相交线与平行线（题型归纳）（原卷版+解析）

专题08相交线与平行线

题型一对顶角的概念与性质

2.（2022・陕西西安.二模）当光线从空气中射入某种液体中时，光线的传播方向发生了变化，在物理学中这

种现象叫做光的折射.如图，液面于点。，一束光线沿CD射入液面，在点。处发生折射，折射

光线为。E,点P为的延长线上一点，若入射角4=50。，折射角N2=36。，则/ED尸的度数为（）

A.14°B.16°C.18°D.25°

3.（2022.福建省厦门第六中学二模）如图,已知三条直线相交于点。则NBOZ）的对顶角是（）

1

A'力

A.ZAOCB./EOCC.ZEOAD.ZAOD

4.（2022•山东临沂・二模）如图，直线AB、CD相交于点。，射线OM平分NBOD,若ZAOM^160°,则ZAOC

等于（）

A.20°B.40°C.45°D.50°

5.如图，直线E尸，CD相交于点O,在/EOC内部画射线OA,使OC恰为NAOP的平分线，在/EOD内

部画射线使NAOE=2NBO£>,将直线C£>绕点0旋转，下列数据与/CO歹大小变化无关的是（）

A./EOD的度数B./A03的度数D.NAOC的度数

题型二邻补角概念及利用邻补角求角度

6.如图，若AB,CO相交于点。，过点。作OELCD,则下列结论不正确的是

A.N1与N2互为余角B.N3与N2互为余角

C.N3与ZAOD互为补角D./EOD与—3OC是对顶角

7.如图，直线A3,C。相交于点O,OE平分ZAOD.若N3O3=40°,则NCOE的度数为（）

A.130°B.120°

8.（2022.河北保定•一模）如图，小明手持激光灯照向地面，激光灯发出的光线CO与地面A3形成了两个角,

ZBOC=5ZAOC,则—3OC的度数是（）

尽c.

AOB

A.160°B.150°C.120°D.20°

9.如图，直线AB,8相交于点O,Q4平分NCO石，ZBOD=50°,贝ljN£OD=()

10.如图，直线AB,8交于点O.射线OM平分NAOC,若48=72。，则等于（）

A.36°B.108°C.126°D.144°

题型三垂线段最短与点到直线的距离

11.（2022・河北唐山.一模）在小河旁有一村庄，现要建一取水点，为使该村村民到河边取水最近，则取水

点应建在（）

小河

A.A点B.B点、C.。点D.。点

12.（2022・河北保定•一模）如图，设点尸是直线/外一点，尸Q，/,垂足为点。，点T是直线/上的一个动

点,连接尸T,贝1J（）

A.PT<POB.PT>TQC.PT>PQD.PT<PQ

13.（2022・江苏・射阳县第四中学二模）下列三个日常现象:

①跳远测蚩②道路改道③木条固定

其中，可以用“两点之间线段最短”来解释的是（)

A.①C.D.

14.直线/外有一点P,直线/上有三点A、B、C,若尸B=2cm,PC=3cm,那么点尸到直线/

的距离（）

A.不小于2cmB.不大于2cmC.大于2cmD.小于2cm

15.如图，ZBAC=90°,ADL3C于点。，点5到AD的距离是下列哪条线段的长度（）

题型四平行线的判定

16.（2022.广西柳州•模拟预测）如图所示，下列条件中能说明。〃b的是（）

A.Z1=Z2B./3=/4C.Z2+Z4=180°D.Zl+Z4=180°

17.（2022•山东淄博•二模）下列图形中，由N1=N2能得到的是（）

18.如图，直线。〃6,且直线a,b被直线c,d所截，则下列条件不熊判定直线c〃d的是（）

19.（2022・吉林・中考真题）如图，如果N1=N2,那么AB〃CD,其依据可以简单说成（）

A.两直线平行，内错角相等B.内错角相等，两直线平行

C.两直线平行，同位角相等D.同位角相等，两直线平行

20.（2022・广东•蛇口育才二中三模）如图，能判定的条件是（

EA

A.ZC=ZJB.ZA=Z2C.ZC=Z3D.ZA=Z1

21.（2022・宁夏・固原市原州区三营中学模拟预测）在数学课上，老师要求同学们利用一副三角板任作两条

平行线.小明的作法如下:

如图，（1）任取两点A,B,画直线A3.

