上平面几何难题集锦

1、八年级平面几何难题集锦如图，已知等边ABC，P在AC延伸线上一点，以PA为边作等边求证：（1）BP=CE；（2）试证明：EM-PM=AM.2.点C为线段AB上一点，ACM,CBN都是等边三角形，线E交于点E，BM,CN交于点F。求证：（1）AN=MB（.2）将ACM绕点C按逆时针方向旋转必定角度，示，其余条件不变，（1）中的结论能否依旧建立？（3）ANNAPE,EC延伸线交BP于M，连结AM,A段AN,MCCB如图所PM与BM订交22题N所夹锐角能否发生变化。M3.已知，如图所示，在ABC和ADE中，ABO，ADAE，BACDAE，且点B，A，DACEFE在一条直线上，连结BE，CD，M，N分

2、别为ABE，CD的中点BCBCO（1）求证：BECD；AMAN；MF（2）在图的基础上，将ADE绕点A按顺时针方向旋转A180o，其余条件不变，获得图所示的图形请直接写出（1）中的两个结论能否仍旧建立.C4.如图，C为线段AE上一动点（不与点A，E重合），在AE同侧分别作正三角形ABC和正三角形CDE，ADCN与BE交于点O，AD与BC交于点P，BE与CD交于点Q，连结PQ以下五个结论：MNEBDAAD=BE；PQAE；BAP=BQ；DMDE=DP；AOB=60BCP=CQODCPQ为等边三角形E共有2对全等三角形ACO均分AOPCO均分BCD图Q图P恒建立的结论有_（把你以为正确的序号都填上

3、）ACE5.已知：如图，ABC是等边三角形，过AB边上的点D作DGBC，交AC于点G，在GD的延长线上取点E，使DEDB，连结AE，CDA（1）求证：AGEDAC；（2）过点E作EFDC，交BC于点F，请你连结AF，并判断AEF是如何EDG的三角形，试证明你的结论6.如图，以ABC的边AB、AC为边分别向外作正方形ABDE和正方形ACFG，连结EG，试判断ABC与AEG面积之间的关系，并说明原因7.在ABCABBC2，ABC120，ABCBE中，绕点顺时针旋转角将BFCG(090)得A1BC1，A1B交AC于点E，A1C1分别交AC、BC于D、FA两点如图1，察看D并猜想，在旋转过程中，线段E

4、A1与FC有如何的数目关系？并证明你的结论；BCCDDFFEEABAB以下图，ABC是等腰直角三角形，ACB90，AD是BC边上的中线，过于点E，交AD于点F，求证：ADCBDE如图1，四边形ABCD是正方形，M是AB延伸线上一点。直角三角尺的一条直角边FCC作AD的垂线，交ABC经过点D，且直角极点E在AB边上滑动（点E不与点A，B重合），另一条直角边与CBMDFAEB的均分线BF订交于点F.如图141，当点E在AB边的中点地点时：经过丈量DE，EF的长度，猜想DE与EF知足的数目关系是；连结点E与AD边的中点N，猜想NE与BF知足的数目关系是；请证明你的上述两猜想.如图142，当点E在AB

5、边上的随意地点时，请你在AD边上找到一点N,使得NE=BF，从而猜想此时DE与EF有如何的数目关系并证明10.已知RtABC中，ACBC，C90，D为AB边的中点，EDF90，EDF绕D点旋转，它的两边分别交AC、CB（或它们的延伸线）于E、F当EDF绕D点旋转到DEAC于E时（如图1），易证1CEFABCSDEFSS2当EDF绕D点旋转到DE和AC不垂直时，在图2和图3这两种状况下，上述结论能否建立？若建立，请赐予证明；若不建立，SDEF、SCEF、SABC又有如何的数目关系？请写出你的猜想，不需证明11.已知AC/BD,CAB和DBA的均分线EA、EB与CD订交于点E.求证:AB=AC+B

