高三复习：二项式定理-知识点题型方法归纳

1、绵阳市开元中学高2022级高三复习学问点、题型与方法归纳名师总结优秀学问点式定理因此二项式定理是排列组合学问的进展和连续二项式定理一学问梳理制卷：王小凤同学姓名： _ 两种应用1通项的应用：利用二项绽开式的通项可求指定的项或指定项的系数等1二项式定理 ：ab nC 0na nC 1na n1b C rna nrb r C nnb nnN *这个公式所表示的定理叫二项式定理,右边的多项式叫 ab n 的二项绽开式其中的系数 C rnr0,1, , n叫2绽开式的应用：利用绽开式可证明与二项式系数有关的等式；可证明不等式；可证明二项式系数式中的 C rna nrb r 叫二项绽开式的通项,用 Tr

2、1表示 ,即通项 Tr1C rna nrb r. 整除问题；可做近似运算等2二项绽开式形式上的特点 三条性质1项数为 n1. 1对称性； 2增减性； 3各项二项式系数的和；2各项的次数都等于二项式的幂指数 n,即 a 与 b 的指数的和为 n. 3字母 a 按降幂排列,从第一项开头,次数由 n 逐项减 1 直到零；字母 b 按升幂排列,从第 二题型示例一项起,次数由零逐项增 1 直到 n. 【题型一】求 x y n绽开特定项4二项式的系数从0 1 n1C n,C n,始终到 C nn,C n. 3二项式系数的性质r n r1对称性：与首末两端“ 等距离” 的两个二项式系数相等即 C n C n

3、2增减性与最大值：二项式系数 C n,当 kn1 2时,二项式系数逐步增大由对称性知它的后n半部分是逐步减小的；当 n 是偶数时,中间一项 C 取得最大值；当 n 是奇数时,中间两项n 1 n 1C n 2 C n 2 取得最大值3各二项式系数和： C 0 nC 1 nC 2 n C r n C n n2 n；C 0 nC 2 nC 4 n C 1 nC 3 nC 5 n 2 n1. 例 1：13x n其中 nN*且 n6的绽开式中 x 5与 x 6的系数相等,就n A.6 B.7 C.8 D.9 解： 由条件得 C 5n3 5C 6n3 6,n！5！（ n5）！n！ 3,6！（ n6）！3n

4、56,n7.应选 B.例 2：2022 大纲 x y y x 8的绽开式中 x 2y 2 的系数为 _.用数字作答 解：x y y x 8绽开式的通项公式为 Tr1C r8 xy 8ryx r1 rC x 8 r 832 ry 32 r 4,令 83 2r2,解得 r4,此时 3 2r4 2,所以绽开式中 x 2y 2 的系数为 1 4C 4870.故填 70.一个防范【题型二】求 abmxyn绽开特定项 运用二项式定理肯定要牢记通项Tr1Crna nrb r,留意 ab n 与ban虽然相同,但详细到它例 1：在1x 51x61x71x 8 的绽开式中,含 x 3的项的系数是 们绽开式的某一

5、项时是不同的,肯定要留意次序问题,另外二项绽开式的二项式系数与该项的A74 B121 C74 D121 解析绽开式中含 x 3 项的系数为 C 3513C 361 3C 371 3C 381 3121. 字母 系数是两个不同的概念,前者只指r C n,而后者是字母外的部分前者只与n 和 r 有关,恒为正,后者仍与a,b 有关,可正可负【题型三】求 abmxyn绽开特定项一个定理例 1：2022 全国课标卷已知1ax1x5的绽开式中 x 2 的系数为 5,就 a二项式定理可利用数学归纳法证明,也可依据次数,项数和系数利用排列组合的学问推导二项A. 4 B.3 C.2 D.1 解： 1ax1x 5

6、 的绽开式中 x 2项为 C 25x 2axC 15x10 x 25ax 2105ax 2. x 2 的系数为 5,105a5,a 1.应选 D.名师总结优秀学问点解析易知 Tr 1C r 5x 2x5ry r,令 r2,就 T3C 2 5x 2x 3y 2,对于二项式例 2：2022浙江卷 在1x 61y 4 的绽开式中,记x my n 项的系数为 fm,n,就 f3,0 x2x 3,由 Tt 1C t3x2 3 tx tC t3x 6 t,令 t1,所以 x 5y 2 的系数为 C 25C 1330. f2,1f1,2f0,3 【题型五】二项式绽开逆向问题A45 B60 C120 D210

