同构式下的函数体系

1、学习数学 领悟数学 秒杀数学第五章导数 专题6同构式下的函数体系M 秒希秘Ih第一讲关于同构式下的“亲戚函数”陈永清老师对同构式的评价及总结：同构解题，观察第一 同构新天地，单调大舞台.明确提示要同构，五脏俱全立同构，无中生有再同构，放缩有方可同构！秒1中我们介绍了同构“母函数”以及同构的一些技巧，在这里我们继续欣赏同构对称之美，领略同构波 澜壮阔之势.同构式下我们分为两条主线顺反同构：顺即为平移拉伸后的同构函数，反即为乘除导致的凹凸反转同构函数.同位同构：二加减同构是指在同构的过程中“加减配凑从而完成同构：二局部同构是指在同构过程中，我们可以舟函数的某两个或者多个部分构造出同构式.再构造同构

2、体系中的亲戚函数即可：二差一同构是指指对跨阶以及指数策和对数真数差1,我们往往可考虑用同构秒杀之.关于/() = -ev的亲戚函数如图 1：根据求导后可知：f(x)=x ex在区间(-00,-1)1,在区间(-l,+), U)mn=(-l)=-考点1平移和拉伸得到的同构函数如图2： (A-I)-=-(x-l) er-,=(x-l),即将/(x)向右平移1个单位，再将纵坐标扩大为原来的e倍, 故可得J = (X-I)-在区间(-也0)1,在区间(0,+) ,当X = O时，ymin=-l.如图3： (-2) =e2 (A-2)-2 =e2(-r-2),即将.f(x)向右平移2个单位，再将纵坐标扩

3、大为原来的F 倍，故可得 y(x-2) ex 在区间(-8,1)1,在区间(l,+o)T,当 x=l 时，ymin=-e.如图4： (x+l W (X+ 1)严=e% + l),即将.()向左平移1个单位，再将纵坐标缩小为原来的丄e 倍，故可得.y = (l)ev 在区间(-oo,-2)J,在区间(-2,+oo)T,当 x = -2 时，ynun= 考点2乘除导致凹凸反转同构函数 TOC o 1-5 h z 如图5： y = = .=-(-),即将/(x)关于原点对称后得到y =,故可得y =-在区间(-a), exexex在区间(l,+oo)J,当x = l时，=丄e如图6： y = l =

4、 i(一 1).7=一丄/(_(A一 ),即将/()关于原点对称后，向右移一个单位，再将纵坐 e ee标缩小丄倍，得到y = 1故可得y =- 在区间(-oo,2)T,在区间(2,+oo)当*2时，ymax=4 eeexe如图7: y= = - = -_L-(X0),属于分式函数，将关于原点对称后得到，故可得y = L在 X -川厂 /(X)/U)X区间(0.1)1,在区间(L+oc)T,当x = l时,ymia=e.如图& y = - = -i-=-丄 一 (x0),属于分式函数，将丄 关于原点对称后，左x + 16(-X-I)W打(_(卄1)f(x)移一个单位，再将纵坐标缩小丄倍，故可得y

5、 =- 在区间(-1,0)1 ,在区间(,+oo)T,当X = O时，ymin = I. e + 1考点3顺反同构函数XC lx如图 9： ln =elnx Inx = /(ln),当 InjVW(-oo,-1),即XW 0.当 In X (- L+),即如图io： =-Inx-*.Xh=-/(-Inx),实现了凹凸反转，原来最小值反转后变成了最大值，当 -InX(-X-1),即XW(G+oo)/,当一InXW(1,+8),即XW(O,e)T, ymax =-e如图 11： InA 1 = -ef(-Inex),当一nexe(-)9 即e(l+) I,当一IneX(-h+x),即X(OJ) T

6、OC o 1-5 h z XexI，max = 1 如图 12： !1J. =II=-ix2 当一i2 (-l),即 (Ve,+) i ,当一Inx2 (-L+cc),即A 2 f2 (,) , ymax =2e【例1】(2019凌源市一模)若函数f(x) = ex-UX2在区间(0.+oo)上有两个极值点召，x2(0 xleC a 2 2【例 2(2019广州一模)已知函数 f(x) = ex -OXr ,对任意片 0 , X2 0 ,都有(XI -XA)(x2)-/(x1)0 ,则实数的取值范羽是()领悟数学秒杀数学第五章导数 C0岭D- -1 1【例3】（2019荆州期末）A(YU)函数