（2）分别过点A,B作直线AB的两条垂线ACM；

则直线AC、即为所求.

老师说：“小明的作法正确.”请回答：小明的作图依据是.

22.（2022•新疆阿克苏.一模）如图，将木条a,b与c钉在一起，Z2=5O°,若要使木条a与6平行，则N1

的度数应为.

23.（2022•江苏南京•模拟预测）如图，直线a、》被c所截，4=130。，当N2=。时，a//b

24.（2022•甘肃.平凉市第十中学三模）将一副三角板如图摆放，则//,理由是

25.如图，给出了直线外一点作已知直线平行线的一种方法，它的依据是

题型五平行线的性质

26.（2022•四川德阳•模拟预测）如图，直线a//6,将三角尺的直角顶点放在直线6上，如果N2=60。，那

么/I的度数为（）

A.30°B.40°C.50°D.60°

27.如图，ZAOB=45。,CD〃OB交OA于E,则NAEC的度数为()

A.130°B.135°C.140°D.145°

28.（2022・湖南•长沙市一中双语实验中学九年级阶段练习）如图，直线。〃6,则直线°,人之间的距离是（）

A.线段ABB.线段A2的长度C.线段。D.线段8的长度

29.（2022•湖南・长沙市开福区青竹湖湘一外国语学校九年级期中）如图，AB//CD,AE平分/C4B交CO

于点E.若NC=50。，则/AEC的大小为（）

A.55°B.65°C.70°D.80°

30.如图，直线AB平行直线CO,ZEFD=102°,EG平分ZBEF,贝l|NEGR=()

A.38°B.39°C.48°D.49°

31.（2022・四川宜宾.模拟预测）有下列说法：①对顶角相等；②同位角相等；③过一点有且只有一条直

线与已知直线垂直；④点到直线的距离即为垂线段；⑤同旁内角互补，两直线平行•其中正确的有

32.将一副三角板（含30。、45。、60。、90。角）按如图所示的位置摆放在直尺上，则N1的度数为'

33.（2022・四川•成都市双流区立格实验学校二模）如图，把三角尺的直角顶点放在直尺的一边上，若4=32。,

则Z2的度数为

34.（2022.宁夏.吴忠市第三中学一模）如图，在平行线以6之间放置一块直角三角板，三角板的顶点43分

别在直线。、匕上，则N1+N2的度数为.

35.如图，直线Zl=100°,则N2的度数是

题型六命题'定理和证明的应用

36.（2022•浙江嘉兴•九年级期中）下列命题正确的是（）

A.长度相等的弧是等弧

B.平分弦的直径垂直于弦，并且平分弦所对的弧

C.不在同一直线上的三点确定一个圆

D.圆内接三角形一定是等边三角形

37.下列说法正确的是（）

A.命题一定有逆命题B.所有的定理一定有逆定理

C.真命题的逆命题一定是真命题D.假命题的逆命题一定是假命题

38.下列命题是假命题的是（）

A.如果/1=N2,Z2=Z3,那么/1=/3B.对顶角相等

C.如果一个数能被4整除，那么它也能被2整除D.内错角相等

39.（2022•重庆・西南大学附中三模）下列命题是真命题的是（）

A.五边形的内角和为560。

B.三角形的外角大于它的任意一个内角

C.六条边都相等的六边形是正六边形

D.锐角三角形的三条高均在三角形的内部

40.（2022・山东青岛•九年级期中）在下列命题中，正确的是（）

A.一组对边平行的四边形是平行四边形

B.有一个角是直角的四边形是矩形

C.有一组邻边相等的平行四边形是菱形

D.对角线互相垂直平分的四边形是正方形

41.在两个命题中，如果一个命题的条件和结论分别是另一个命题的,那么这两个命题称为互逆命

题，其中一个命题称为另一个命题的.

42.把命题“对顶角相等”改写成“如果……，那么……”的形式：.

43.为了说明命题“若/>9,贝腐>3”是假命题，举一个反例：那么。的值可以是.

44.（2022•吉林大学附属中学一模）“如果两直线平行，那么同旁内角相等”是命题.（填“真”或"假”）

45.（2022•广西贺州・一模）命题：“对顶角相等”的逆命题是.