6、D.A12.A等边ABC，D为ABC外一点，BDC=120，BD=DCMDN=60A射线DM与直线AB订交于点M，射线DN与直线AC订交于点N，D当点M、N在边AB、AC上，且DM=DN时，直接写出BM、NC、MN之间的数目关系DDE当点M、N在边AB、AC上，且DMDN时，猜想中的结论还成F立吗？若建立，请证明ECB当点M、N在边AB、BCA的延伸线上时，请画出图形，并写出BM、NC、MN之间的数目关系CFCFB13.如图1，BD是等腰RtABC的角均分线，E图3BAC=90.图1图2A1）求证BC=AB+AD；（2）如图2，AFBD于F，CEBD交延伸线于E，求证：BD=2CE；DA已知，

7、如图1，在四边形ABCD中，BCAB，AD=DC，BD均分ABC。求证：+=180。BDECBADBCD15.如图，四边形ABCD中，AC均分BAD，CEAB于E，AD+AB=2AE，则B与ADC互补.为何？FDCBC图2AEB16.如图4，在ABC中，BD=CD，ABD=ACD,求证AD均分BAC.ADBC17.如图，在ABC中ABC,ACB的外角均分线交P.求证:AP是BAC的角均分线18.如图在四边形ABCD中，AC均分BAD，ADCABC180度，CEAD于E，猜想AD、AE、AB之间的数目关系，并证明你的猜想，E19.如图，已知在ABC中，B=60，ABC的角均分线AD,CE订交于点

8、O，求证：OE=OD20.以下图，已知在AEC中，E=90，AD均分EAC，DFAC，垂足为F，DB=DC，求证：BE=CF21.如图，OP是MON的均分线，请你利用该图形画一对以COP所在直线为对称轴的全等三角形。请你参照这个作全等三角形的方法，解答以下问题：A（1）如图，在图2ABC中，ACB是直角，B=60，AD、CE分别是BAC、BCA的均分线，AD、订交于点。请你判断并写出FE与之间的数目关系；BCEFFD（2）如图，在ABC中，假如ACB不是直角，而(1)中的其余条件不变，请问，你在(1)中所得结论能否仍旧建立？若建立，请证明；若不建立，请说明原因。22.已知：如图，BFAC于点F

9、，CEAB于点E，且BD=CD，求证：（1）BDECDF（2）点D在AB的均分线上MBB23.EE如图在ABC中，ABAC，12，P为AD上随意一点，求证;AB-ACPB-PCDAOPFDF24.EDCD已知：如图，ABC中，ABC=45，CDAB于D，BE均分ABC，且BEAC于E，与订交于点F，H是图ACA边的中点，连结与订交图于点。BCNDHBEG求证：BF=AC；求证：CE=1BF；图12CCAPFBDC2CE与BC的大小关系如何？试证明你的结论。如图，在四边形ABCD中，AB=BC，BF是ABC的均分线，AFDC，连结AC、CF，求证：CA是DCF的均分线。26.数学课上，张老师出示

10、了问题：如图1，四边形ABCD是正方形，点E是边BC的中点AEF90o，且EF交正方形外角DCG的均分线于点，求证：=CFFAEEF经过思虑，小明展现了一种正确的解题思路：取AB的中点M，连结ME，则AM=EC，易证AMEECF，因此AEEF在此基础上，同学们作了进一步的研究：1）小颖提出：如图2，假如把“点E是边BC的中点”改为“点E是边BC上（除B，C外）的随意一点”，其余条件不变，那么结论“AE=EF”仍旧建立，你以为小颖的看法正确吗？假如正确，写出证明过程；假如不正确，请说明原因；2）小华提出：如图3，点E是BC的延伸线上（除C点外）的随意一点，其余条件不变，结论“AE=EF”仍旧建立

11、你以为小华的看法正确吗？假如正确，写出证明过程；假如不正确，请说明原因FADADADFFBECGBECGBCEG图1图2图3ABC中，BAC=60，C=40，AP均分BAC交BC于P，BQ均分ABC交AC于Q，求证：AB+BP=BQ+AQ。问题背景，以下命题：如图1,在正三角形ABC中,N为BC边上任一点,CM为正三角形外角ACK的均分线,若ANM=60,则AN=NM如图2,在正方形ABCD中,N为BC边上任一点，CM为正方形外角DCK的均分线，若ANM=90，AN=NM如3,在正五形ABCDE中,NBC上任一点,CM正五形外角DCK的均分,若ANM=108,AN=NM任要求：你明以上三个命；

