抛物线的简单几何性质典型例题

1、抛物线的简单几何性质典型例题抛物线的简单几何性质典型例题14/14抛物线的简单几何性质典型例题抛物线的简单几何性质典型例题作者：日期：?典型例题一例1过抛物线焦点的一条直线与它交于两点P、Q，经过点和抛物线极点的直线交准线于点M,怎样证明直线MQ平行于抛物线的对称轴？解：思路一:求出M、Q的纵坐标并进行比较，假如相等,则Q/x轴,为此,将方程y22px,yk(xp)联立,解出2P(p(k211)2,p(1k21),Q(p(k211)2,p(1k21)2k2k2k2k直线OP的方程为y2k(1k21)x,即y2(1k21)x.(k211)2k令xp,得M点纵坐标yMp(1k21)yQ得证.2k因

2、而可知，按这一思路去证,运算较为繁琐.思路二:利用命题“假如过抛物线y22px的焦点的一条直线和这条抛物线订交，两上交点的纵坐标为y1、y2，那么y1y2p2”来证.设P(x1,y1)、Q(x2,y2)、M(x3,y3)，并从y22px及yk(xp)中消去x，获得2ky22pykp20，则有结论y1y2p2，即y2p2y1.又直线O的方程为yy1x,xp,得y3x12因为P(x1,y1)在抛物线上,所以2x1y12ppy12x1进而y3py1(py1)pp22x1y12y2y1这一证法运算较小思路三:直线MQ的方程为yyo的充要条件是M(p,y0),Q(y02,y0).22p将直线M的方程2y

3、0和直线F的方程y2py0(xp)联立,它的解（,y)就是ypyo2p22点的坐标，消去yo的充要条件是点P在抛物线上,得证这一证法巧用了充要条件来进行逆向思想,运算量也较小.说明：本题中过抛物线焦点的直线与x轴垂直时（即斜率不存在)，简单证明成立.典型例题二例已知过抛物线y22px(p0)的焦点且斜率为1的直线交抛物线于A、两点，点是含抛物线极点的弧AB上一点，求RAB的最大面积.,故能够AB为三角形的底,只剖析:求RA的最大面积，因过焦点且斜率为的弦长为定值要确立高的最大值即可.p解：设A2将其代入抛物线方程y22px,消去x得y22pyp20AB2y1y22(y1y2)24y1y24p当

4、过R的直线l平行于且与抛物线相切时，AB的面积有最大值.设直线l方程为yxb代入抛物线方程得y22py2pb0由4p28pb0,得bp，这时R(p,p).它到A的距离为h2p222RAB的最大面积为1ABh2p2.2典型例题三例3直线l1过点M(1,0)，与抛物线y24x交于P1、P2两点,P是线段P1P2的中点,直线l2过和抛物线的焦点，设直线l1的斜率为k(1)将直线l2的斜率与直线l1的斜率之比表示为k的函数f(k);（2）求出f(k)的定义域及单一区间.剖析：l2过点及F,利用两点的斜率公式,可将l2的斜率用k表示出来，进而写出f(k),由函数f(k)的特色求得其定义域及单一区间解：(

5、1)设l1的方程为：y将它代入方程y24x，得k(x1),k2x2(2k24)xk20设P1(x1,y1)、P2(x2,y2)、P(x,y),则x1x242k2,x2k2k2k2将x2k2代入yk(x1)得：y2,即点坐标为(2k2,2).k2kk2k2k由y24x,知焦点F(1,0),直线l2的斜率k2kk21k22k21函数f(k)121k（2)l2与抛物线有两上交点,k0且(2k24)24k40解得1k0或0k1函数f(k)的定义域为k1k0或0k1当k(1,0)时,f(k)为增函数.典型例题四例4如下图:直线l过抛物线y22px的焦点，并且与这抛物线、两点，求证:对于这抛物线的任何给定

6、的一条弦CD，直订交于A线l不是CD的垂直均分线剖析：本题所要证的命题结论能否认形式,一方面可依据垂直且平排列方程得矛盾结论;别一方面也能够依据上任一点到C、距离相等来得矛盾结论.证法一：假定直线l是抛物线的弦CD的垂直平方线,因为直线l与抛物线交于、B两点，所以直线l的斜率存在,且不为零；直线CD的斜率存在,且不为0设C、D的坐标分别为(22,2)与2则1pt1pt1(2pt2,2pt2).kCDt1t2l的方程为y(t1t2)(xp)直线l均分弦CD2CD的中点(p(t12t22),p(t1t2)在直线l上,即p(t1t2)(t1t2)p(t12t22)p,化简得:p(t1t2)(t12t