7、 解析在1x 6 的绽开式中,x m的系数为 C m6 ,在1y 4 的绽开式中,y n的系数为 C n4,故 fm,例 1：2022广州毕业班综合测试 如 C 1 n3C 2 n3 2C 3 n 3 n2C n1n3 n185,就 n 的值m n 3 2 1 1 2 3nC 6C 4.从而 f3,0C 620,f2,1C 6C 460,f1,2C 6C 436,f0,3C 44,为 A.3 B.4 C.5 D.6 所以 f3,0f2,1 f1,2f0,3120,应选 C.解： 由 C 1n3C 2n 3 n2C n1 n3 n11 313 n185,解得 n4.应选 B.例 3：已知数列 a

8、 n是等差数列, 且a6a 710,就在xa 1xa 2xa 12的绽开式中,【题型六】赋值法求系数（和）问题x 的系数为 _. 11例 1：已知 12x7a0a1xa2x 2 a7x 7.解：11 x 的系数为a 1a2a 126a 6a 760；求： 1a1a2 a7；2a1a3a5a7；【题型四】求 xyzn绽开特定项3a0a2a4a6；4| | a0 | | a1 | | a2 | | a7 .解： 令 x1,就 a0a1a2a3a4a5a6a7 1.例 1：求x 21 x25 x0的绽开式经整理后的常数项.令 x 1,就 a0a1a2a3a4a5a6a73 7.0 1a0C 71,a

9、1a2a3 a72.解法一：x 21 x25 在 x0 时可化为2 1 x10,2 2,得 a1a3a5a77132 1094.r 因而 Tr1C 10110rx 102r5,就 r5 时为常数项,即 C 101563 2 2 .7133 2,得 a0a2a4a621093.412x 7 的绽开式中, a0,a2,a4,a6 大于零,而 a1,a3,a5,a7 小于零,22解法二： 所给的式子为三项式,采纳两个计数原理求解.分三类： 5 个式子均取2,就 C52 54 2；| | a0 | | a1 | | a2 | | a7 a0a2a4a6a1a3a5a7,取一个x 2,一个 1 x,三个

10、2,就 C 51 2 C 42 320 2；所求即为亦即,其值为 2187.点拨：“ 赋值法” 普遍运用于恒等式,是一种处理二项式相关问题比较常用的方法 .对形如axb n,ax 2bxc ma,b,cR的式子求其绽开式各项系数之和,只需令 x1 即可；对形如 axby na,bR的式子求其绽开式各项系数之和,只需令 xy1 即可.如 fxa0a1xa2x 2 anx n,就 fx绽开式中各项系数之和为 f1,奇数项系数之取两个x 2,两个 1 x,一个2,就 C 51 22 C 3 215 2 2 .所以,常数项为4 220 215 2 263 2 2 .和 为a0 a2 a4 f（1） f

11、（ 1）2, 偶 数 项 系 数 之 和 为a1 a3 a5 点拨：三项式的绽开式问题,通常可用解法一化为二项式问题,或用解法二化为计数问题.例 2：如将xyz 10绽开为多项式,经过合并同类项后它的项数为（）f（1） f（ 1）2.A11B33C55D66 例 2：设 2x 2 2na0a1xa2x 2 a2nx 2n,就a0a2a4 a2na2n1 2_.2a1a3a5解：绽开后,每一项都形如a b cx y z ,其中abc10,该方程非负整数解的对数为2 C 10266；例 3：2022 课标全国卷 x 2xy 5 的绽开式中, x 5y 2的系数为 解： 设 fx2 2x2n,就 a

12、0a2a4 a2n 2a1a3a5 a2n1 2a0a2A10 B20 C30 D60 a4 a2na1a3a5 a2n1a0a2a4 a2na1a3a5 a2n1f1 f1名师总结 优秀学问点212 2n212 2n 1 2 2n1 4 n.例 3：已知 x1 2x2 2022a0a1x2a2x2 2 a2022x2 2022,就a1 2a2 2a3 2 3a2022 2 2022的值为 _. 解： 依题意令 x3 2,得 3 21 23 22 2022a0a1 3 22 a2 3 22 2 a2022 3 22 2022,令 x 2 得 a00,就a1 2a2 2a3 2 3 a2022