12、你达成下边的研究：如4,在正n（n3）形ABCDEF中,NBC上任一点,CM正n形外角DCK的均分,当ANM等于多少度,AN=NM建立（不要求明）.如5,在梯形ABCD中,ADBC,AB=BC=CD,NBC延上一点,CMDCN的均分,若ANM=ABC,AN=NM能否建立？若建立,予明；若不建立,明原因.如，在ABC中，A=90，D是AC上的一点，BD=DC，P是BC上的任一点，PEBD，PFAC，E、F垂足求：PE+PF=AB30.如，已知ABC中，AB=AC=6cm，B=C，BC=4cm，点DAB的中点（1）假如点P在段BC上以1cm/s的速度由点B向点C运，同，点Q在段CA上由点C向点A运

13、若点Q的运速度与点P的运速度相等，1秒后，BPD与CQP能否全等，明原因；若点Q的运速度与点P的运速度不相等，当点Q的运速度多少，能使BPD与CQP全等？（2）若点Q以中的运速度从点C出，点P以本来的运速度从点B同出，都逆沿ABC三运，后，点P与点Q第一次在ABC的上相遇？（在横上直接写出答案，不用写解程）31.已知：在ABC中，ACB角，点D射BC上一点，接AD，以AD一且在AD的左作等腰直角ADE，解答以下各：假如AB=AC，BAC=90（i）当点D在段BC上（与点B不重合），如甲，段BD，CE之的地点关系（ii）当点D在段BC的延上，如乙，i）中的是否成立？什么？32.已知ABC等三角形

14、，点D直BC上的一点（点D不与B、C重合），以AD作菱形ADEF（A、D、E、F按逆摆列），使DAF=60，接CF1）如1，当点D在BC上，求：BD=CF；AC=CF+CD；（2）如2，当点D在BC的延上且其余条件不，AC=CF+CD能否建立？若不建立，写出AC、CF、CD之存在的数目关系，并明原因；（3）如3，当点D在BC的延上且其余条件不，全形，并直接写出AC、CF、CD之存在的数目关系33.在ABC中，ADBC,BEAC,D、E垂足，AD与BE交与点H，BD=AD.求：BH=ACBEADAE34.如14-1，在中，在直l上，且=HABCBCACBCACBCEFP的FP也在直l上，EF与A

15、C重合，且EF=FP（1）在BDC14-1中，你通察、量，猜想并写出与所足的数目关ABAP系和地点关系；（2）将EFP沿直l向左平移到14-2的地点，EP交于点，猜想并写出与所足的数目关系和地点关系，明你的猜想；（3）ACQAPBQBQAP将EFP沿直l向左平移到14-3的地点，EP的延交AC的延于点Q，AP，BQ你（2）中所猜想的与AP的数目关系和地点关系建立？若建立，出明；若不建立，明理BQ由如图1，在正方形ABCD中，点E、F分别为边BC、CD的中点，AF、DE订交于点G，则可得结论：AF=DE；AFDE.(不需要证明)如图2，若点E、F不是正方形ABCD的边BC、CD的中点，但知足CE

16、=DF.则上边的结论、能否仍旧建立？(请直接回答“建立”或“不建立”)(2)如图3，若点E、F分别在正方形ABCD的边CB的延伸线和DC的延伸线上，且CE=DF，此时上边的结论、能否仍旧建立？若建立，请写出证明过程；若不建立，请说明原因.如图1，A、E、F、C在同一条直线上，AE=CF，过E、F分别作DEAC，BFAC，若AB=CD，试说明BD均分EF；若将DEC的边EC沿AC方向挪动变成图2时，其余条件不变，BD能否还均分EF，请说明原因。37.如图，中，90，是边上的中线，过C作，垂足为，过B作BDABCACBACBCAEBCCFAEFBC交CF的延伸线于D求证：（1）AECD；（2）若A

17、C12cm，求BD的长如图，两个全等的含30、60角的三角板ADE和三角板ABC搁置在一同，DEA=ACB=90，DAE=ABC=30，E、A、C三点在一条直线上，连结BD，取BD中点M，连结ME、MC，试判断EMC的形状，并说明原因39.已知BE，CF是ABC的高，且BP=AC，CQ=AB，试确立AP与AQ的数目关系和地点关系40.在RtABC中，ACBC，ACB90，D是AC的中点，DGAC交AB于点G.（1）如图1，E为线段DC上随意一点，点F在线段DG上，且DE=DF，连结EF与CF，过点F作FHFC，交直线AB于点H求证：DG=DC判断FH与FC的数目关系并加以证明（2）若E为线段D

