新人教版高中数学必修第二册第八章立体几何初步教案

1、基本立体图形【第1课时】棱柱、棱锥、棱台的结构特征教学重难点教学目标核心素养棱柱的结构特征理解棱柱的定义，知道棱柱的结构特征，并能识别直观想象棱锥、棱台的结构特征理解棱锥、棱台的定义，知道棱锥、棱台的结构特征，并能识别直观想象应用几何体的平面展开图能将棱柱、棱锥、棱台的表面展开成平面图形直观想象【教学过程】一、问题导入预习教材内容，思考以下问题：1空间几何体的定义是什么？2空间几何体分为哪几类？3常见的多面体有哪些？4棱柱、棱锥、棱台有哪些结构特征？二、新知探究棱柱的结构特征例1：下列关于棱柱的说法：所有的面都是平行四边形；每一个面都不会是三角形；两底面平行，并且各侧棱也平行；被平面截成的两部

2、分可以都是棱柱其中正确说法的序号是_【解析】错误，棱柱的底面不一定是平行四边形；错误，棱柱的底面可以是三角形；正确，由棱柱的定义易知；正确，棱柱可以被平行于底面的平面截成两个棱柱，所以正确说法的序号是.【答案】eq avs4al()规律方法棱柱结构特征的辨析技巧（1）扣定义：判定一个几何体是否是棱柱的关键是棱柱的定义看“面”，即观察这个多面体是否有两个互相平行的面，其余各面都是四边形；看“线”，即观察每相邻两个四边形的公共边是否平行（2）举反例：通过举反例，如与常见几何体或实物模型、图片等不吻合，给予排除 棱锥、棱台的结构特征例2：下列关于棱锥、棱台的说法：用一个平面去截棱锥，底面和截面之间的

3、部分组成的几何体叫棱台；棱台的侧面一定不会是平行四边形；棱锥的侧面只能是三角形；由四个面围成的封闭图形只能是三棱锥；棱锥被平面截成的两部分不可能都是棱锥其中正确说法的序号是_【解析】错误，若平面不与棱锥底面平行，用这个平面去截棱锥，棱锥底面和截面之间的部分不是棱台正确，棱台的侧面一定是梯形，而不是平行四边形正确，由棱锥的定义知棱锥的侧面只能是三角形正确，由四个面围成的封闭图形只能是三棱锥错误，如图所示四棱锥被平面截成的两部分都是棱锥所以正确说法的序号为.【答案】规律方法判断棱锥、棱台形状的两种方法（1）举反例法结合棱锥、棱台的定义举反例直接判断关于棱锥、棱台结构特征的某些说法不正确 （2）直接

4、法棱锥棱台定底面只有一个面是多边形，此面即为底面两个互相平行的面，即为底面看侧棱相交于一点延长后相交于一点空间几何体的平面展开图例3：（1）水平放置的正方体的六个面分别用“前面、后面、上面、下面、左面、右面”表示，如图是一个正方体的平面展开图（图中数字写在正方体的外表面上），若图中的“2”在正方体的上面，则这个正方体的下面是（）A1 B9C快 D乐（2）如图是三个几何体的侧面展开图，请问各是什么几何体？【解】（1）选B.由题意，将正方体的展开图还原成正方体，“1”与“乐”相对，“2”与“9”相对，“0”与“快”相对，所以下面是“9”（2）题图中，有5个平行四边形，而且还有两个全等的五边形，符合

5、棱柱的特点；题图中，有5个三角形，且具有共同的顶点，还有一个五边形，符合棱锥的特点；题图中，有3个梯形，且其腰的延长线交于一点，还有两个相似的三角形，符合棱台的特点，把侧面展开图还原为原几何体，如图所示：所以为五棱柱，为五棱锥，为三棱台求解策略多面体展开图问题的解题策略（1）绘制展开图：绘制多面体的平面展开图要结合多面体的几何特征，发挥空间想象能力或者是亲手制作多面体模型在解题过程中，常常给多面体的顶点标上字母，先把多面体的底面画出来，然后依次画出各侧面，便可得到其平面展开图（2）由展开图复原几何体：若是给出多面体的平面展开图，来判断是由哪一个多面体展开的，则可把上述过程逆推，同一个几何体的平

6、面展开图可能是不一样的，也就是说，一个多面体可有多个平面展开图 【课堂总结】1空间几何体的定义及分类（1）定义：如果只考虑物体的形状和大小，而不考虑其他因素，那么由这些物体抽象出来的空间图形就叫做空间几何体（2）分类：常见的空间几何体有多面体与旋转体两类2空间几何体类别定义图示多面体由若干个平面多边形围成的几何体叫做多面体围成多面体的各个多边形叫做多面体的面；两个面的公共边叫做多面体的棱；棱与棱的公共点叫做多面体的顶点旋转体一条平面曲线（包括直线）绕它所在平面内的这条定直线旋转所形成的曲面叫做旋转面，封闭的旋转面围成的几何体叫做旋转体这条定直线叫做旋转体的轴3.棱柱、棱锥、棱台的结构特征结构特

7、征及分类图形及记法棱柱结构特征（1）有两个面（底面）互相平行（2）其余各面都是四边形（3）相邻两个四边形的公共边都互相平行记作棱柱ABCDEFABCDEF分类按底面多边形的边数分为三棱柱、四棱柱续表结构特征及分类图形及记法棱锥结构特征（1）有一个面（底面）是多边形（2）其余各面（侧面）都是有一个公共顶点的三角形记作棱锥SABCD分类按底面多边形的边数分为三棱锥、四棱锥棱台结构特征（1）上下底面互相平行，且是相似图形（2）各侧棱延长线相交于一点（或用一个平行于棱锥底面的平面去截棱锥，底面与截面之间那部分多面体叫做棱台）记作棱台ABCDABCD分类由三棱锥、四棱锥、五棱锥截得的棱台分别为三棱台、四