7、/（x） = l + 的单调增区间为（）X XB. （OJ）C. (0D(l.+)【例4】（2019广州期末）函数f （） = lnxmx2有两个极值点，则实数加的取值范朗是（）A (0,1)B. (-oo,0)C. (II)D(0,+oo)【例5】（2019-深圳月考）InY已知函数 = -Jt1区间/,刃上有两个不同的零点，则实数&的取值范X围为（）A.c , 1【例6 （2019-陕西一模已知函数f（x） = - + k（lnx-x）,若x = 1是函数/（）的唯一极值点，则实数Ar的 X取值范围是（）B(一0O,f)A(-oo,wC（一匕+00）D一s + oo)【例7】（2019保山

8、一模）B. (-,-2w)C. (+)D. (2,+oo)【注意】关于y = xln.V与y =-均可以成为模型函数，也可以作为模板来进行同构.本专题之所以这样设计是让读者思考这一系列函数的同构效用，达到举一反三的目的。例题中我们会以y = 为模板进行求最 X常用的几个以/ X =xev为母函数的“亲戚函数J1.y = - =-InXl x, =lnrl ln,v1 =-/(-InX) X2.1 _ 1ZlInl-/(-Inx)X3.ey = -X4.Xy=7若函数/（X）=宀Enx有两个极值点，则的取值范围是（）学习数学 领悟数学 秒杀数学第五章导数 M 秒恳秘籍:第二讲同构式下的常见“同构

9、体系”考点1顺反同构【例S (2019.南康月考)已知函数f(x) = xbx ,广(X)为f(x)的导函数.令(X) = f,(x)-ax2,试讨论函数g(x)的单调区间：证明:f(x) +)t恒成立，求实数的取值范围.考点3局部同构【例12】(2019广东四校)已知函数/(x) = 0 -(x+lnx)0).当=e时，求函数f(x)的单调区间；讨论函数/(x)的零点个数.【例13】(2019淸远期末)已知函数/(j = + t(X-In%), aeRX当a = -e时，求/(a)的最小值；若/(x)有两个零点，求参数a的取值范囤.【例 14】(2019东城月考)已知函数 f(x) = x

10、el+i , g(x) = k nx + k(x + ).(1)求/()的单调区间；设MX) =/S)-g(r),其中kQt若W0恒成立，求R的取值范围.【例15】(2019全国模拟)已知函数f(x) = x2etu.讨论函数f(x)的单调性：已知函数eV) =/(x)-21nA -r,且函数g(x)的最小值恰好为1,求。的最小值.【例 16】(2019云南调研)已知函数 f(x)xex, (x) = (lnx + x) , aeR.已知T(XD，儿)为函数/(), l(A-)的公共点，且函数/(a), g(x)在点T处的切线方程相同，求“；若/(x)g(x)在1, +8)上恒成立,求的取值范

11、围.【例17】(2018石家庄模拟)已知函数f (x) = % + or In x(t R).讨论函数的单调性：若函数f(x) = x+axnx(aeR)存在极大值，且极大值为1,证明/()x2.考点4差一同构【例18 (2019-宜春月考)已知函数/(x) = +ZZU-I ,其中e是自然对数的底数.若m-e,求函数.f(x)的极值；若关于X的不等式/(x) + ln( + l)0在0, +)上恒成立,求实数加的取值范围.【例19 (2019-惠州月考)已知函数f(x)e(a-e)x-h的图像与曲线y = 在x = l处相切求实数d、方的值；证明：x0, /(x)xln( + l).学习数学