题型七图形的平移变换

■

46.如图，将放△ABC沿着点8到C的方向平移到△。环的位置，AB=10,00=4,平移距离为6,则阴

影部分面积为（）

A.42B.96C.48D.84

47.（2022.福建省福州教育学院附属中学模拟预测）通过平移图中的吉祥物“冰墩墩”得到的图形是（）

A.B.D.

48.（2022.广东.佛山市南海区石门实验学校模拟预测）如图，将△A3C向右平移〃cm（a>0）得到△。跖,

连接AD,若△ABC的周长是36cm,则四边形A3尸。的周长是（）

A.（36+Q）cmB.（72+。）cmC.（36+2。）cmD.（72+2。）cm

49.如图，将△A5c沿5C方向平移1cm得到对应的△若8C=2cm,则5c的长是（）

A.2cmB.3cmD.5cm

50.如图，在△ABC中，ZBAC=90°,AB=3cm,AC=4cm,将沿直线5C向右平移2.5cm后，得到

△DEF,连接下列结论错误的是（）

D

B

A.AC//DFB.AD//CFC.CF=3cmD.DEIAC

51.如图，已知矩形ABC。，AB=18cm,AD=10cm,在其矩形内部有三个小矩形，则这三个小矩形的周

长之和为cm.

52.（2022•山东・德州市第九中学九年级期中）如图，一楼梯的高度为6.4m,水平宽度为8.6m,现要在楼梯

的表面铺一种地毯，此种地毯每米需10元钱，那么购买地毯需要元.

53.（2022•贵州贵阳•二模）如图，将RdABC沿着点8到C的方向平移到△。所的位置，AB=9,DO=4,

平移距离为6,则阴影部分面积为

54.（2022•江苏淮安•九年级期中）如图，将△ABC沿射线8c方向向右平移了7cm,得到AAB'C,若？C

=3cm,则BC=cm.

55.如图，将ZA8C平移到京。的位置（点8在AC边上），若/B=55。，NC=100。，则上48q的度数

为°.

专题08相交线与平行线

题型分析

题型演练

题型一对顶角的概念与性质

)

【答案】c

【分析】根据对顶角的意义求解.

【详解】解：对顶角指的是有一个公共顶点,并且一个角的两边是另一个角两边的反向延长

线的两个角,

所以A两角只有一条边互为反向延长线，另一条边没有互为反向长线，不符合题意;

B两角也是只有一条边互为反向延长线，另一条边没有互为反向长线，不符合题意；

C两角有一个公共顶点，并且一个角的两边是另一个角两边的反向延长线的两个角，符合题

-zfe.

忌；

D两角没有公共顶点，不符合题意；

故选C.

2.（2022•陕西西安.二模）当光线从空气中射入某种液体中时，光线的传播方向发生了变化,

在物理学中这种现象叫做光的折射.如图，AB/液面于点。，一束光线沿。射入液

面，在点。处发生折射，折射光线为。E,点尸为的延长线上一点，若入射角4=50。，

折射角N2=36。，则/ED尸的度数为（）

A.14°B.16°C.18°D.25°

【答案】A

【分析】根据对顶角相等，计算角的差即可;

【详解】解：•••尸点在CD延长线上,

：.Z1^ZFDB=5O°,

：./EDF=/FDB-N2=14°,

故选：A.

3.（2022.福建省厦门第六中学二模）如图,已知三条直线相交于点。，则NBOD的对顶角

是（）

A.ZAOCD.ZAOD

【答案】A

【分析】根据对顶角的定义可得答案.

【详解】解：的对顶角是/AOC,故选：A.

4.（2022•山东临沂.二模）如图，直线AB、CD相交于点。，射线平分若

NAOM=160°,

A.20°D.50°

【答案】B

【分析】根据邻补角的定义求出再根据角平分线的定义求出N2。。，然后根据对

顶角相等求解即可.

【详解】ZAOM=160°,

:.ZBOM=180°-ZAOM=20°,

•••。拉平分/3OD,

ZBOD=2ZBOM=40°

ZAOC=ZBOD=40°

故选B

5.如图，直线E尸，CD相交于点0,在NEOC内部画射线。4,使0C恰为/A0F的平分

线，在NEOD内部画射线02,使ZAOE=2NBOD,将直线CO绕点。旋转，下列数据与

NCO尸大小变化无关的是（）

A.NEOQ的度数D./AOC的度数

【答案】B

【分析】根据角平分线和对顶角相等分别找到ZCOF与各个选项的角度的关系即可.

