高等数学课件：第1章 极限与连续整章

1、第二章 极限与连续第一节 数列的极限第二节 函数的极限第三节 极限运算法则、两个重要极限第四节 无穷小与无穷大第五节 函数的连续性第六节 闭区间上连续函数的性质第一节 数列的极限一、数列极限的概念二、数列极限的几何意义数列极限的性质三、小结正六边形的面积正十二边形的面积正 形的面积一、数列极限的概念例如注意：1.数列对应着数轴上一个点列.2.数列可看作自变量为正整数n的函数问题:当 无限增大时, 是否无限接近于某一确定的数值?如果是,如何确定?问题:如何用数学语言刻划“无限接近” ？如果数列没有极限,就说数列是发散的.注意：几何解释:其中数列极限的定义未给出求极限的方法.例1证所以,注意：例2

2、证所以,说明:常数列的极限等于同一常数.小结:用定义证数列极限存在时,关键是任意给定 寻找N,但不必要求最小的N.例3证1、唯一性定理1 如果数列收敛，则数列的极限只有一个.证由定义,故收敛数列极限唯一.二、数列极限的性质2、有界性例如,有界无界定理2 如果数列收敛，则数列一定有界.证由定义,注意：有界性是数列收敛的必要条件.推论 无界数列必定发散.注意：有界数列也可能发散3.收敛数列的保号性4、子数列的收敛性注意：例如，定理4 收敛数列的任一子数列也收敛且极限相同证证毕三、小结数列:研究其变化规律;数列极限:极限思想、精确定义、几何意义;收敛数列的性质:唯一性、有界性、保号性、子数列的收敛性

3、.第二节 函数的极限一、自变量趋向有限值时函数的极限二、自变量趋向无穷大时函数的极限三、函数极限的性质四、极限存在准则一、自变量趋向有限值时函数的极限1、定义：2、几何解释:注意：例1证例2证例3证函数在点x= -1处没有定义.3.单侧极限:例如,左极限右极限左右极限存在但不相等,例4证二、自变量趋向无穷大时函数的极限问题:如何用数学语言刻划函数“无限接近”.1、定义：2、另两种情形:3、几何解释:例5证三、函数极限的性质定理3 (函数极限的保号性)推论定理4(函数极限与数列极限的关系)证例6证二者不相等,四、极限存在准则证上面两个不等式同时成立,即上述数列极限存在准则可以推广到函数的极限。注

4、意:准则 I和准则 I称为夹逼准则.例1解由夹逼准则得2.单调有界准则单调增加单调减少单调数列几何解释:例2证(舍去)思考题思考题解答左极限存在,右极限存在,不存在.第三节 极限运算法则、两个重要极限一、极限运算法则二、例题三、两个重要极限1、无穷小的运算性质:定理1 在同一过程中,有限个无穷小的代数和仍是无穷小.证一、极限运算法则注意无穷多个无穷小的代数和未必是无穷小.定理2 有界函数与无穷小的乘积是无穷小.证推论1 在同一过程中,有极限的变量与无穷小的乘积是无穷小.推论2 常数与无穷小的乘积是无穷小.推论3 有限个无穷小的乘积也是无穷小.都是无穷小推论3可推广到任意个无穷小的乘积的情形。定

5、理3证由无穷小运算法则,得2.极限的四则运算推论1常数因子可以提到极限记号外面.推论2有界，意义：3.复合函数的极限运算法则二、例题例1解小结:解商的法则不能用由无穷小与无穷大的关系,得例2解例3(消去零因子法)例4解(无穷小因子分出法)小结:无穷小分出法:以分母中自变量的最高次幂除分子,分母,以分出无穷小,然后再求极限.例5解先变形再求极限.例6解左右极限存在且相等,例7解思考题 在某个过程中，若 有极限， 无极限，那么 是否有极限？为什么？思考题解答没有极限假设 有极限，有极限，由极限运算法则可知：必有极限，与已知矛盾，故假设错误三、两个重要极限(1)例3解(2)类似地,例4解例5解第四节

6、 无穷小与无穷大一、无穷小二、无穷小的比较与等价无穷小三、无穷大四、无穷小与无穷大的关系一、无穷小例如,注意（1）无穷小是变量,不能与很小的数混淆;（2）零是可以作为无穷小的唯一的数.证二、无穷小的比较等价无穷小例如, 由上面结果可看出，同时无穷小, 但是趋向于零的“快慢”程度却有不同.不可比.定义:例如，例1解证必要性充分性例2 因为常用等价无穷小:例3解定理(等价无穷小代换定理)证例4解例5解注意：只有极限式中的因子才可再求极限时作等价无穷小代换三、无穷大特殊情形：正无穷大，负无穷大注意（1）无穷大是变量,不能与很大的数混淆;（3）无穷大是一种特殊的无界变量,但是无界变量未必是无穷大.不是

7、无穷大无界，证四、无穷小与无穷大的关系定理2 在自变量的同一变化过程中,无穷大的倒数为无穷小;恒不为零的无穷小的倒数为无穷大.证意义 关于无穷大的讨论,都可转化为关于无穷小的讨论.第五节 函数的连续性一、函数的连续性二、函数的间断点及类型三、初等函数的连续性一、函数的连续性例1证由定义2知定理在区间上每一点都连续的函数,叫做在该区间上的连续函数,或者说函数在该区间上连续.连续函数的图形是一条连续而不间断的曲线.例如,例2证例3解右连续但不左连续 ,二、函数的间断点及类型可去间断点例4解注意 可去间断点只要改变或者补充间断处函数的定义, 则可使其变为连续点.在此例中, 跳跃间断点例5解跳跃间断点

8、与可去间断点统称为第一类间断点.第二类间断点例6解例7解三、初等函数的连续性定理1例如,1、四则运算的连续性例如,反三角函数在其定义域内皆连续.2、反函数与复合函数的连续性定理3意义1.极限符号可以与函数符号互换;例1解定理4注意定理4是定理3的特殊情况.例如,三角函数及反三角函数在它们的定义域内是连续的.3、初等函数的连续性 基本初等函数在定义域内是连续的.(均在其定义域内连续 ) 一切初等函数在其定义区间内都是连续的.定义区间是指包含在定义域内的区间.1. 初等函数仅在其定义区间内连续, 在其定义域内不一定连续;例如,这些孤立点的邻域内没有定义.在0点的邻域内没有定义.注意例3例4解解注意2. 初等函数求极限的方法代入法.第六节 闭区间上连续函数的性质一、有界性与最大值最小值定理二、零点存在定理与介值定理一、有界性与最大值和最小值定理例如,定理1(有界性与最大值最小值定理) 在闭区间上连续的函数在该区间上有界且一定能取得它的最大值和最小值