13、2 20221 2 2022.【题型七】平移后系数问题例 1：如将函数 fxx 5 表示为 fxa0a11xa21x 2 a51x 5, 其中 a0,a1,a2, , a5 为实数,就 a3_.二项式系数最大的项为 T5C 482x 41 120 x 4.C r82 rC r1 82 r1,设第 r1 项系数最大,就有C r82 rC r182 r1,解得 5r6.所以 r5 或 r6,所以系数最大的项为 T61 792x 5 或 T71 792x 6.点拨：1求二项式系数最大项：假如 n 是偶数,就中间一项 第n 21项 的二项式系数最大；假如 n 是奇数,就中间两项 第n1 2项与第 n1

14、 21 项的二项式系数相等并最大 .2求绽开式系数最大项：如求 abx na,bR的绽开式系数最大的项,一般是采纳待定系数法,列出不等ArAr1,式组 ArAr 1,从而解出 r,即得绽开式系数最大的项 . 解法一： 令 x1y,y1 5a0a1ya2y 2 a5y 5,故 a3C 251 210.【题型九】两边求导法求特定数列和a51,例 1：如2x3 5a0a1xa2x 2a3x 3a4x 4a5x 5,就 a12a23a34a45a5_4解法二： 由等式两边对应项系数相等 .即：C 5a5a40,解得 a310.3 3C 5a5C 4a4a30,解法三： 对等式： fxx 5a0a11x

15、a21x 2 a51x 5两边连续对 x 求导三次解析原等式两边求导得52x3 42x3 a12a2x3a3x 24a4x 35a5x 4,令上式中 x1,得 a12a23a34a45a510. 得：60 x 26a324a41x60a51x2,再运用赋值法,令x 1 得： 606a3,即 a310.【题型十】整除问题故填 10.【题型八】二项式系数、系数最大值问题例 1：设 aZ,且 0a13,如 51 2 012a 能被 13 整除,就 a A0 B1 C11 D12 例 1：x1 2xn 的绽开式中第五项和第六项的二项式系数最大,就第四项为_解析51 2 012a521 2 012aC

16、02 01252 2 012C 12 01252 2 011 C 2 0112 012 521 2 011C 2 0122 0121 2 012a,C02 01252 2 012C 12 01252 2 011 C 2 011 2 012 521 2 011能被 13 整除且 51 2 012a 能被 13 整除,C 2 0122 0121 2 012a1a 也能被 13 整除因此 a 可取值 12. 解析由已知条件第五项和第六项二项式系数最大,得n9,x1 2x9 绽开式的第四项3 为 T4C 9x61321 2 .2x例 2：把1x 9 的绽开式按 x 的升幂排列,系数最大的项是第_项例

17、2：已知 m 是一个给定的正整数,假如两个整数 a,b 除以 m 所得的余数相同,就称与 b 对模 m 同余,记作 abmodm,例如：513mod 4.如 2 2022rmod 7,就 r 可能等于 a A4 B5 C6 D7 A.2022 B.2022 C.2022 D.2022 解析1x9 绽开式中第 r1 项的系数为 C r91 r,易知当 r4 时,系数最大,即第5解：2 20222 2 2 3 6714 8 67147167147 671C 16717 670 C 67067171.因此 2 2022除以项系数最大,选 B.7 的余数为 4.体会证,只有 2022 除以 7 所得的

18、余数为 4.应选 A. 三自我检测例 3：12xn的绽开式中第 6 项与第 7 项的系数相等, 求绽开式中二项式系数最大的项和1、2022 青岛一检“ n5” 是“2 x1 3 xn nN *的绽开式中含有常数项” 的 系数最大的项 .解：T6C 5n2x 5,T7C 6n2x6,依题意有 C n2 5 5C 6n2 6,解得 n8.所以12x 8 的绽开式中,A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件名师总结优秀学问点2、已知 C 0 n2C 1 n2 2C 2 n2 3C 3 n 2 nC n n729,就 C 1 nC 2 nC 3 n C n n等于 A63 B64 C31 D32 3、组合式 C 0n2C 1n4C 2n8C 3n 2 nC nn的值等于 A1 nB1 C3 nD3 n1 4、如 1xx 2 6a0a1xa2x 2 a12x 12,就 a2a4 a12_5、已知 1x 10a0