【详解】CO相交于点0,

Z.EOD=ZCOF,A选项不符合题意；

：0C恰为/AO歹的平分线，

ZAOC=Z.COF,D选项不符合题意;

*.•ZAOD=\^°-Z\OC

：.ZAOD=180°-ZCOF,C选项不符合题意；

故选：B

题型二邻补角概念及利用邻补角求角度

I

6.如图，若AB,C£＞相交于点。，过点。作OELCD,则下列结论不正确的是

A.N1与N2互为余角B./3与N2互为余角

C./3与ZAC©互为补角D./EOD与—3OC是对顶角

【答案】D

【分析】根据余角、邻补角、对顶角的定义即可求解.

【详解】由图可知，

...N1与N2互为余角，A正确；

/3与N2互为余角，B正确；

/3与ZAC©互为补角，C正确；

ZAOD与/30C是对顶角，故D错误；

故选D.

7.如图，直线48,CD相交于点。，。£平分ZAOD.若々00=40。，则NCOE的度数为

()

A.130°B.120°C.110°D.100°

【答案】C

【分析】根据对顶角的性质，邻补角的含义先求解NAOCZAO2再利用角平分线的定义

求解NAOE,再利用角的和差关系可得答案.

【详解】解：ZBOD=40°,

ZAOD=180°-40°=140°,ZAOC=ZBOD=40°,

OE平分ZAOD,

:.ZAOE=~ZAOD=10°,

2

ZCOE=ZAOC+ZAOE=110°.

故选：C.

8.（2022•河北保定•一模）如图，小明手持激光灯照向地面，激光灯发出的光线CO与地面AB

形成了两个角，ZBOC=5ZAOC,则230C的度数是（）

【答案】B

【分析】利用补角的定义及NBOC与24OC的关系可求解NAOC的度数，进而可求解NBOC

的度数.

【详解】解：VZAOC+ZBOC=180°,ZBOC=5ZAOC,

.•.6NAOC=180。，

ZAOC=30°,

.,.ZBOC=5x30°=150°,

故选：B.

9.如图，直线AB,CO相交于点。，平分NCOE,ZBOD=50°,则NEOD=（）

ED

Cz

A.60°B.70°C.75°D.80°

【答案】D

【分析】根据对顶角相等求出/AOC的度数，从而根据角平分线的定义求出NCOE的度数,

再根据邻补角互补求解即可.

【详解】解：：400=50。，

ZAOC=ZBOD=50P,

,/平分/COE,

二ZCOE=2ZAOC=100°,

/.ZEOD=180°-ZCOE=180°-100°=80°.

故选：D.

10.如图，直线A3,CO交于点O.射线O痴平分NAOC,若々00=72。，则暇等

于（）

A.36°B.108°C.126°D.144°

【答案】D

【分析】根据对顶角求得根据角平分线的意义求得NAQW,根据邻补角即可求

解.

【详解】解：••,/BOD=72。，

:.ZAOC=ZBOD=1T,

•.,射线平分NAOC,

ZAOM=ZCOM=-ZAOC=36°.

2

Z.BOM=180°-ZAOM=144°.

故选D.

题型三垂线段最短与点到直线的距离

11.（2022・河北唐山.一模）在小河旁有一村庄，现要建一取水点，为使该村村民到河边取水

最近，则取水点应建在（）

小河

【答案】C

【分析】利用垂线段的性质判断即可；

【详解】解：二.连接直线外一点与直线上各点的所有线段中，垂线段最短，

；.C点离村庄最近，

故选：C.

12.（2022•河北保定•一模）如图，设点P是直线/外一点，PQ-LI,垂足为点Q,点T是直

A.PT<POB.PT>TQC.PT>PQD.PT<PQ

【答案】C

【分析】根据垂线的性质“垂线段最短”即可得到结论.

【详解】解：：尸。，/,点T是直线/上的一个动点，连结PT,

：.PT>PQ,

故选：C.

13.（2022•江苏・射阳县第四中学二模）下列三个日常现象：

①跳远测量②道路改道③木条固定

其中，可以用“两点之间线段最短”来解释的是（）

A.①B.②C.③D.②③

【答案】B

【分析】根据垂线段最短，两点之间线段最短，两点确定一条直线，逐个分析判断即可.

