26.4 解直角三角形的应用 同步练习

第二十六章解直角三角形26.4解直角三角形的应用基础过关全练知识点1仰角、俯角1.(2022湖北黄石中考)某校数学兴趣小组开展“无人机测旗杆”的活动.已知无人机的飞行高度为30m，当无人机飞行至A处时，观测旗杆顶部的俯角为30°，继续飞行20m到达B处，测得旗杆顶部的俯角为60°，则旗杆的高度约为m.(参考数据：3≈1.732，结果按四舍五入保留一位小数)

2.(2022辽宁鞍山中考)北京时间2022年4月16日9时56分，神舟十三号载人飞船返回舱成功着陆.为弘扬航天精神，某校在教学楼上悬挂了一幅长为8m的励志条幅(即GF=8m).小亮同学想知道条幅的底端F到地面的距离，他的测量过程如下：如图，首先他站在楼前点B处，在点B正上方点A处测得条幅顶端G的仰角为37°，然后向教学楼条幅方向前行12m到达点D处(楼底部点E与点B，D在一条直线上)，在点D正上方点C处测得条幅底端F的仰角为45°，若AB，CD均为1.65m(即四边形ABDC为矩形)，请你帮助小亮计算条幅底端F到地面的距离FE.(结果精确到0.1m.参考数据：sin37°≈0.60，cos37°≈0.80，tan37°≈0.75)知识点2方向角3.(2023河北邢台襄都期中)如图，在某监测点B处望见一艘正在作业的渔船在南偏西15°方向的A处，若渔船沿北偏西75°方向以40海里/小时的速度航行，航行半小时后到达C处，在C处观测到B在C的北偏东60°方向上，则B、C之间的距离为()A.20海里 B.103海里 C.202海里 D.30海里4.(2022湖南怀化中考)某地修建了一座以“讲好隆平故事，厚植种子情怀”为主题的半径为800米的圆形纪念园.如图，纪念园中心点A位于C村西南方向和B村南偏东60°方向上.C村在B村的正东方向且两村相距2.4km.有关部门计划在B、C两村之间修一条笔直的公路来连接两村.问该公路是否穿过纪念园?试通过计算加以说明.(参考数据：3≈1.73，2≈1.41)知识点3坡度、坡角5.(2022贵州毕节中考)如图，某地修建的一座建筑物的截面图的高BC=5m，坡面AB的坡度为1∶3，则AB的长度为()A.10m B.103m C.5m D.56.(2022湖南郴州中考)某水库大坝的横截面如图所示，坝高CD=20m，背水坡BC的坡度为i1=1∶1.为了对水库大坝进行升级加固，降低背水坡的倾斜程度，设计人员准备把背水坡的坡度改为i2=1∶3，求背水坡新起点A与原起点B之间的距离.(参考数据：2≈1.41，3≈1.73.结果精确到0.1m)能力提升全练7.(2022湖北十堰中考)如图，坡角为α的斜坡上有一棵垂直于水平地面的大树AB，当太阳光线与水平线成45°角沿斜坡照下时，在斜坡上的树影BC长为m，则大树AB的高为()A.m(cosα-sinα) B.m(sinα-cosα) C.m(cosα-tanα) D.m8.(2022贵州黔东南州中考)如图，校园内有一株枯死的大树AB，距树12米处有一栋教学楼CD，为了安全，学校决定砍伐该树，站在楼顶D处，测得点B的仰角为45°，点A的俯角为30°.小青计算后得到如下结论：①AB≈18.8米；②CD≈8.4米；③若直接从点A处砍伐，树干倒向教学楼CD方向会对教学楼有影响；④若第一次在距点A的8米处的树干上砍伐，则不会对教学楼CD造成危害.其中正确的是.(填写序号，参考数值：3≈1.7，2≈1.4)

9.(2022宁夏中考)2022年4月16日9时56分，神舟十三号载人飞船返回舱在东风着陆场成功着陆，某一时刻观测点D测得返回舱底部C的仰角∠CDE=45°，降落伞底面圆A点处的仰角∠ADE=46°12'.已知半径OA长14米，拉绳AB长50米，返回舱高度BC为2米，这时返回舱底部离地面的高度CE约为米(精确到1米).(参考数据：sin46°12'≈0.72，cos46°12'≈0.69，tan46°12'≈1.04)

10.(2022湖南邵阳中考)如图，一艘轮船从点A处以30km/h的速度向正东方向航行，在A处测得灯塔C在北偏东60°方向上，航行1h到达B处，这时测得灯塔C在北偏东45°方向上，已知在灯塔C的四周40km内有暗礁，问这艘轮船继续向正东方向航行是否安全?并说明理由.(提示：2≈1.414，3≈1.732)素养探究全练11.(2022四川自贡中考)某数学兴趣小组自制测角仪到公园进行实地测量，活动过程如下：(1)探究原理制作测角仪时，将细线一端固定在量角器圆心O处，另一端系小重物G.测量时，使支杆OM、量角器90°刻度线ON与铅垂线OG相互重合(如图1)，绕点O转动量角器，使观测目标P与直径两端点A、B共线(如图2)，此时目标P的仰角∠POC=∠GON.请说明这两个角相等的理由.(2)实地测量如图3，公园广场上有一棵树，为测树高，同学们在观测点K处测得树顶端P的仰角∠POQ=60°，观测点与树的距离KH为5米，点O到地面的距离OK为1.5米，求树高PH.(3≈1.73，结果精确到0.1米)(3)拓展探究公园高台上有一凉亭，为测量凉亭顶端P距地面的高度PH(如图4)，同学们经过讨论，决定先在水平地面上选取观测点E、F(E、F、H在同一直线上)，分别测得点P的仰角α、β，再测得E、F间的距离m米，点O1、O2到地面的距离O1E、O2F均为1.5米.求PH的长(用α、β、m表示). 图3 图4

