-a2二0，即圆心在y轴上的圆，其中b为常量。证明：本系统是一个相对Z轴具有一定对称

16、性的系统，即在任意一个垂直于Z轴平面内，电场的分不相同，所以可在X-Y平面内讨论（1）写出P（X,Y）点处的电势表达式，设为Ur2二（x一a）2+y2，r2二（x+a）2+y2+-因为k二exp2兀*，整理后的(xk2+(xk2+1k2一1a)2+y22ka2a.条件为ab2ac+beL这个说明t=0时产生的第一个微粒可以到达A板设t二0tt二t这段时间产生微粒正好能全部到达A板，这里最后产生的那个微粒刚好能到A板，这个微粒产生后向A板加速的时间设为Atl，则?2=t1+At，求tl,如图所示找方程,设加速度a，五个方程,五个未知量,联立求解得T说明：t=t=-时刻产生的那个微粒未到A板14假

17、设某一个时刻产生的一个微粒，将要到达但是还未到达A板，掉过来反向加速，求到达B板精心整理需要多长？（近A板时，速度为零）利用题给式子L2=16喘冷TT33T反向向B加速时间为2-8=8T=3（4）这个微粒可足够时间到达B板，这种情况正好是Tt=-时，在A板附近的那个微粒。4TTt=-Tt=-时间内产生的那个微粒42可以肯定，这些微粒不能到达A板，而且在距A板前一段距离停止，然后反向加速，反之，那么这些微粒到达B板需要二1T如图所示，A板处，在-心的作用下已经经历了t，081TOC o 1-5 h zTT而离A板较远处开始向B板加速到达B板时间将1、无电场。求：管子的振幅A沿线振动的周期。解：（1）当长度为X（Xv1）的管子进入到电场中时，管子受到的电场力为可见管子进入电场的过程中受力与位移大小成正比，与位移方向相反的力作用，管子在这个阶段做简谐振动。（2）设管子振动到振幅位置，管子左（右）端进入左（右）电场边界距离为X，由图中几何关0系2X+L二2A+l0解得X0二A+馬-L2下面分两种情况讨论管子运动周期当xol时，即振幅位置时管子已经完全进入到电场区域，这种情