博雅闻道2021-2022学年高二数学第二学期期末经典试题含解析

1、2021-2022高二下数学模拟试卷考生须知：1全卷分选择题和非选择题两部分，全部在答题纸上作答。选择题必须用2B铅笔填涂；非选择题的答案必须用黑色字迹的钢笔或答字笔写在“答题纸”相应位置上。2请用黑色字迹的钢笔或答字笔在“答题纸”上先填写姓名和准考证号。3保持卡面清洁，不要折叠，不要弄破、弄皱，在草稿纸、试题卷上答题无效。一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1从5名学生中选出4名分别参加数学，物理，化学，生物四科竞赛，其中甲不能参加生物竞赛，则不同的参赛方案种数为A48B72C90D962下列各对函数中，图象完全相同的是（）A

2、与B 与C与D与3已知的二项展开式中含项的系数为，则( )ABCD4已知函数在时取得极大值，则的取值范围是( )ABCD5在一段线路中并联着两个独立自动控制的开关，只要其中一个开关能够闭合，线路就可以正常工作.设这两个开关能够闭合的概率分别为0.5和0.7，则线路能够正常工作的概率是（ ）A0.35B0.65C0.85D6某三棱柱的底面是边长为2的正三角形，高为6，则该三棱柱的体积为ABCD7设函数()有且仅有两个极值点()，则实数的取值范围是()ABCD8已知随机变量服从正态分布，且，则（ ）ABCD9已知两个不同的平面，和两条不同的直线a，b满足a,b，则“ab”是“”的（ ）A充分不必要

3、条件B必要不充分条件C充要条件D既不充分也不必要条件10我国南北朝时期数学家祖暅，提出了著名的祖暅原理：“缘幂势既同，则积不容异也”“幂”是截面积，“势”是几何体的高，意思是两等高几何体，若在每一等高处的截面积都相等，则两几何体体积相等已知某不规则几何体与右侧三视图所对应的几何体满足“幂势既同”，其中俯视图中的圆弧为圆周，则该不规则几何体的体积为（ ）ABCD11抛物线的焦点为 ,过点的直线交抛物线于 、两点，点为轴正半轴上任意一点，则（ ）ABCD12我国古代数学名著九章算术对立体几何也有深入的研究，从其中的一些数学用语可见，譬如“堑堵”意指底面为直角三角形，且侧棱垂直于底面的三棱柱，“阳马

4、”指底面为矩形且有一侧棱垂直于底面的四棱锥现有一如图所示的“堑堵”即三棱柱，其中，若，当“阳马”即四棱锥体积最大时，“堑堵”即三棱柱的表面积为ABCD二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。13直线与抛物线交于两点，且经过抛物线的焦点，已知，则线段的中点到准线的距离为_14已数列，令为，中的最大值2，则称数列为“控制数列”，数列中不同数的个数称为“控制数列”的“阶数”例如：为1，3，5，4，2，则“控制数列”为1，3，5，5，5，其“阶数”为3，若数列由1，2，3，4，5，6构成，则能构成“控制数列”的“阶数”为2的所有数列的首项和是_15若，与的夹角为，则的值为_16下表提供了某学生

5、做题数量x（道）与做题时间y（分钟）的几组对应数据：x（道）3456y（分钟）2.5t44.5根据上表提供的数据，得y关于x的线性回归方程为则表中t的值为_三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17（12分）设是椭圆上的两点，已知向量，若且椭圆的离心率，短轴长为2，为坐标原点.（1）求椭圆的方程；（2）若直线过椭圆的焦点（为半焦距），求直线的斜率的值；（3）试问：的面积是否为定值？如果是，请给予证明；如果不是，请说明理由.18（12分）在直角坐标系中，直线经过点，其倾斜角为，以原点O为极点，以x轴非负半轴为极轴，与直角坐标系取相同的长度单位，建立极坐标系，设曲线C的极坐

6、标方程为（1）若直线与曲线C有公共点，求的取值范围：（2）设为曲线C上任意一点，求的取值范围19（12分）已知的展开式中，前三项系数成等差数列.（1）求含项的系数；（2）将二项式的展开式中所项重新排成一列，求有理项互不相邻的概率20（12分）已知函数（）求函数的最大值； （）已知，求证21（12分）已知函数.（1）解不等式；（2）若对任意，不等式恒成立，求实数的最大值22（10分）已知的展开式前两项的二项式系数之和为1（1）求的值（2）求出这个展开式中的常数项参考答案一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1、D【解析】因甲不参加生