第二十六章解直角三角形26.4解直角三角形的应用答案全解全析基础过关全练1.答案12.7解析设旗杆底部为点C，顶部为点D，过点D作DE⊥AB，交直线AB于点E，如图，则CE=30m，AB=20m，∠EAD=30°，∠EBD=60°，设DE=xm，在Rt△BDE中，tan60°=DEBE=xBE=3，则AE=AB+BE=20+33在Rt△ADE中，tan30°=DEAE=x20+33x=3经检验，x=103是原方程的解，且符合题意，∴CD=CE-DE≈12.7(m).2.解析设直线AC与GE相交于点H，如图，由题意得AB=CD=HE=1.65m，AC=BD=12m，∠AHG=90°，设CH=xm，则AH=AC+CH=(12+x)m，在Rt△CHF中，∠FCH=45°，∴FH=CH=xm，∵GF=8m，∴GH=GF+FH=(8+x)m，在Rt△AHG中，∠GAH=37°，∴tan37°=GHAH=x+812+x≈0.经检验：x=4是分式方程的根，且符合题意，∴FE=FH+HE=5.65≈5.7(m)，∴条幅底端F到地面的距离FE约为5.7m.3.C如图，∵∠ABE=15°，∠DAB=∠ABE，∴∠DAB=15°，∴∠CAB=∠CAD+∠DAB=90°.又∵∠FCB=60°，∠CBE=∠FCB，∠CBA+∠ABE=∠CBE，∴∠CBA=45°.在Rt△ABC中，sin∠ABC=ACBC=40×12BC=4.解析如图，过A点作AD⊥BC于D点，由题意知∠ABC=90°-60°=30°，∠ACD=45°，∴BD=3AD，CD=AD，∵BC=2.4km=2400m，∴3AD+AD=2400，解得AD=1200(3-1)≈876.∵876>800，∴该公路不穿过纪念园.5.A∵坡面AB的坡度为BCAC∴AC=53m，∴AB=AC26.解析在Rt△BCD中，∵BC的坡度为i1=1∶1，∴CDBD=1，∴CD=BD=20m在Rt△ACD中，∵AC的坡度为i2=1∶3，∴CDAD=13，∴AD∴AB=AD-BD=203-20≈14.6(m)，∴背水坡新起点A与原起点B之间的距离约为14.6m.能力提升全练7.A如图，过点C作水平地面的平行线，交AB的延长线于D，则∠BCD=α，∠ACD=45°，在Rt△BCD中，BC=m，∠BCD=α，则BD=BC·sin∠BCD=msinα，CD=BC·cos∠BCD=mcosα，在Rt△ACD中，∠ACD=45°，则AD=CD=mcosα，∴AB=AD-BD=mcosα-msinα=m(cosα-sinα).8.答案①③④解析如图，过点D作DE⊥AB，垂足为E，则AE=DC，DE=AC=12米，在Rt△ADE中，∠ADE=30°，∴AD=2AE，AE=DE·tan30°=12×33=4∴AD=83米，CD=AE=43≈6.8米，故②不正确.在Rt△BED中，BE=DE·tan45°=12(米)，∴AB=BE+AE=12+43≈18.8(米)，故①正确.∵AD=83≈13.6(米)，∴AB>AD，∴若直接从点A处砍伐，树干倒向教学楼CD方向会对教学楼有影响，故③正确.∵AB-8=18.8-8=10.8(米)，10.8米<12米，∴若第一次在距点A的8米处的树干上砍伐，则不会对教学楼CD造成危害，故④正确.故正确的是①③④.9.答案1614解析在Rt△AOB中，OB=AB2∴AF=OE=OB+BC+CE=48+2+CE=50+CE，∵∠CDE=45°，∠DEC=90°，∴DE=CE，设DE=CE=x米，则AF=(50+x)米，DF=(x-14)米，∵∠ADE=46°12'，∴tan46°12'=AFDF=50+x解得x≈1614，经检验，x≈1614为原分式方程的解，∴返回舱底部离地面的高度CE约为1614米.10.解析安全，理由如下：如图，过点C作CD⊥AB交AB的延长线于点D，由题意可得∠CAD=90°-60°=30°，∠CBD=90°-45°=45°，AB=30×1=30(km)，∴BD=CD，设CD=BD=xkm，则AD=(x+30)km，在Rt△ACD中，tan30°=CDAD∴xx+30=33，解得x=15经检验，x=153+15是原分式方程的解.因为40.98>40，所以这艘轮船继续向正东方向航行是安全的.素养探究全练11.解析(1)证明：∵∠COG=90°，∠AON=90°，∴∠POC+∠CON=∠GON+∠CON，∴∠POC=∠GON.