8、棱台、五棱台名师点拨（1）棱柱、棱锥、棱台的关系在运动变化的观点下，棱柱、棱锥、棱台之间的关系可以用下图表示出来（以三棱柱、三棱锥、三棱台为例）（2）各种棱柱之间的关系棱柱的分类棱柱eq blc(avs4alco1(直棱柱blc(avs4alco1(正棱柱（底面为正多边形）,一般的直棱柱),斜棱柱)常见的几种四棱柱之间的转化关系【课堂检测】1下面的几何体中是棱柱的有（）A3个B4个C5个D6个解析：选C.棱柱有三个特征：（1）有两个面相互平行（2）其余各面是四边形（3）侧棱相互平行本题所给几何体中不符合棱柱的三个特征，而符合，故选C.2下面图形中，为棱锥的是（）ABCD解析：选C.根据棱锥的定

9、义和结构特征可以判断，是棱锥，不是棱锥，是棱锥故选C.3有一个多面体，共有四个面围成，每一个面都是三角形，则这个几何体为（）A四棱柱B四棱锥C三棱柱D三棱锥解析：选D.根据棱锥的定义可知该几何体是三棱锥4一个棱柱有10个顶点，所有的侧棱长的和为60 cm，则每条侧棱长为_cm.解析：因为棱柱有10个顶点，所以棱柱为五棱柱，共有五条侧棱，所以侧棱长为eq f(60,5)12（cm）答案：125画一个三棱台，再把它分成：（1）一个三棱柱和另一个多面体（2）三个三棱锥，并用字母表示解：画三棱台一定要利用三棱锥（1）如图所示，三棱柱是棱柱ABCABC，另一个多面体是BCCBBC.（2）如图所示，三个三

10、棱锥分别是AABC，BABC，CABC. 第2课时圆柱、圆锥、圆台、球、简单组合体的结构特征教学重难点教学目标核心素养圆柱、圆锥、圆台、球的概念理解圆柱、圆锥、圆台、球的定义，知道这四种几何体的结构特征，能够识别和区分这些几何体直观想象简单组合体的结构特征了解简单组合体的概念和基本形式直观想象旋转体中的计算问题会根据旋转体的几何体特征进行相关运算直观想象、数学运算【教学过程】一、问题导入预习教材内容，思考以下问题：1常见的旋转体有哪些？是怎样形成的？2这些旋转体有哪些结构特征？它们之间有什么关系？3这些旋转体的侧面展开图和轴截面分别是什么图形？二、新知探究圆柱、圆锥、圆台、球的概念例1：（1）

11、给出下列说法：圆柱的底面是圆面；经过圆柱任意两条母线的截面是一个矩形面；圆台的任意两条母线的延长线可能相交，也可能不相交；夹在圆柱的两个截面间的几何体还是一个旋转体其中说法正确的是_（2）给出以下说法：球的半径是球面上任意一点与球心所连线段的长；球的直径是球面上任意两点间所连线段的长；用一个平面截一个球，得到的截面可以是一个正方形；过圆柱轴的平面截圆柱所得截面形状是矩形其中正确说法的序号是_【解析】（1）正确，圆柱的底面是圆面；正确，如图所示，经过圆柱任意两条母线的截面是一个矩形面；不正确，圆台的母线延长相交于一点；不正确，圆柱夹在两个平行于底面的截面间的几何体才是旋转体（2）根据球的定义知，

12、正确；不正确，因为球的直径必过球心；不正确，因为球的任何截面都是圆面；正确【答案】（1）（2）规律方法（1）判断简单旋转体结构特征的方法明确由哪个平面图形旋转而成；明确旋转轴是哪条直线（2）简单旋转体的轴截面及其应用简单旋转体的轴截面中有底面半径、母线、高等体现简单旋转体结构特征的关键量；在轴截面中解决简单旋转体问题体现了化空间图形为平面图形的转化思想 简单组合体的结构特征例2：如图所示的几何体是由下面哪一个平面图形旋转而形成的（）【解析】该几何体自上而下由圆锥、圆台、圆台、圆柱组合而成，故应选A.【答案】A变条件、变问法若将本例选项B中的平面图形旋转一周，试说出它形成的几何体的结构特征解：是

13、直角三角形，旋转后形成圆锥；是直角梯形，旋转后形成圆台；是矩形，旋转后形成圆柱，所以旋转后形成的几何体如图所示通过观察可知，该几何体是由一个圆锥、一个圆台和一个圆柱自上而下拼接而成的求解策略不规则平面图形旋转形成几何体的结构特征的分析策略（1）分割：首先要对原平面图形适当分割，一般分割成矩形、梯形、三角形或圆（半圆或四分之一圆）等基本图形（2）定形：然后结合圆柱、圆锥、圆台、球的形成过程进行分析 旋转体中的计算问题例3：如图所示，用一个平行于圆锥SO底面的平面截这个圆锥，截得圆台上、下底面的面积之比为116，截去的圆锥的母线长是3 cm，求圆台OO的母线长【解】设圆台的母线长为l cm，由截得

14、的圆台上、下底面面积之比为116，可设截得的圆台的上、下底面的半径分别为r cm，4r cm.过轴SO作截面，如图所示，则SOASOA，SA3 cm.所以eq f(SA,SA)eq f(OA,OA)，所以eq f(3,3l)eq f(r,4r)eq f(1,4).解得l9，即圆台OO的母线长为9 cm.规律方法eq avs4al()解决旋转体中计算问题的方法用平行于底面的平面去截柱、锥、台等几何体，注意抓住截面的性质（与底面全等或相似），同时结合旋转体中的轴截面（经过旋转轴的截面）的几何性质，利用相似三角形中的相似比，列出相关几何变量的方程（组）而解得注意在研究与截面有关的问题时，要注意截面与