【详解】解：①可以用垂线段最短解释；②可以用两点之间线段最短解释；③可以用两点确

定一条直线解释.故选：B.

14.直线/外有一点P,直线/上有三点A、B、C,若尸8=2cm,PC=3cm,那

么点尸到直线/的距离（）

A.不小于2cmB.不大于2cmC.大于2cmD.小于2cm

【答案】B

【分析】根据点到直线的距离的定义和垂线段最短的性质解答.

【详解】解：PA=4cm,PB=2cm,PC=3cm,

点到直线l的距离不大于2cm.

故选：B.

15.如图，ZBAC=90°,于点。，点8到的距离是下列哪条线段的长度（）

【答案】B

【分析】根据点到直线的距离的定义（从直线外一点到已知直线的垂线段的长度）进行判断.

【详解】:ACBC于点。，

/.点B到AD的距离是线段BD的长度，

故选：B.

题型四平行线的判定

16.（2022•广西柳州.模拟预测）如图所示，下列条件中能说明a〃匕的是（）

ab

A.Z1=Z2B./3=/4C.Z2+Z4=180°D.Zl+Z4=180°

【答案】B

【分析】利用平行线的判定定理对各选项进行分析即可.

【详解】解：A.当Nl=/2时，不能判定。〃6,故选项不符合题意；

B.当N3=N4时，N3与N4属于同位角，能判定。〃b,故选项符合题意；

C.当N2+N4=180。时，N2与N4属于同旁内角，能判定c〃d,故选项不符合题意;

D.当/1+/4=180。时，不能判定故选项不符合题意；

故选：B.

17.（2022•山东淄博•二模）下列图形中，由N1=N2能得到AB〃CD的是（）

【答案】B

【分析】根据平行线的判定定理逐项分析即可.

【详解】A.N1=N2,不能判断AB〃CD,故A不符合题意;

B.VZ1=Z2,

：.AB//CD（内错角相等，两直线平行），故B符合题意；

C.-.-Zl=Z2,

AC//BD,故C不符合题意；

D.Z1=Z2,不能判断AB〃CD,故D不符合题意.

故选：B.

18.如图，直线。且直线°,方被直线c,d所截，则下列条件不熊判定直线c〃d的是

()

d

A./3=/4B.D.Z1=Z4

【答案】C

【分析】利用平行线的判定条件进行分析即可得出结果.

【详解】解：A、当—3=/4时，c〃d；故A不符合题意;

B、当Nl+N5=180。时，c〃d；故B不符合题意;

C、当N1=N2时，aHb；故C符合题意;

D,'：a//b,则/1=/2,

VZ1=Z4,贝ljN2=N4,

：.c//d；故D不符合题意;

故选：C

19.（2022•吉林・中考真题）如图,如果N1=N2,那么AB〃CD,其依据可以简单说成（）

A.两直线平行，内错角相等B.内错角相等，两直线平行

C.两直线平行，同位角相等D.同位角相等，两直线平行

【答案】D

【分析】根据“同位角相等，两直线平行”即可得.

【详解】解：因为N1与N2是一对相等的同位角，得出结论是A3〃C。，

所以其依据可以简单说成同位角相等，两直线平行，

故选：D.

20.（2022・广东•蛇口育才二中三模）如图，能判定£B〃AC的条件是（）

EA

A.NC=4B.ZA=Z2C.ZC=Z3D.ZA=Z1

【答案】D

【分析】直接根据平行线的判定定理对各选项逐一进行分析即可.

【详解】解：A、•••/（7和N1不是同位角，

ANC=N7不能判定任何直线平行，故此选项不符合题意；

B、,.,/A和N2不是内错角，

A/4=N2不能判定任何直线平行，故此选项不符合题意；

C、和/3不是同位角，

ANC=Z3不能判定任何直线平行，故此选项不符合题意；

D、A和N1是内错角，

.,.当NA=/1时能判定£B〃AC,故此选项符合题意.

故选：D.

21.（2022.宁夏・固原市原州区三营中学模拟预测）在数学课上，老师要求同学们利用一副三

（2）分别过点A,8作直线的两条垂线AC的；

则直线AC、即为所求.