18、C的延伸线上随意一点，点F在射线DG上，(1)中的其余条件不变，借助图2画出图形。在你所绘图形中找出一对全等三角形，并判断你在(1)中得出的结论能否发生改变（本小题直接写出结论，不用证明）41.如图，AD/BC，AD=BC，AEAD，AFAB，且AE=AD，AF=AB，求证：AC=EF42.直线CD经过BCA的极点C，CA=CBE、F分别是直线CD上两点，且BECCFA（1）若直线CD经过BCA的内部，且E、F在射线CD上，请解决下边两个问题：如图1，若BCA90o,90o，则EFBEAF（填“”，“”或“”号）；如图2，若0oBCA180o，若使中的结论仍旧建立，则与BCA应知足的关系是；（

19、2）如图3，若直线CD经过BCA的外面，BCA，请研究EF、与BE、AF三条线段的数目关系，并赐予证明已ABCDCEABB知：如图，四边形BB中，AC均分BAD，于E，且EFDEAEFDCB+D=180，求证：CFAE=AD+BECAAD图1图2图3操作：如图，ABC是正三角形，BDC是顶角BDC120的等腰三角形，以D为极点作一个60角，角的两边分别交AB、AC边于M、N两点，连结MN研究：线段BM、MN、NC之间的关系，并加以证明45.如图，已知E是正方形ABCD的边CD的中点，点F在BC上，且DAE=FAEAD求证：AF=AD-CF46.以下图，已知ABC中，AB=AC，D是CB延伸线上

20、一点，ADB=60，EE是AD上一点，且DE=DB，求证：AC=BE+BC47.在ABC中，BD=DC，EDDF求证：BECFEFAFCB已知，如图，三角形ABC是等腰直角三角形，ACB=90，F是AB的中点，直线l经过点C，分别过点A、B作l的垂线，即ADCE，BECE，E（1）如图1，当CE位于点F的右边时，求证：ADCCEB；DC（2）如图2，当CE位于点F的左边时，求证：ED=BE-AD；B（3）如图3，当CE在ABC的外面时，试猜想ED、AD、BE之间的数目关系，并证明你的猜想49.如图1、图2、图3，AOB，COD均是等腰直角三角形，AOBCOD90o，（1）在图1中，AC与BD相

21、等吗，有如何的地点关系？请说明原因。（2）若COD绕点O顺时针旋转必定角度后，抵达图2的地点，请问AC与BD还相等吗，还拥有那种位置关系吗？为何？（3）若COD绕点O顺时针旋转必定角度后，抵达图3的地点，请问AC与BD还相等吗？还拥有上问中的地点关系吗？为何？50.复习“全等三角形”的知识时，老师部署了一道作业题：“如图，已知在ABC中，AB=AC，P是ABC内部随意一点，将AP绕A顺时针旋转至AQ，使QAP=BAC，连结BQ、CP，则BQ=CP”小亮是个爱动脑筋的同学，他经过对图的剖析，证了然ABQACP，从而证得BQ=CP以后，将点P移到等腰三角形ABC以外，原题中的条件不变，发现“BQ=

22、CP”仍旧建立，请你就图给出证明51.将一张透明的平行四边形胶片沿对角线剪开，获得图中的两张三角形胶片ABC和DEF且ABCDEF。将这两张三角形胶片的极点B与极点E重合，把DEF绕点B顺时针方向旋转，这时AC与DF订交于点O当DEF旋转至如图地点，点B(E)，C，D在同向来线上时，AFD与DCA的数目关系是当DEF持续旋转至如图地点时，（1）中的结论还建立吗？AO与DO存在如何的数目关系？请说明原因正方形ABCD中，E为BC上的一点，F为CD上的一点，BE+DF=EF，求EAF的度数.53.已知四边形ABCD中，AB，BC，ABC120o，MBN60o，ADBCCDABMBN绕B点旋转，它的