15、物体的相对位置的变化由于相对位置的改变，截面的形状也会随之发生变化【课堂总结】1圆柱、圆锥、圆台和球的结构特征（1）圆柱的结构特征定义以矩形的一边所在直线为旋转轴，其余三边旋转一周形成的面所围成的旋转体图示及相关概念轴：旋转轴叫做圆柱的轴底面：垂直于轴的边旋转而成的圆面侧面：平行于轴的边旋转而成的曲面母线：无论旋转到什么位置，平行于轴的边柱体：圆柱和棱柱统称为柱体（2）圆锥的结构特征定义以直角三角形的一条直角边所在直线为旋转轴，其余两边旋转一周形成的面所围成的旋转体图示及相关概念轴：旋转轴叫做圆锥的轴底面：垂直于轴的边旋转而成的圆面侧面：直角三角形的斜边旋转而成的曲面母线：无论旋转到什么位置，

16、不垂直于轴的边锥体：圆锥和棱锥统称为锥体 （3）圆台的结构特征定义用平行于圆锥底面的平面去截圆锥，底面与截面之间的部分图示及相关概念轴：圆锥的轴底面：圆锥的底面和截面侧面：圆锥的侧面在底面和截面之间的部分母线：圆锥的母线在底面与截面之间的部分台体：圆台和棱台统称为台体 （4）球的结构特征定义以半圆的直径所在直线为旋转轴，旋转一周形成的曲面叫做球面，球面所围成的旋转体叫做球体，简称球图示及相关概念球心：半圆的圆心半径：半圆的半径直径：半圆的直径名师点拨 （1）球心和截面圆心的连线垂直于截面（2）球心到截面的距离d与球的半径R及截面圆的半径r有如下关系：req r(R2d2).2简单组合体（1）概

17、念由简单几何体组合而成的几何体叫做简单组合体（2）两种构成形式由简单几何体拼接而成；由简单几何体截去或挖去一部分而成【课堂检测】1如图所示的图形中有（）A圆柱、圆锥、圆台和球B圆柱、球和圆锥C球、圆柱和圆台 D棱柱、棱锥、圆锥和球解析：选B.根据题中图形可知，（1）是球，（2）是圆柱，（3）是圆锥，（4）不是圆台，故应选B.2用一个平面去截一个几何体，得到的截面是圆面，则这个几何体不可能是（）A圆锥 B圆柱C球 D棱柱答案：D3下列说法中正确的是_连接圆柱上、下底面圆周上两点的线段是圆柱的母线；圆锥截去一个小圆锥后剩余部分是圆台；通过圆台侧面上一点，有无数条母线解析：错误，连接圆柱上、下底面圆

18、周上两点的线段不一定与圆柱的轴平行，所以不正确错误，通过圆台侧面上一点，只有一条母线答案：4一个圆锥的母线长为20 cm，母线与轴的夹角为30，则圆锥的高h为_cm.解析：h20cos 3020eq f(r(3),2)10eq r(3)（cm）答案：10eq r(3)5如图所示，将等腰梯形ABCD绕其底边所在直线旋转一周，可得到怎样的空间几何体？该几何体有什么特点？解：若将等腰梯形ABCD绕其下底BC所在的直线旋转一周，所得几何体可以看作是以AD为母线，BC所在的直线为轴的圆柱和两个分别以AB，CD为母线的圆锥组成的几何体，如图（1）所示若将等腰梯形ABCD绕其上底AD所在的直线旋转一周，所得

19、几何体可以看作是以BC为母线，AD所在的直线为轴的圆柱中两底分别挖去以AB，CD为母线的两个圆锥得到的几何体，如图（2）所示简单几何体的表面积与体积【第一课时】【教学目标】1了解柱体、锥体、台体的侧面展开图，掌握柱体、柱、锥、台的体积2能利用柱体、锥体、台体的体积公式求体积，理解柱体、锥体、台体的体积之间的关系【教学重难点】1柱、锥、台的表面积2锥体、台体的表面积的求法【教学过程】一、问题导入预习教材内容，思考以下问题：1棱柱、棱锥、棱台的表面积如何计算？2圆柱、圆锥、圆台的侧面展开图分别是什么？3圆柱、圆锥、圆台的侧面积公式是什么？4柱体、锥体、台体的体积公式分别是什么？5圆柱、圆锥、圆台的

20、侧面积公式、体积公式之间分别有怎样的关系？二、新知探究柱、锥、台的表面积例1：（1）若圆锥的正视图是正三角形，则它的侧面积是底面积的（ ）A.eq r(2)倍B3 倍C2 倍 D5 倍（2）已知正方体的 8 个顶点中，有 4 个为侧面是等边三角形的三棱锥的顶点，则这个三棱锥与正方体的表面积之比为（ ）A1eq r(2) B1eq r(3)C2eq r(2) D3eq r(6)（3）已知某圆台的一个底面周长是另一个底面周长的 3 倍，母线长为 3 ，圆台的侧面积为 84，则该圆台较小底面的半径为（ ）A7B6C5 D3【解析】（1）设圆锥的底面半径为 r，母线长为 l，则由题意可知，l2r，于是

21、 S侧r2r2r2，S底r2，可知选 C.（2）棱锥 BACD为适合条件的棱锥，四个面为全等的等边三角形，设正方体的棱长为 1，则 BCeq r(2)，SBACeq f(r(3),2).三棱锥的表面积 S锥4eq f(r(3),2)2eq r(3)，又正方体的表面积 S正6.因此 S锥S正2eq r(3)61eq r(3).（3）设圆台较小底面的半径为 r，则另一底面的半径为 3r.由 S侧3（r3r）84，解得 r7.【答案】（1）C （2）B （3）A规律方法空间几何体表面积的求法技巧（1）多面体的表面积是各个面的面积之和（2）组合体的表面积应注意重合部分的处理（3）圆柱、圆锥、圆台的侧面