老师说：“小明的作法正确请回答：小明的作图依据是

【答案】在同一平面上，垂直于同一直线的两直线平行

【分析】根据在同一平面上，垂直于同一直线的两直线平行，即可求解.

【详解】解：；AC±AB,BD1.AB,

：.AC//BD（在同一平面上，垂直于同一直线的两直线平行）

故答案为：在同一平面上，垂直于同一直线的两直线平行

22.（2022•新疆阿克苏.一模）如图，将木条a,方与c钉在一起，Z2=50°,若要使木条。

与b平行，则N1的度数应为.

【答案】50°

【分析】根据同位角相等，两直线平行，求出N1的度数.

【详解】解：:/仁/2时，a//b,

,若要使木条。与6平行，/1=/2=50。，

故答案为：50°.

23.（2022•江苏南京•模拟预测）如图，直线小。被c所截，Zl=130°,当N2=。时,

aHb

【答案】50

【分析】根据同旁内角互补，两直线平行求解即可.

【详解】解：由题意得N1与N2是同旁内角，

...当Nl+N2=180°时a〃》，

VZl=130°,

.•.当/2=50。时，a//b

故答案为：50.

24.（2022•甘肃.平凉市第十中学三模）将一副三角板如图摆放，则//,理由是

【答案】BCDE内错角相等，两直线平行

【分析】根据三角板的角度可知ZBC4=ZDEF=90。，根据内错角相等，两直线平行判断即可.

【详解】解：一副三角板如图摆放,

ZBCA=ZDEF=90°,

：.BC//DE（内错角相等，两直线平行），

故答案为：BC；DE-,内错角相等，两直线平行.

25.如图，给出了直线外一点作已知直线平行线的一种方法，它的依据是

【答案】同位角相等，两直线平行

【分析】利用作图可得，画出两同位角相等，从而根据平行线的判定方法可判断所画直线与

原直线平行.

【详解】解：给出了过直线外一点作已知直线的平行线的方法，其依据是同位角相等，两直

线平行.

故答案是：同位角相等，两直线平行.

题型五平行线的性质

26.（2022•四川德阳•模拟预测）如图，直线a〃小将三角尺的直角顶点放在直线b上，如

果N2=60。，那么N1的度数为（）

【答案】A

【分析】根据平行线的性质求出23,由平角性质可知/1=180。--3-90。即可得出结论.

a11b,

.-.Z2=Z3=60°,

Z1=180°-90°-Z3=180°-90°-60°=30°,

故选：A.

27.如图，ZAOB=45。,CD〃OB交。4于E,则NAEC的度数为（）

A.130°B.135°C.140°D.145°

【答案】B

【分析】由切〃妣4必=45。，根据平行线的性质得到/A£D=45。，根据平角的意义即

可求出答案.

【详解】解：•.•5〃阳,//阳=45。，

ZAOB=ZAED=45°,

-.■ZAEC+ZAED=180°,

.•./板=180°-45°=135°,

故选：B.

28.（2022・湖南・长沙市一中双语实验中学九年级阶段练习）如图，直线。〃人则直线a,b

之间的距离是（）

A.线段ABB.线段A3的长度C.线段COD.线段。的长度

【答案】D

【分析】根据两平行线之间的距离的概念：两条平行线中，一条直线上任意一点到另一条直

线的距离叫做两平行线的距离，进行判断即可.

【详解】解：,•・直线。〃6,CDLb,

二线段CZ）的长度是直线公匕之间的距离，

故选：D.

29.（2022・湖南•长沙市开福区青竹湖湘一外国语学校九年级期中）如图，AB//CD,AE平

分NCAB交CD于点、E.若NC=50。，则—AEC的大小为（）

B

ED

A.55°B.65°C.70°D.80°

【答案】B

【分析】根据平行线的性质得出NC4B=130。，根据角平分线的性质以及平行线的性质即可

求解.

【详解】

ZBAC+ZC=180°,

,/ZC=50°,

NBA。=130°,

：AE平分/C45,

ZBAE=ZCAE=-ABAC=65°,

2

,/AB//CD,

：.ZAEC=ZBAE=65°.

故选B.

30.如图，直线A3平行直线C£）,ZEED=102°,EG平分ZBEF,则NEGF=（）

A.38°B.39°C.48°D.49°

【答案】B

【分析】根据AB〃CD可知/BE尸+NETO=180。，进而求出NBEF,再根据EG平分NB砂1

可ZBEG,再根据平行线的性质知NEGF=NBEG.