7、221)022由p(t1t2)0知t12t2210获得矛盾,所以直线l不行能是抛物线的弦C的垂直均分线.2证法二：假定直线l是弦CD的垂直均分线焦点F在直线l上,CFDF由抛物线定义，C(x1,y1),D(x2,y2)到抛物线的准线xp的距离相等.2x1x2,y1y2,CD的垂直均分线l：y0与直线l和抛物线有两上交点矛盾，下略.典型例题五例5设过抛物线y22px(p0)的极点的两弦OA、O相互垂直，求抛物线极点O在上射影N的轨迹方程剖析：求与抛物线相关的轨迹方程,可先把N当作定点(x0,y0)；待求得x0、y0的关系后再用动点坐标(x，y)来表示,也可联合几何知识,经过奇妙替代,简化运算解法

8、一：设A(x1,y1),B(x2,y2),N(x0,y0),则:y122px1,y222px2,x1x2y12y224p2OAOB,kOAkOB1即x1x2y1y20y12y224p2y1y20y1y20,y1y24p2把N点看作定点，则AB所在的直线方程为:yy0 x0(xx0),明显x00y0 xy0y(xy02)代入y22px,化简整理得：x0y22py0y2p(x02y02)0 x0 x00，y1y22p(x02y02)x0由、得：4p22p(x02y02)，化简得x02y022px00(x00)x0用x、y分别表示x0、y0得:x2y22px0(x0)解法二:点N在以O、OB为直径的

9、两圆的交点(非原点)的轨迹上，设A(2pt2,2pt),则以OA为直径的圆方程为:(xpt2)2(ypt)2p2(t4t2)x2y22pt22pty0设B(2pt12,2pt1)，O,则t1t1t11t在求以B为直径的圆方程时以1代t1，可得tt2(x2y2)2px2pty0由+得：(1t2)(x2y22px)0 x2y22px0(x0)典型例题六例6如下图，直线l1和l2订交于点M，l1l2，点Nl1，以A、B为端点的曲线段C上的任一点到l2的距离与到点的距离相等成立适合的坐标系,求曲线段C的方程.,若AMN为锐角三角形,AM7，AN3，且BN6,剖析:因为曲线段C上的任一点是以点N为焦点，

10、以l2为准线的抛物线的一段,所以本题要点是成立适合坐标系,确立所知足的抛物线方程解:以l1为轴，MN的中点为坐标原点O，成立直角坐标系由题意，曲线段C是为焦点,以l2为准线的抛物线的一段此中,A、分别为曲线段的两头点设曲线段知足的抛物线方程为:y22px(p0)(xAxxB,y0),此中xA、xB为A、的横坐标令MNp,则M(p,0),N(p,0)，AM17,AN322(x由两点间的距离公式,得方程组：(xAp)22pxA172Ap)22pxA92解得p4或p2xA1xA2MN为锐角三角形，pxA,则p4，xA12又B在曲线段C上，xBBNp2462则曲线段C的方程为y28x(1x4,y0).

11、典型例题七例7如下图,设抛物线y22px(0p1)与圆(x5)2y29在轴上方的交点为、，与圆(x6)2y227在x由上方的交点为C、,P为AB中点，Q为C的中点.（1)求PQ(2）求AB面积的最大值.剖析：因为P、Q均为弦B、CD的中点,故可用韦达定理表示出、Q两点坐标，由两点距离公式即可求出PQ解:(1)设A(xA,yA),B(xB,yB),C(xC,yC),D(xD,yD),P(x1,y1),Q(x2,y2)(x5)2y2922(5p)x160,由22px得：xyxAxB5Px12yAyB2p(xAxB)y1222pxAxB2xAxB22p2(5p)829pp2由(x6)2y227得x2

12、2(6p)x90，y22pxxCxD6px22yCyD2pxD)y2(xC22同y1近似,y29pp2则x1x21,y1y20，PQ1（）SABQSAPQSBPQ1PQyAyB2PxAxB222Pp(1p)102p820p1,当p1时,SABQ取最大值122典型例题八例已知直线l过原点,抛物线C的极点在原点，焦点在x轴的正半轴上,且点A(1,0)和点B(0,8)对于直线l的对称点都在剖析：设出直线l和抛物线代入抛物线方程.或设BOxC上，求直线l和抛物线C的方程.C的方程,由点A、B对于直线l对称，求出对称点的坐标，分别,利用对称的几何性质和三角函数知识求解.解法一:设抛物线C的方程为y22p