22、是曲面，计算侧面积时需要将这个曲面展开为平面图形计算，而表面积是侧面积与底面圆的面积之和柱、锥、台的体积例2：如图所示，正方体ABCDA1B1C1D1的棱长为a，过顶点B，D，A1截下一个三棱锥（1）求剩余部分的体积；（2）求三棱锥AA1BD的体积及高【解】（1）V三棱锥A1ABDeq f(1,3)SABDA1Aeq f(1,3)eq f(1,2)ABADA1Aeq f(1,6)a3.故剩余部分的体积VV正方体V三棱锥A1ABDa3eq f(1,6)a3eq f(5,6)a3.（2）V三棱锥AA1BDV三棱锥A1ABDeq f(1,6)a3.设三棱锥AA1BD的高为h，则V三棱锥AA1BDeq

23、 f(1,3)SA1BDheq f(1,3)eq f(1,2)eq f(r(3),2)（eq r(2)a）2heq f(r(3),6)a2h，故eq f(r(3),6)a2heq f(1,6)a3，解得heq f(r(3),3)a.规律方法求几何体体积的常用方法（1）公式法：直接代入公式求解（2）等积法：例如四面体的任何一个面都可以作为底面，只需选用底面积和高都易求的形式即可（3）补体法：将几何体补成易求解的几何体，如棱锥补成棱柱，棱台补成棱锥等（4）分割法：将几何体分割成易求解的几部分，分别求体积提醒求几何体的体积时，要注意利用好几何体的轴截面（尤其为圆柱、圆锥时），准确求出几何体的高和底面

24、积 组合体的表面积和体积例3：如图在底面半径为 2，母线长为 4 的圆锥中内接一个高为eq r(3)的圆柱，求圆柱的表面积【解】设圆锥的底面半径为 R，圆柱的底面半径为 r，表面积为 S.则 ROC2，AC4，AOeq r(4222)2eq r(3).如图所示，易知AEBAOC，所以eq f(AE,AO)eq f(EB,OC)，即eq f(r(3),2r(3)eq f(r,2)，所以 r1，S底2r22，S侧2rh2eq r(3).所以 SS底S侧22eq r(3)（22eq r(3)）.1变问法本例中的条件不变，求圆柱的体积与圆锥的体积之比解：由例题解析可知：圆柱的底面半径为 r1，高 he

25、q r(3)，所以圆柱的体积 V1r2h12eq r(3)eq r(3).圆锥的体积 V2eq f(1,3)222eq r(3)eq f(8r(3),3).所以圆柱与圆锥的体积比为 38.2变问法本例中的条件不变，求图中圆台的表面积与体积解：由例题解析可知：圆台的上底面半径 r1，下底面半径 R2，高 heq r(3)，母线 l2，所以圆台的表面积 S（r2R2rlRl）（12221222）11.圆台的体积 Veq f(1,3)（r2rRR2）heq f(1,3)（12222）eq r(3)eq f(7r(3),3).3变条件、变问法本例中的“高为eq r(3)”改为“高为 h”，试求圆柱侧面

26、积的最大值解：设圆锥的底面半径为 R，圆柱的底面半径为 r，则 ROC2，AC4，AOeq r(4222)2eq r(3).如图所示易知AEBAOC，所以eq f(AE,AO)eq f(EB,OC)，即eq f(2r(3)h,2r(3)eq f(r,2)，所以 h2eq r(3)eq r(3)r，S圆柱侧2rh2r（2eq r(3)eq r(3)r）2eq r(3)r24eq r(3)r，所以当 r1，heq r(3)时，圆柱的侧面积最大，其最大值为 2eq r(3).规律方法eq avs4al()求组合体的表面积与体积的步骤（1）分析结构特征：弄清组合体的组成形式，找准有关简单几何体的关键量

27、（2）设计计算方法：根据组成形式，设计计算方法，特别要注意“拼接面”面积的处理，利用“切割”“补形”的方法求体积（3）计算求值：根据设计的计算方法求值 【课堂总结】1棱柱、棱锥、棱台的表面积多面体的表面积就是围成多面体各个面的面积的和棱柱、棱锥、棱台的表面积就是围成它们的各个面的面积的和2棱柱、棱锥、棱台的体积（1）V棱柱Sh；（2）V棱锥eq f(1,3)Sh；V棱台eq f(1,3)h（Seq r(SS)S），其中S，S分别是棱台的上、下底面面积，h为棱台的高3圆柱、圆锥、圆台的表面积和体积名称图形公式圆柱底面积：S底r2侧面积：S侧2rl表面积：S2rl2r2体积：Vr2l圆锥底面积：S

28、底r2侧面积：S侧rl表面积：Srlr2体积：Veq f(1,3)r2h圆台上底面面积：S上底r2下底面面积：S下底r2侧面积：S侧l（rr）表面积：S（r2r2rlrl）体积：Veq f(1,3)h（r2rrr2）名师点拨1柱体、锥体、台体的体积（1）柱体：柱体的底面面积为S，高为h，则VSh.（2）锥体：锥体的底面面积为S，高为h，则Veq f(1,3)Sh.（3）台体：台体的上、下底面面积分别为S、S，高为h，则Veq f(1,3)eq blc(rc)(avs4alco1(Sr(avs4al(SS)S)h.2圆柱、圆锥、圆台的侧面积公式之间的关系S圆柱侧2rleq o(,sup7(rr)

29、S圆台侧（rr）leq o(,sup7(r0)S圆锥侧rl.3柱体、锥体、台体的体积公式之间的关系V柱体Sheq o(,sup7(SS)V台体eq f(1,3)（Seq r(SS)S）heq o(,sup7(S0)V锥体eq f(1,3)Sh.【课堂检测】1已知某长方体同一顶点上的三条棱长分别为1，2，3，则该长方体的表面积为（ ）A22B20C10 D11解析：选A.所求长方体的表面积S2（12）2（13）2（23）22.2正三棱锥的高为3，侧棱长为2eq r(3)，则这个正三棱锥的体积为（ ）A.eq f(27,4) B.eq f(9,4)C.eq f(27r(3),4) D.eq f(9