【详解】解：

:./BEF+NEFD=180。（两直线平行，同旁内角互补），

ZBEF=1800-ZEFD=180°-102°=78°.

EG平分ZBEF,

ZBEG=-ZBEF=39°.

2

,/ABHCD,

;.NEGF=ZBEG=39°（两直线平行，内错角相等）.

故选B.

31.（2022・四川宜宾・模拟预测）有下列说法：①对顶角相等；②同位角相等；③过一点有

且只有一条直线与已知直线垂直；④点到直线的距离即为垂线段；⑤同旁内角互补，两直

线平行•其中正确的有.

【答案】①⑤

【分析】分别利用平行线的性质、对顶角的性质及平行公理对四个选项逐一判断后即可确定

正确的选项.

【详解】解：①对顶角相等，故正确；

②只有在两直线平行的条件下，同位角一定相等，故错误；

③在同一平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线垂直，故错误；

④点到直线的距离即为垂线段的长度，故错误；

⑤同旁内角互补，两直线平行，正确；

故答案为：①⑤.

32.将一副三角板（含30。、45。、60。、90。角）按如图所示的位置摆放在直尺上，则-1的度数

为°.

【答案】60

【分析】由平角等于180。结合三角板各角的度数，可求出-2的度数，由直尺的上下两边平

行，利用“两直线平行，同位角相等”可得出N1的度数.

【详解】解：如图：

•.22+90°+30°=180°,

12=60°.

•.•直尺的上下两边平行，

21=12=60。.

故答案为：60.

33.（2022.四川.成都市双流区立格实验学校二模）如图，把三角尺的直角顶点放在直尺的一

边上，若4=32。，则N2的度数为______.

【答案】58°

【分析】先根据“三角尺的直角顶点放在直尺的一边上”得到/1+-3=90。，求出/3=58。,

再根据平行线的性质作答即可.

【详解】解：如图，

根据题意可得/1+/3=90。，

Z3=90°-Zl=90°-32。=58°,

根据平行线的性质可得，

Z2=Z3=58°.

故答案为：58°.

34.（2022・宁夏・吴忠市第三中学一模）如图，在平行线a、b之间放置一块直角三角板，三

角板的顶点A3分别在直线以6上，则N1+N2的度数为.

【答案】90°

【分析】过点。作8〃。，再由平行线的性质即可得出结论.

【详解】解：过点C作CD〃a,则/1=NACD.

'：a//b

：.CD//b

：.Z2=ZDCB

ZACD+NDCB=90。,

Zl+Z2=90°

故答案为：90°

35.如图，直线a〃入4=100。，则N2的度数是

1

a

【答案】80°

【分析】如图，根据平角的定义（等于180。的角叫做平角）求出N3的度数，根据平行线的

性质得出12=/3,代入求出即可.

【详解】如图，•.•4+N3=180°,

Z3=180°-Zl=80°,

a//b,

AZ2=Z3=80°,

1题型六命题、定理和证明的应用

■■

36.（2022•浙江嘉兴.九年级期中）下列命题正确的是（）

A.长度相等的弧是等弧

B.平分弦的直径垂直于弦，并且平分弦所对的弧

C.不在同一直线上的三点确定一个圆

D.圆内接三角形一定是等边三角形

【答案】C

【分析】根据等弧、垂径定理、确定圆的条件、圆内接三角形的知识进行判断即可.

【详解】解：A、长度相等的弧是等弧是错误的，等弧是完全重合的两条弧，本选项不符合

题意；

B、平分弦的直径垂直于弦，并且平分弦所对的弧，错误，此弦不是直径，本选项不符合题

思；

C、不在同一直线上的三点确定一个圆，正确，本选项符合题意；

D、圆内接三角形一定是等边三角形，错误，可以是任意三角形，本选项不符合题意.

故选：C

37.下列说法正确的是（）

A.命题一定有逆命题B.所有的定理一定有逆定理

C.真命题的逆命题一定是真命题D.假命题的逆命题一定是假命题

【答案】A

【分析】根据命题的定义和定理及其逆定理之间的关系，分别举出反例，再进行判断，即可

得出答案.