23、两边分别交AD，DC（或它们的延伸线）于E，F当MBN绕B点旋转到AECF时（如图1），易证AECFEF当MBN绕B点旋转到AECF时，在图2和图3这两种状况下，上述结论能否建立？若建立，请赐予证明；若不建立，线段AE，CF，EF又有怎样的数目关系？请写出你的猜想，不需证明（图1）（图2）（图3）已知:PA=2,PB=4,以AB为一边作正方形ABCD,使P、D两点落在直线AB的双侧.如图,当APB=45时,求AB及PD的长;当APB变化,且其余条件不变时,求PD的最大值,及相应APB的大小.55.在等边ABC的两边AB、AC所在直线上分别有两点M、N，D为VABC外一点，且MDN60,BDC1

24、20,BD=DC.研究：当M、N分别在直线AB、AC上挪动时，BM、NC、MN之间的数目关系及AMN的周长Q与等边ABC的周长L的关系图1图2图3（I）如图1，当点M、N边AB、AC上，且DM=DN时，BM、NC、MN之间的数目关系是；此时Q；L（II）如图2，点M、N边AB、AC上，且当DMDN时，猜想（I）问的两个结论还建立吗？写出你的猜想并加以证明；（III）如图3，当M、N分别在边AB、CA的延伸线上时，若AN=x，则Q=（用x、L表示）如图，正方形ABCD的边长为1，G为CD边上一动点（点G与C、D不重合），以CG为一边向正方形ABCD外作正方形GCEF，连结DE交BG的延伸线于H。

25、求证：BCGDCEBHDEAD（1）如图7，点O是线段AD的中点，分别以AO和DO为边在线段AD的同侧作等边三角形HOAB和等边三角形OCD，连结AC和BD，订交于点E，连结BC求AEB的大小；GFCBBCEDOA图7E（2）如图8，OAB固定不动，保持OCD的形状和大小不变，将OCD绕着点O旋转（OAB和OCD不可以重叠），求AEB的大小.B58.如图，已知AB=CD=AE=BC+DE=2，ABC=AED=90，求五边形ABCDE的面C积E59.（1）如图1，现有一正方形ABCD，将三角尺的指直角极点放在A点处，两条直角边也与CB的延伸线、DC分别交于点E、F请你经过察看、丈量，OA判断AE

26、与AF之间的数目关系，并说明原因（2）将三角尺沿对角线平移到图2的地点，PE、PF之间有如何的数目关系，D图8并说明原因（3）假如将三角尺旋转到图3的地点，PE、PF之间能否还拥有（2）中的数目关系？假如有，请说明60.E、F分别是正方形ABCD的边BC、CD上的点，且EAF45，AHEF，H为垂足，求证：AHAB61.如图，正方形ABCD中，FADFAE求证：BEDFAE62.如图，在等腰ABC中，ABAC，D是BC的中点，过A作AEDE，AFDF，且AEAF求证：EDBFDC63.如图，在ABC中，AB=AC，D，E分别是腰AB，AC延伸A线上的点，且BD=CE，连结DE交BC于G，求证：

27、DG=EGEFABDCDBGCE等腰三角形一腰上的高等于该三角形某一条边的长度的一半，则其顶角等于（）A300B300或1500C1200或1500D300或1200或1500如图，在ABC中，AB=7，AC=11，点M是BC的中点，AD是BAC的均分线，MFAD，则CF的长为_AFBDMC如图，已知在ABC中，AD是BC边上的中线，E是AD上一点，且BE=AC，延伸BE交AC于F，求证：AF=EFAEFBDC如图，ABC中，ADBC于D，B=2C，求证：AB+BD=CDACDB68.如图，已知ABC是等边三角形，E是AC延伸线上一点，选择一点D，使得CDE是等边三角形，假如是线段的中点，N是线段BE的中点，求证：是等边MADCMN三角形DMBNECA如图，MAN=160，A1点在AM上，在AN上取一点A2，使A2A1=AA1，再在AM上取一点A3，使A3A2=A2A1，这样向来作下去，到不可以再作为止，那么作出的最后一点是（）AA5BA6CA7DA8NA2AA1MA3(第69如图，在ABC中，AD是BAC的均分线，M是BC的中点，过M作MEAD交BA延伸线于E，交A