30、r(3),4)解析：选D.由题意可得底面正三角形的边长为3，所以Veq f(1,3)eq f(r(3),4)323eq f(9r(3),4).故选D.3已知圆台的上、下底面的面积之比为925，那么它的中截面截得的上、下两台体的侧面积之比是_解析：圆台的上、下底面半径之比为35，设上、下底面半径为3x，5x，则中截面半径为4x，设上台体的母线长为l，则下台体的母线长也为l，上台体侧面积S1（3x4x）l7xl，下台体侧面积S2（4x5x）l9xl，所以S1S279.答案：794.如图，三棱台ABCA1B1C1中，ABA1B112，求三棱锥A1ABC，三棱锥BA1B1C，三棱锥CA1B1C1的体积

31、之比解：设棱台的高为h，SABCS，则SA1B1C14S.所以VA1ABCeq f(1,3)SABCheq f(1,3)Sh，VCA1B1C1eq f(1,3)SA1B1C1heq f(4,3)Sh.又V台eq f(1,3)h（S4S2S）eq f(7,3)Sh，所以VBA1B1CV台VA1ABCVCA1B1C1eq f(7,3)Sheq f(Sh,3)eq f(4Sh,3)eq f(2,3)Sh，所以体积比为124.【第二课时】【教学目标】1记准球的表面积和体积公式，会计算球的表面积和体积2能解决与球有关的组合体的计算问题【教学重难点】1球的表面积与体积2与球有关的组合体【教学过程】一、问题

32、导入预习教材内容，思考以下问题：1球的表面积公式是什么？2球的体积公式什么？二、新知探究球的表面积与体积例1：（1）已知球的体积是eq f(32,3)，则此球的表面积是（ ）A12B16C.eq f(16,3) D.eq f(64,3)（2）如图，某几何体的三视图是三个半径相等的圆及每个圆中两条互相垂直的半径，若该几何体的体积是eq f(28,3)，则它的表面积是（ ）A17 B18C20 D28【解析】（1）设球的半径为R，则由已知得Veq f(4,3)R3eq f(32,3)，解得R2.所以球的表面积S4R216.（2）由三视图可得此几何体为一个球切割掉eq f(1,8)后剩下的几何体，设

33、球的半径为r，故eq f(7,8)eq f(4,3)r3eq f(28,3)，所以r2，表面积Seq f(7,8)4r2eq f(3,4)r217，选A.【答案】（1）B（2）A归纳反思球的体积与表面积的求法及注意事项（1）要求球的体积或表面积，必须知道半径R或者通过条件能求出半径R，然后代入体积或表面积公式求解（2）半径和球心是球的最关键要素，把握住了这两点，计算球的表面积或体积的相关题目也就易如反掌了 球的截面问题例2：如图，有一个水平放置的透明无盖的正方体容器，容器高8 cm，将一个球放在容器口，再向容器内注水，当球面恰好接触水面时测得水深为6 cm，如果不计容器厚度，则球的体积为（ ）

34、A.eq f(500,3) cm3 B.eq f(866,3) cm3C.eq f(1 372,3) cm3 D.eq f(2 048,3) cm3【解析】如图，作出球的一个截面，则MC862（cm），BMeq f(1,2)ABeq f(1,2)84（cm）设球的半径为R cm，则R2OM2MB2（R2）242，所以R5，所以V球eq f(4,3)53eq f(500,3) （cm3）【答案】A规律方法球的截面问题的解题技巧（1）有关球的截面问题，常画出过球心的截面圆，将问题转化为平面中圆的问题（2）解题时要注意借助球半径R，截面圆半径r，球心到截面的距离d构成的直角三角形，即R2d2r2.

35、与球有关的切、接问题角度一球的外切正方体问题例3：将棱长为 2 的正方体木块削成一个体积最大的球，则该球的体积为（ ）A.eq f(4,3) B.eq f(r(2),3)C.eq f(r(3),2) D.eq f(,6)【解析】由题意知，此球是正方体的内切球，根据其几何特征知，此球的直径与正方体的棱长是相等的，故可得球的直径为 2，故半径为 1，其体积是eq f(4,3)13eq f(4,3).【答案】A角度二球的内接长方体问题例4：一个长方体的各个顶点均在同一球的球面上，且一个顶点上的三条棱的长分别为 1，2，3，则此球的表面积为_【解析】长方体外接球直径长等于长方体体对角线长，即 2Req

36、 r(122232)eq r(14)，所以球的表面积 S4R214.【答案】14角度三球的内接正四面体问题例5：若棱长为 a 的正四面体的各个顶点都在半径为 R 的球面上，求球的表面积【解】把正四面体放在正方体中，设正方体棱长为 x，则 aeq r(2)x，由题意 2Req r(3)xeq r(3)eq f(r(2)a,2)eq f(r(6),2)a，所以 S球4R2eq f(3,2)a2.角度四球的内接圆锥问题例6：球的一个内接圆锥满足：球心到该圆锥底面的距离是球半径的一半，则该圆锥的体积和此球体积的比值为_【解析】当圆锥顶点与底面在球心两侧时，如图所示，设球半径为 r，则球心到该圆锥底面的

37、距离是eq f(r,2)，于是圆锥的底面半径为 eq r(r2blc(rc)(avs4alco1(f(r,2)sup12(2)eq f(r(3)r,2)，高为eq f(3r,2).该圆锥的体积为 eq f(1,3)eq blc(rc)(avs4alco1(f(r(3)r,2)eq sup12(2)eq f(3r,2)eq f(3,8)r3，球体积为eq f(4,3)r3，所以该圆锥的体积和此球体积的比值为eq f(f(3,8)r3,f(4,3)r3)eq f(9,32).同理，当圆锥顶点与底面在球心同侧时，该圆锥的体积和此球体积的比值为eq f(3,32).【答案】eq f(9,32)或eq