【详解】解：A、命题一定有逆命题，故此选项符合题意；

B、定理不一定有逆定理，如：全等三角形对应角相等没有逆定理，故此选项不符合题意；

C、真命题的逆命题不一定是真命题，如：对顶角相等的逆命题是：相等的两个角是对顶角，

它是假命题而不是真命题，故此选项不符合题意；

D、假命题的逆命题定不一定是假命题，如：相等的两个角是对顶角的逆命题是：对顶角相

等，它是真命题，故此选项不符合题意.

故选：A.

38.下列命题是假命题的是（）

A.如果/1=/2,Z2=Z3,那么/1=N3B.对顶角相等

C.如果一个数能被4整除，那么它也能被2整除D.内错角相等

【答案】D

【分析】利用对顶角的性质、实数的性质、平行线的性质分别判断后即可确定正确的选项.

【详解】解：A、如果/1=N2,N2=N3,那么/1=N3,正确，是真命题，不符合题意；

B、对顶角相等，正确，是真命题，不符合题意；

C、如果一个数能被4整除，那么它也能被2整除，正确，是真命题，不符合题意；

D、两直线平行，内错角相等，故原命题错误，是假命题，符合题意.

故选：D.

39.（2022・重庆・西南大学附中三模）下列命题是真命题的是（）

A.五边形的内角和为560。

B.三角形的外角大于它的任意一个内角

C.六条边都相等的六边形是正六边形

D.锐角三角形的三条高均在三角形的内部

【答案】D

【分析】根据多边形的内角和定理，三角形外角性质，正多边形定义，三角形高的性质解答

即可.

【详解】解：A、五边形的内角和为560。是假命题，不符合题意；

B、三角形的外角大于它的任意一个内角是假命题，不符合题意；

C、六条边都相等的六边形是正六边形是假命题，不符合题意；

D、锐角三角形的三条高均在三角形的内部是真命题，符合题意.

故选：D.

40.（2022•山东青岛.九年级期中）在下列命题中，正确的是（）

A.一组对边平行的四边形是平行四边形

B.有一个角是直角的四边形是矩形

C.有一组邻边相等的平行四边形是菱形

D.对角线互相垂直平分的四边形是正方形

【答案】C

【分析】根据平行四边形，矩形，菱形，正方形的判定定理判断即可.

【详解】解：A、一组对边平行且相等的四边形是平行四边形，故该选项错误；

B、有一个角是直角的平行四边形是矩形，故该选项错误；

C、有一组邻边相等的平行四边形是菱形，正确，符合题意；

D、对角线互相垂直平分且相等的四边形是正方形，故该选项错误.

故选：C.

41.在两个命题中，如果一个命题的条件和结论分别是另一个命题的,那么这两个命

题称为互逆命题，其中一个命题称为另一个命题的.

【答案】结论和条件逆命题

【分析】根据互逆命题的定义直接解答即可.

【详解】解：在两个命题中，如果第一个命题的条件是第二个命题的结论，而第一个命题的

结论是第二个命题的条件,那么这两个命题叫作互逆命题,如果把其中一个命题叫作原命题,

那么另一个命题叫作它的逆命题，

故答案为：结论和条件；逆命题.

42.把命题对顶角相等”改写成“如果……,那么……”的形式：.

【答案】两个角是对顶角，那么这两个角相等

【分析】先找到命题的题设和结论，再写成“如果...，那么…”的形式.

【详解】解：把命题“对顶角相等”改写成“如果……，那么……”的形式为：

如果两个角是对顶角，那么这两个角相等.

故答案为：两个角是对顶角，那么这两个角相等

43.为了说明命题“若/>9,则“>3”是假命题，举一个反例：那么a的值可以是.

【答案】-4（答案不唯一）

【分析】根据负数的平方也为正数，即当a=T时，满足/>9,但不满足。>3,即可填空.

【详解】当a=T■时，a2=16>9,但a<3,

故'若/>9,则a>3”是假命题.

故答案为：-4（答案不唯一）.

44.（2022•吉林大学附属中学一模）“如果两直线平行，那么同旁内角相等”是命题.（填

“真”或“假”）

【答案】假

【分析】根据“两直线平行，同旁内角互补”，从而可得答案.

【详解】解：因为：如果两直线平行，那么同旁内角互补，是真命