12、 领悟数学 秒杀数学第五章导数 卜彳学习数学领悟数学秒杀数学第五章导数 【例20】(2019衡水金卷)已知f(x) = lnx + x- F(X)= f(x) + -x2 F(A若2,求F(X)的单调区间：若g(Q = 一/W的最小值为M,求证Ml.【例 21】(2019佛山二模)已知函数 f(x) = ex + ln(x l)-v-cosx ,其中 aeR .若“1,证明：/(X)是定义域上的增函数：是否存在 ,使得/(J在X = O处取得极小值？说明理由.五零点问题同构 TOC o 1-5 h z 【例22】已知x。是方程2x2戶+ in = o的实根，则关于实数的判断正确的是.A x0

13、12B. x0 1C 2x + Inx0 =0D 2e +lnl =0e【例23】若关于X的方程3kbx = x3只有一个实数解，则R的取值范围是.【例24】已知方程x2lnx= 【例26】已知函数f(x) = x X-In-,关于兀的方程/(x) = t有四个不同的实根则实数取值范围是() U丿A. (0, 1)5Ir)B. (0,1)C. (1,1)D(0,1)达标训练1.(2019-武汉期末)已知函数/W=xlnx-心(为自然对数的底数)有两个极值点，则实数。的取值A. (0,1)B. (Le)C. (c丄)eee2. (2018荆州期末)函数 u)=l+-的单调增区间为()XXA. (

14、YC,1)B(OJ)C(V)范围是()D(YC疋)D. (l.+)3(2018-沈阳期末)函数/(x) = 在(Y)N)上单调递减，则实数加的最大值为()A1 -2C.4.已知兀是方程2aVt+Inx = O的实根，则关于实数x。的判断正确的是(A 012B. 0 -C. 2x0 + l =05.11知Ina=加严伽0)且心心恒成立,1 e 2 t +00B.丿则实数山的取值范围为(C. (If eJ)D 2e% +Inx0 =0)D. W，J6设心0,若存在正实数-使得不等式log2x-t-2fc0成立，则R的最大值为7设实数A0,若对任意的XW(O,+co),不等式_0恒成立，则Q的最小值

15、为2/1已知函数/(x) = ZH In(X+ l)-3x-3,若不等式f(x)mx-3ex在Xe(O, +00)上恒成立,则实数加的取值范围是(2019-眉山模拟)已知函数f(x = aex-2x-有两个零点，则的取值范囤是(2019南充模拟)已知函数f(x)ax-ln(-x)t x-e, 0),其中e为自然对数的底数.当 a = - 时，证明：/() + 22l x 2是否存在实数,使/Cr)的最小值为3,如果存在，求出“的值：如果不存在，请说明理由(2019厦门一模)已知函数 f(x)(x + a)ln(x + l)-ax .若“ =2,求/(X)的单调区间：若(0一2, -12x(-e

16、).(2019长春二模)已知函数f(x) = ex +bx-(beR).讨论y()的单调性：若方程f (X) = Inx有两个实数根，求实数b的取值范I羽.(2019唐山一模)已知函数 f(x) = ax- aeR.X若/(X)O.求d的取值范用：若y = /(x)的图象与y=相切，求的值(2019辽阳一模)已知函数f (X) = Xlnx若函数(X) = 2-l,求g(x)的极值；3证明:f(x) + 131.1O, eL 4.48 , e2 7.39)R彳学习数学领悟数学秒杀数学第五章导数 (2018房山期末)已知函数f(x)=. X(1)求函数/(x)的单调区间：(2)设实数k使得Irf

17、(Xx-X对xE(+oo)恒成立，求k的取值范围. 2(2018德州期末)已知函数/(x) = XeX -U(X + InX).当“ =2时，求函数/(X)的极小值；若f() O在xe , +)恒成立，求实数a的取值范围(2019东莞一模)已知函数 f(x) = xe +a(lnx + x)若求/(X)的单调区间：当a0时，设MX)=Vw-V(x)2恒成立,求的取值范围.(2019新疆模拟)已知函数f(x) = + a(bx-x)X当“ =0时，求y = f(x)在x = 2处的切线方程;当QO时,求/(X)的最小值.(2019肇庆三模)已知函数 f() = D=(*R), g(x) = e2x-2. X求T(X)的单调区间;若/(x)g(x)在(0、+OC)上成立，求的取值