38、f(3,32)角度五球的内接直棱柱问题例7：设三棱柱的侧棱垂直于底面，所有棱的长都为 a，顶点都在一个球面上，则该球的表面积为（ ）Aa2B.eq f(7,3)a2C.eq f(11,3)a2 D5a2【解析】由题意知，该三棱柱为正三棱柱，且侧棱与底面边长相等，均为 a如图，P 为三棱柱上底面的中心，O 为球心，易知 APeq f(2,3)eq f(r(3),2)aeq f(r(3),3)a，OPeq f(1,2)a，所以球的半径 R OA 满足R2eq blc(rc)(avs4alco1(f(r(3),3)a)eq sup12(2)eq blc(rc)(avs4alco1(f(1,2)a)e

39、q sup12(2)eq f(7,12)a2，故 S球4R2eq f(7,3)a2.【答案】B规律方法eq avs4al()（1）正方体的内切球球与正方体的六个面都相切，称球为正方体的内切球，此时球的半径为 r1eq f(a,2)，过在一个平面上的四个切点作截面如图（1）（2）长方体的外接球长方体的八个顶点都在球面上，称球为长方体的外接球，根据球的定义可知，长方体的体对角线是球的直径，若长方体过同一顶点的三条棱长为 a，b，c，过球心作长方体的对角线，则球的半径为 r2eq f(1,2) eq r(a2b2c2)，如图（2）（3）正四面体的外接球正四面体的棱长 a 与外接球半径 R 的关系为：

40、2Req f(r(6),2)a.【课堂总结】1球的表面积设球的半径为R，则球的表面积S4R22球的体积设球的半径为R，则球的体积Veq f(4,3)R3名师点拨 对球的体积和表面积的几点认识（1）从公式看，球的表面积和体积的大小，只与球的半径相关，给定R都有唯一确定的S和V与之对应，故表面积和体积是关于R的函数（2）由于球的表面不能展开成平面，所以，球的表面积公式的推导与前面所学的多面体与旋转体的表面积公式的推导方法是不一样的（3）球的表面积恰好是球的大圆（过球心的平面截球面所得的圆）面积的4倍【课堂检测】1直径为 6 的球的表面积和体积分别是（ ）A36，144B36，36C144，36 D

41、144，144解析：选 B球的半径为 3，表面积 S43236，体积 Veq f(4,3)3336.2一个正方体的表面积与一个球的表面积相等，那么它们的体积比是（ ）A.eq f(r(6),6) B.eq f(r(),2)C.eq f(r(2),2) D.eq f(3r(),2)解析：选 A设正方体棱长为 a，球半径为 R，由 6a24R2 得eq f(a,R)eq r(f(2,3)，所以eq f(V1,V2)eq f(a3,f(4,3)R3)eq f(3,4)eq blc(rc)(avs4alco1(r(f(2,3)eq sup12(3)eq f(r(6),6).3若两球的体积之和是 12，

42、经过两球球心的截面圆周长之和为 6，则两球的半径之差为（ ）A1 B2C3 D4解析：选 A设两球的半径分别为 R，r（Rr），则由题意得eq blc(avs4alco1(f(4,3)R3f(4,3)r312，,2R2r6，)解得eq blc(avs4alco1(R2，,r1.)故 Rr1.4已知棱长为 2 的正方体的体积与球 O 的体积相等，则球 O 的半径为_解析：设球 O 的半径为 r，则eq f(4,3)r323，解得 req r(3,f(6,).答案：eq r(3,f(6,)5已知过球面上 A，B，C 三点的截面和球心的距离为球半径的一半，且 ABBCCA2，求球的表面积解：设截面圆

43、心为O，球心为 O，连接 OA，OA，OO，设球的半径为 R.因为OAeq f(2,3)eq f(r(3),2)2eq f(2r(3),3).在 RtOOA 中，OA2OA2OO2，所以 R2eq blc(rc)(avs4alco1(f(2r(3),3)eq sup12(2)eq f(1,4)R2，所以 Req f(4,3)，所以 S球4R2eq f(64,9). 空间点、直线、平面之间的位置关系【第一课时】【教学目标】1了解平面的概念，会用图形与字母表示平面2能用符号语言描述空间中的点、直线、平面之间的位置关系3能用图形、文字、符号三种语言描述三个基本事实，理解三个基本事实的地位与作用【教学

44、重难点】1平面的概念2点、线、面的位置关系3三个基本事实及推论【教学过程】一、问题导入预习教材内容，思考以下问题：1教材中是如何定义平面的？2平面的表示方法有哪些？3点、线、面之间有哪些关系？如何用符号表示？4三个基本事实及推论的内容是什么？各有什么作用？二、基础知识1平面（1）平面的概念几何里所说的“平面”，是从课桌面、黑板面、海面这样的一些物体中抽象出来的平面是向四周无限延展的（2）平面的画法我们常用矩形的直观图，即平行四边形表示平面当水平放置时，常把平行四边形的一边画成横向；当平面竖直放置时，常把平行四边形的一边画成竖向（3）平面的表示方法我们常用希腊字母，等表示平面，如平面、平面、平面

45、等，并将它写在代表平面的平行四边形的一个角内；也可以用代表平面的平行四边形的四个顶点，或者相对的两个顶点的大写英文字母作为这个平面的名称如图中的平面，也可以表示为平面ABCD、平面AC或者平面BD名师点拨：（1）平面和点、直线一样，是只描述而不加定义的原始概念，不能进行度量（2）平面无厚薄、无大小，是无限延展的2点、线、面之间的关系及符号表示A是点，l，m是直线，是平面文字语言符号语言图形语言A在l上AlA在l外AlA在内AA在外Al在内ll在外ll，m相交于AlmAl，相交于AlA，相交于ll名师点拨从集合的角度理解点、线、面之间的关系（1）直线可以看成无数个点组成的集合，故点与直线的关系是