13、x(p0)，直线l的方程为ykx(k0)，则有点A(1,0),点B(0,8)对于直线l的对称点为A(x1,y1)、B(x2,y2)，y1kx11x1k212,k,则有2解得21y12k;k1,y1x11k21y28x2,x216k,2k2解得k21y288(k21).1,y2x2kk21如图，A、B在抛物线上4k22pk21,(k21)2k2116k.64(k21)22p(k21)2k21两式相除,消去p，整理，得k2k10，故k15,2由p0,k0,得k15.把k15代入，得p25.225直线l的方程为y15x,抛物线C的方程为y245x25解法二:设点A、B对于l的对称点为A(x1,y1)

14、、B(x2,y2)，又设BOx,依题意,有OAOA1,OBOB8.故x28cos，y28sin由BOA90，知BOA90 x1cos(90)sin,y1sin(90)cos.又x10,x20，故为第一象限的角A(sin,cos)、B(8cos,8sin)将A、B的坐标代入抛物线方程,得cos22psin,64sin216pcos.8sin3cos3，即tan1进而sin5，cos25,255p25，得抛物线C的方程为y245x.55又直线l均分BOB,得l的倾斜角为902452ktan(45)sin(90)cos1521cos(90)1sin2直线l的方程为y15x2说明：()本题属于点对于直

15、线的对称问题.解法一是解对称点问题的基本方法，它的思路明确，但运算量大,若不认真、沉稳,难于解得正确结果.解法二是利用对称图形的性质来解,它的技巧性较强，一时难于想到(2)本题是用待定系数法求直线的方程和抛物线方程在已知曲线的种类求曲线方程时，这类方法是最惯例方法,需要要点掌握典型例题九例9如图，正方形ABCD的边AB在直线l：yx4上，C、D两点在抛物线y2x上，求正方形ABCD的面积剖析：本题考察抛物线的观点及其地点关系,方程和方程组的解法和数形联合的思想方法，以及剖析问题、解决问题的能力解：直线AB：yx4,AB/CD,设CD的方程为yxb，且C(x1,y1)、D(x2,y2).由方程组

16、y2x，消去x,得y2yb0，于是yxby1y21,y1y2b,CD112y1y2(此中k1)kCD2(y1y2)24y1y22(14)b.由已知,ABCD为正方形,CDAD，CD可视为平行直线AB与CD间的距离，则有CD4b4b)4b,于是得2(1.22两边平方后,整理得,b28b120,b6或b2.当b6时,正方形ABCD的面积SCD22(124)50当b2时，正方形ABCD的面积S28)18.CD2(1正方形ABCD的面积为8或5.说明：运用方程（组)的思想和方法求某些几何量的值是分析几何中最基本的、贯串一直的方法,本题应充分考虑正方形这一条件典型例题十例10设有一颗彗星环绕地球沿一抛物

17、线轨道运转,地球恰巧位于抛物线轨道的焦点处，当此彗星离地球为d104km时，经过地球与彗星的直线与抛物线的轴的夹角为30，求这彗星与地球的最短距离.剖析:利用抛物线相关性质求解解：如图，设彗星轨道方程为y22px，p0,焦点为F(p,0),2彗星位于点P(x0,y0)处.直线PF的方程为y3(xp).32y22px,(743)p,解方程组3p得xy(x2),23故x0(743)p2PF23|x0p|23|(743)pp|(423)p.32322故(423)pd,得p23d2因为极点为抛物线上到焦点距离近来的点,所以极点是抛物线上到焦点距离近来的点.焦点到抛物线极点的距离为p243d，所以彗星与

18、地球的最短距离为23d104km或243d104km，（P点在F点的左侧与右侧时,所求距离取不一样的值)4说明：（1)本题结论有两个，不要漏解；（)本题用到抛物线一个重要结论：极点为抛物线上的点到焦点距离近来的点，其证明如下：设P(x0,y0)为抛物线y22px上一点,焦点为F(p,0)，准线方程为xp,依抛物线定义,pp22x00时，PF最小，故抛物线上到焦点距离近来的点是抛物线的有PF(x00),当x022极点典型例题十一例11如图,抛物线极点在原点,圆x2y24x的圆心是抛物线的焦点，直线l过抛物线的焦点，且斜率为2,直线l交抛物线与圆挨次为A、B、C、D四点，求ABCD的值.剖析:本题考察抛物线的定义,圆的观点和性质，以及剖析问题与解决问题的能力,本题的要点是把ABCD转变为直线被圆锥曲线所截得的弦长问题.解：由圆的方程x2