7、物竞赛，则安排甲参加另外3场比赛或甲学生不参加任何比赛当甲参加另外3场比赛时，共有=72种选择方案；当甲学生不参加任何比赛时，共有=24种选择方案综上所述，所有参赛方案有72+24=96种故答案为：96点睛：本题以选择学生参加比赛为载体，考查了分类计数原理、排列数与组合数公式等知识，属于基础题2、C【解析】先判断两个函数的定义域是否是同一个集合，再判断两个函数的解析式是否可以化为一致【详解】解：对于A、的定义域为，的定义域为两个函数的对应法则不相同，不是同一个函数对于B、的定义域，的定义域均为两个函数不是同一个函数对于C、的定义域为且，的定义域为且对应法则相同，两个函数是同一个函数对于D、的定

8、义域是，的定义域是，定义域不相同，不是同一个函数故选C【点睛】本题考查两个函数解析式是否表示同一个函数，需要两个条件：两个函数的定义域是同一个集合；两个函数的解析式可以化为一致这两个条件缺一不可，必须同时满足3、C【解析】分析：先根据二项式定展开式通项公式求m,再求定积分.详解：因为的二项展开式中，所以,因此选C.点睛：求二项展开式有关问题的常见类型及解题策略(1)求展开式中的特定项.可依据条件写出第项，再由特定项的特点求出值即可.(2)已知展开式的某项，求特定项的系数.可由某项得出参数项，再由通项写出第项，由特定项得出值，最后求出其参数.4、D【解析】求出原函数的导函数，可得当a0时，f（x

9、）在x1取得极小值，不符合；当a0时，令f（x）0，得x1或ln（a），为使f（x）在x1取得极大值，则有ln（a）1，由此求得a的范围得答案【详解】由，得f（x）e2x+（ae）exae（ex+a）（exe）当a0时，ex+a0，由f（x）0，得x1，由f（x）0，得x1f（x）在（，1）上为减函数，在（1，+）上为增函数，则f（x）在x1取得极小值，不符合；当a0时，令f（x）0，得x1或ln（a），为使f（x）在x1取得极大值，则有ln（a）1，aea的取值范围是ae故选：D【点睛】本题考查利用导数研究函数的极值，关键是明确函数单调性与导函数符号间的关系，是中档题5、C【解析】试题分析：

10、线路能够了正常工作的概率=,故选C.考点：独立事件，事件的关系与概率.6、C【解析】计算结果.【详解】因为底面是边长为2的正三角形，所以底面的面积为，则该三棱柱的体积为【点睛】本题考查了棱柱的体积公式，属于简单题型.7、B【解析】函数()有且仅有两个极值点，即为在上有两个不同的解，进而转化为两个图像的交点问题进行求解【详解】解：因为函数()有且仅有两个极值点，所以在上有两个不同的解，即2axex0在上有两解，即直线y2ax与函数yex的图象有两个交点，设函数与函数的图象相切，切点为(x0，y0)，作函数yex的图象，因为则，所以，解得x01，即切点为(1，e)，此时ke，由图象知直线与函数ye

11、x的图象有两个交点时，有即2ae，解得a，故选B.【点睛】本题考查了函数极值点的问题，解决此类问题的方法是将函数问题转化为方程根的问题，再通过数形结合的思想方法解决问题8、B【解析】随机变量服从正态分布，即对称轴是，故选9、D【解析】分别判断充分性和必要性得到答案.【详解】如图所示：既不充分也不必要条件.故答案选D【点睛】本题考查了充分必要条件，举出反例可以简化运算.10、B【解析】根据三视图知该几何体是三棱锥与圆锥体的所得组合体，结合图中数据计算该组合体的体积即可【详解】解：根据三视图知，该几何体是三棱锥与圆锥体的组合体，如图所示；则该组合体的体积为；所以对应不规则几何体的体积为故选B【点睛

12、】本题考查了简单组合体的体积计算问题，也考查了三视图转化为几何体直观图的应用问题，是基础题11、B【解析】分析：设，则，由利用韦达定理求解即可.详解：设，的焦点，设过点的直线为，故选B.点睛：本题主要考查平面向量数量积公式、平面向量的运算、直线与抛物线的位置关系，意在考查综合运用所学知识解决问题的能力，考查转化与划归思想以及计算能力，属于中档题.12、C【解析】分析：由四棱锥的体积是三棱柱体积的，知只要三棱柱体积最大，则四棱锥体积也最大，求出三棱柱的体积后用基本不等式求得最大值，及取得最大值时的条件，再求表面积详解：四棱锥的体积是三棱柱体积的，当且仅当时，取等号故选C点睛：本题考查棱柱与棱锥的

13、体积，考查用基本不等式求最值解题关键是表示出三棱柱的体积二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。13、【解析】先根据抛物线方程求得焦点坐标，设点坐标为，进而可得直线方程，把点代入可求得点坐标，进而根据抛物线的定义，即可求得答案【详解】由题意，抛物线知，设点坐标为，由直线过焦点，所以直线的方程为，把点代入上式得，解得，所以，所以线段中点到准线的距离为，故答案为.【点睛】本题主要考查了直线与抛物线的关系的应用，其中解答中涉及抛物线的焦点弦的问题时，常常利用抛物线的定义来解决，着重考查了推理与运算能力，属于中档题.14、1044【解析】根据新定义，分别利用排列、组合，求出首项为1，2，3，4