46、元素与集合的关系，用“”或“ ”表示（2）平面也可以看成点集，故点与平面的关系也是元素与集合的关系，用“”或“ ”表示（3）直线与平面都是点集，它们之间的关系可看成集合与集合的关系，故用“”或“”表示3平面的性质基本事实文字语言图形语言符号语言基本事实1过不在一条直线上的三个点，有且只有一个平面A，B，C三点不共线存在唯一的平面使A，B，C基本事实2如果一条直线上的两个点在一个平面内，那么这条直线在这个平面内Al，Bl，且A，Bl基本事实3如果两个不重合的平面有一个公共点，那么它们有且只有一条过该点的公共直线P，且Pl，且Pl名师点拨 在画两个相交平面时，如果其中一个平面的一部分被另一个平面挡

47、住，通常把被挡住的部分画成虚线或不画，这样可使画出的图形立体感更强一些如下图，图所示：4平面性质的三个推论推论1经过一条直线和这条直线外一点，有且只有一个平面如图（1）推论2经过两条相交直线，有且只有一个平面如图（2）推论3经过两条平行直线，有且只有一个平面如图（3）三、合作探究图形、文字、符号语言的相互转化例1：（1）用符号语言表示下面的语句，并画出图形平面ABD与平面BDC交于BD，平面ABC与平面ADC交于AC.（2）将下面用符号语言表示的关系用文字语言予以叙述，并用图形语言予以表示l，Al，AB，AC.【解】（1）符号语言表示：平面ABD平面BDCBD，平面ABC平面ADCAC.用图形

48、表示如图所示（2）文字语言叙述为：点A在平面与平面的交线l上，直线AB，AC分别在平面，内，图形语言表示如图所示eq avs4al()规律方法三种语言的转换方法（1）用文字语言、符号语言表示一个图形时，首先仔细观察图形有几个平面、几条直线且相互之间的位置关系如何，试着用文字语言叙述，再用符号语言表示（2）根据符号语言或文字语言画相应的图形时，要注意实线和虚线的区别 点、线共面问题例2：证明两两相交且不共点的三条直线在同一平面内【解】已知：如图所示，l1l2A，l2l3B，l1l3C.求证：直线l1，l2，l3在同一平面内证明：法一：（纳入平面法）因为l1l2A，所以l1和l2确定一个平面.因为

49、l2l3B，所以Bl2.又因为l2，所以B.同理可证C.又因为Bl3，Cl3，所以l3.所以直线l1，l2，l3在同一平面内法二：（辅助平面法）因为l1l2A，所以l1，l2确定一个平面.因为l2l3B，所以l2，l3确定一个平面.因为Al2，l2，所以A.因为Al2，l2，所以A.同理可证B，B，C，C.所以不共线的三个点A，B，C既在平面内，又在平面内所以平面和重合，即直线l1，l2，l3在同一平面内规律方法eq avs4al()证明点、线共面的常用方法（1）纳入平面法：先确定一个平面，再证明有关点、线在此平面内（2）辅助平面法：先证明有关的点、线确定平面，再证明其余元素确定平面，最后证明

50、平面，重合 三点共线、三线共点问题例3：如图所示，在正方体ABCDA1B1C1D1中，E、F分别为AB、AA1的中点求证：CE，D1F，DA三线交于一点【证明】连接EF，D1C，A1B，因为E为AB的中点，F为AA1的中点，所以EFeq o(sdo3(),sup3()eq f(1,2)A1B.又因为A1Beq o(sdo3(),sup3()D1C，所以EFeq o(sdo3(),sup3()eq f(1,2)D1C，所以E，F，D1，C四点共面，可设D1FCEP.又D1F平面A1D1DA，CE平面ABCD，所以点P为平面A1D1DA与平面ABCD的公共点又因为平面A1D1DA平面ABCDDA，

51、所以据基本事实3可得PDA，即CE，D1F，DA三线交于一点变条件、变问法若将本例条件中的“E，F分别为AB，AA1的中点”改成“E，F分别为AB，AA1上的点，且D1FCEM”，求证：点D、A、M三点共线证明：因为D1FCEM，且D1F平面A1D1DA，所以M平面A1D1DA，同理M平面BCDA，从而M在两个平面的交线上，因为平面A1D1DA平面BCDAAD，所以MAD成立所以点D、A、M三点共线规律方法eq avs4al() 【课堂检测】1能确定一个平面的条件是（ ）A空间三个点B一个点和一条直线C无数个点 D两条相交直线解析：选D.不在同一条直线上的三个点可确定一个平面，A，B，C条件不

52、能保证有不在同一条直线上的三个点，故不正确2经过同一条直线上的3个点的平面（ ）A有且只有一个 B有且只有3个C有无数个 D不存在解析：选C.经过共线3个点的平面有无数个，比如：课本中每一页都过共线的三点3如果直线a平面，直线b平面，Ma，Nb，Ml，Nl，则（ ）Al BlClM DlN解析：选A.因为Ma，a，所以M，同理，N，又Ml，Nl，故l.4如果两个平面有一个公共点，那么这两个平面（ ）A没有其他公共点 B仅有这一个公共点C仅有两个公共点 D有无数个公共点解析：选D.根据基本事实3可知，两个不重合的平面若有一个公共点，则这两个平面有且只有一条经过该点的公共直线5说明语句“l，mA，

53、Al”表示的点、线、面的位置关系，并画出图形解：直线l在平面 内，直线m与平面相交于点A，且点A不在直线l上，图形如图所示【第二课时】【教学目标】1了解空间两条直线间的位置关系，理解异面直线的定义2了解直线与平面之间的三种位置关系，并能判断直线与平面的位置关系，会用符号语言和图形语言表示3了解平面与平面之间的两种位置关系，并能判断两个平面的位置关系，会用符号语言和图形语言表示【教学重难点】1空间两直线的位置关系2直线与平面的位置关系3平面与平面的位置关系【教学过程】一、问题导入预习教材内容，思考以下问题：1空间两直线有哪几种位置关系？2直线与平面的位置关系有哪几种？3平面与平面的位置关系有哪几

54、种？4如何用符号和图形表示直线与平面的位置关系？5如何用符号和图形表示平面与平面的位置关系？二、基础知识1空间中直线与直线的位置关系（1）异面直线定义：把不同在任何一个平面内的两条直线叫做异面直线；画法：（通常用平面衬托）（2）空间两条直线的位置关系eq blc(avs4alco1(共面直线blc(avs4alco1(相交直线：在同一平面内，有且只有一个公共点；,平行直线：在同一平面内，没有公共点；),异面直线：不同在任何一个平面内，没有公共点.)名师点拨 （1）异面直线的定义表明异面直线不具备确定平面的条件异面直线既不相交，也不平行（2）不能把异面直线误认为分别在不同平面内的两条直线，如图中

55、，虽然有a，b，即a，b分别在两个不同的平面内，但是因为abO，所以a与b不是异面直线2空间中直线与平面的位置关系位置关系直线a在平面内直线a在平面外直线a与平面相交直线a与平面平行公共点无数个公共点有且只有一个公共点没有公共点符号表示aaAa图形表示名师点拨 一般地，直线a在平面内时，应把直线a画在表示平面的平行四边形内；直线a与平面相交时，应画成直线a与平面有且只有一个公共点，被平面遮住的部分画成虚线或不画；直线a与平面平行时，应画成直线a与表示平面的平行四边形的一条边平行，并画在表示平面的平行四边形外3空间中平面与平面的位置关系位置关系两个平面平行两个平面相交公共点没有公共点有无数个公共

56、点（在一条直线上）符号表示l图形表示名师点拨 （1）画两个互相平行的平面时，要注意使表示平面的两个平行四边形的对应边平行（2）以后我们说到“两条直线”均指不重合的两条直线，“两个平面”均指不重合的两个平面三、合作探究空间两直线位置关系的判定例1：如图，在长方体ABCDA1B1C1D1中，判断下列直线的位置关系：直线A1B与直线D1C的位置关系是_；直线A1B与直线B1C的位置关系是_；直线D1D与直线D1C的位置关系是_；直线AB与直线B1C的位置关系是_【解析】经探究可知直线A1B与直线D1C在平面A1BCD1中，且没有交点，则两直线平行，所以应该填“平行”；点A1、B、B1在平面A1BB1

57、内，而C不在平面A1BB1内，则直线A1B与直线B1C异面同理，直线AB与直线B1C异面所以应该填“异面”；直线D1D与直线D1C相交于D1点，所以应该填“相交”【答案】平行异面相交异面规律方法eq avs4al() （1）判定两条直线平行或相交的方法判定两条直线平行或相交可用平面几何的方法去判断，而两条直线平行也可以用基本事实4（下节学习）判断 （2）判定两条直线是异面直线的方法定义法：由定义判断两直线不可能在同一平面内；重要结论：连接平面内一点与平面外一点的直线，和这个平面内不经过此点的直线是异面直线用符号语言可表示为A，B，l，BlAB与l是异面直线（如图）直线与平面的位置关系例2：下列

58、命题：直线l平行于平面内的无数条直线，则l；若直线a在平面外，则a；若直线ab，直线b，则a；若直线ab，b，那么直线a就平行于平面内的无数条直线其中真命题的个数为（ ）A1B2C3 D4【解析】因为直线l虽与平面内无数条直线平行，但l有可能在平面内，所以l不一定平行于，所以是假命题因为直线a在平面外包括两种情况：a和a与相交，所以a和不一定平行，所以是假命题因为直线ab，b，则只能说明a和b无公共点，但a可能在平面内，所以a不一定平行于，所以是假命题因为ab，b，所以a或a，所以a可以与平面内的无数条直线平行，所以是真命题综上，真命题的个数为1.【答案】A归纳反思eq avs4al()判断直

59、线与平面的位置关系应注意的问题（1）在判断直线与平面的位置关系时，直线在平面内、直线与平面相交、直线与平面平行，这三种情况都要考虑到，避免疏忽或遗漏（2）解决此类问题时，可以借助空间几何图形，把要判断关系的直线、平面放在某些具体的空间图形中，以便于正确作出判断，避免凭空臆断 平面与平面的位置关系例3：已知在两个平面内分别有一条直线，并且这两条直线互相平行，那么这两个平面的位置关系一定是（ ）A平行 B相交C平行或相交 D以上都不对【解析】如图，可能会出现以下两种情况：【答案】C1变条件在本例中，若将条件“这两条直线互相平行”改为“这两条直线是异面直线”，则两平面的位置关系如何？解：如图，a，b

60、，a，b异面，则两平面平行或相交2变条件在本例中，若将条件改为平面内有无数条直线与平面平行，那么平面与平面的关系是什么？解：如图，内都有无数条直线与平面平行由图知，平面与平面可能平行或相交3变条件在本例中，若将条件改为平面内的任意一条直线与平面平行，那么平面与平面的关系是什么？解：因为平面内的任意一条直线与平面平行，所以只有这两个平面平行才能做到，所以平面与平面平行规律方法eq avs4al() （1）平面与平面的位置关系的判断方法平面与平面相交的判断，主要是以基本事实3为依据找出一个交点；平面与平面平行的判断，主要是说明两个平面没有公共点（2）常见的平面和平面平行的模型棱柱、棱台、圆柱、圆台