14、，5的所有数列，再求出和即可【详解】依题意得，首项为1的数列有1，6，a，b，c，d，故有种，首项为2的数列有2，1，6，b，c，d，或2，6，a，b，c，d，故有种，首项为3的数列有3，6，a，b，c，d，或3，1，6，b，c，d，或3，2，6，b，c，d或3，1，6，c，d或，3，2，1，6，c，d，故有种，首项为4的数列有种，即4，6，a，b，c，d，有种，4，1，6，b，c，d，或4，2，6，b，c，d，或4，3，6，b，c，d，有种，4，a，b，6，c，d，其中a，2，则有种，4，a，b，c，6，d，其中a，b，2，则有6种，首项为5的数列有种，即5，6，a，b，c，d，有种，5，1

15、，6，b，c，d，或5，2，6，b，c，d，或5，3，6，b，c，d，或5，4，6，b，c，d有种，5，a，b，6，c，d，其中a，2，3，则有种，5，a，b，c，6，d，其中a，b，2，3，则有24种，5，a，b，c，d，6，其中a，b，c，2，3，则有24种，综上，所有首项的和为故答案为1044【点睛】本题主要考查了排列组合，考查了新定义问题，属于难题15、或【解析】利用空间向量的数量积的坐标运算公式可求得，从而可求得的值【详解】解：，又与的夹角为，解得：或1故答案为：或1【点睛】本题考查空间向量的数量积的坐标运算，熟练掌握空间向量的数量积的坐标运算公式是关键，属于中档题16、3【解析】现

16、求出样本的中心点，再代入回归直线的方程，即可求得的值.【详解】由题意可得，因为对的回归直线方程是，所以，解得.【点睛】本题主要考查了回归直线方程的应用，其中解答的关键是利用回归直线方程恒过样本中心点，代入求解，着重考查了推理与计算能力，属于基础题.三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17、（）；（）；（）三角形的面积为定值1【解析】试题分析：（1）根据条件可得，再设直线的方程为：，与椭圆联立方程组，利用韦达定理和已知条件，即可求出的值；（2）先考虑直线斜率不存在的情况，即，根据，求得和的关系式，代入椭圆的方程求得点的横坐标和纵坐标的绝对值，进而求得AOB的面积的值；当

17、直线斜率存在时，设出直线的方程，与椭圆联立方程组，利用韦达定理表示出和，再利用，弦长公式及三角形面积公式求得答案.试题解析：（1）由题可得：，所以，椭圆的方程为设的方程为：，代入得：，即： 即，解得：（2）直线斜率不存在时，即， ，即 又点在椭圆上 ，即 ， ，故的面积为定值1当直线斜率存在时，设的方程为，联立得：， 所以三角形的面积为定值1.点睛：本题主要考查直线与圆锥曲线的位置关系、圆锥曲线的定值问题，解题时要注意解题技巧的运用，如常用的设而不求，整体代换的方法；探索圆锥曲线的定值问题常见方法有两种：从特殊入手，先根据特殊位置和数值求出定值，再证明这个这个值与变量无关；直接推理、计算，借助

18、韦达定理，结合向量所提供的坐标关系，然后经过计算推理过程中消去变量，从而得到定值.18、（1）；（2）【解析】试题分析：（1）将极坐标方程和参数方程转化为普通方程，再利用直线与圆的位置关系进行求解；（2）利用三角换元法及三角恒等变换进行求解试题解析：（I）将曲线C的极坐标方程化为直角坐标方程为直线l的参数方程为将代入整理得直线l与曲线C有公共点，的取值范围是（II）曲线C的方程可化为其参数方程为为曲线上任意一点，的取值范围是考点：1极坐标方程、参数方程与普通方程的互化19、（1）7；（2）.【解析】（1）利用二项式定理求出前三项的系数的表达式，利用这三个系数成等差数列并结合组合数公式求出的值，再利用二项式展开式通项可求出项的系数；（2）利用二项展开式通项求出展开式中有理项的项数为，总共是项，利用排列思想得出公共有种排法，然后利用插空法求出有理项不相邻的排法种数，最后利用古典概型概率公式可计算出所求事件的概率【详解】（1）前三项系数、成等差数列，即或 (舍去） 展开式中通项公式T，1 令，得， 含x2项的系数为 ；（2）当为整数时， 展开式共有9项，共有种排法 其中有理项有3项，有理项互不相邻有种排法， 有理项互不相邻的概率为【点睛】本题考查二项式定理指定项的系数，考查排