中考教育数学专题突破专题十一最短路径-造桥选址问题2

1、专题十一：最短路径造桥选址问题【导例引入】导例：如图1，已知正方形ABCD边长为3，点E在AB边上且BE=1，点P，Q分别是边BC，CD的动点（均不与极点重合），当四边形AEPQ的周长取最小值时，四边形AEPQ的面积是【方法引导】（1）如图，在直线l上找M、N两点（M在左），使得AM+MN+NB最小，且MN=d。方法：将点A向右平移d点N，将点N向左平移d个单位到A，作A对于直线l的对称点A，连结AB交直线l于个单位到M，点M、N即为所求，此时AM+MN+NB最小为AB。（2）如图，l1l2，l1，l2之间距离为d，在l1，l2分别找M、N两点，使得MNl1，且AM+MN+NB最小。方法：将点

2、A向下平移d个单位到A，连结AB交直线l2于点N，将点N向上平移d个单位到M，点M，N即为所求，AM+MN+NB的最小值为AB+d。3）如图，点P，Q在AOB内，分别在OA，OB上找点C，点D，使四边形PCDQ的周长最小.方法：分别作P，Q对于OA，OB的对称点P，Q,连结PQ分别交OA，OB与点C，D，则此时四边形PCDQ的周长最小实质为转变思想：1）化同侧为异侧（对称变换），2）平移定距离（平移变换），3）化折线为直线（两点之间线段最短）“将军饮马”问题主要利用结构对称图形解决求两条线段和差、三角形周长、四边形周长等一类最值问题，会与直线、角、三角形、四边形、圆、抛物线等图形联合，在最近几

3、年的中考和比赛中常常出现，并且大多以压轴题的形式出现。【例题精讲】种类一：两定点两动点形成最短路径型例1如图1，已知A(0,2)、B(6,4)，E(a，0)，F(a1,0)，求a为什么值时，四边形ABFE周长最小请说明原因【剖析】四边ABFE的四条边中，AB，EF的长度固定，只需AE+BF最小，则四边形周长将获得最小值，将B点向左平移一个单位长（EF的长度），获得点M，再作A对于x轴的对称A，连结AM，可得点E的地点，进而问题得解种类二：两定点必定角形成最短路径型例2如图，在POQ内部有两点M，N，MOPNOQ.(1)绘图并简要说明画法：在射线OP上取一点A，使点A到点M和点N的距离和最小；在

4、射线OQ上取一点B，使点B到点M和点N的距离和最小；(2)直接写出AMAN与BMBN的大小关系【剖析】分别作M对于射线OP的对称点M,点N对于射线OQ的对称点N，连结NM，连接MN，即可获得答案.【专题过关】1.如图，在四边形ABCD中，C=50，B=D=90，E，F分别是BC，DC上的点，当AEF的周长最小时，EAF的度数为.2.如图，正方形的ABCD的边长为6，E，F是对角线BD上的两个动点，且，EF=22,连结CE，CF，则CEF周长的最小值为3.在平面直角坐标系中，已知点A（-2，0），点B（0，4），点E（0，1），将AEO沿x轴向右平移获得AEO，连结AB，BE，则当AB+BE取最

5、小值时，点E的坐标为.4.直线l外有一点D，点D到直线l的距离为5，在ABC中，ABC=90，AB=6，tanCAB=，边AB在直线l上滑动，则四边形ABCD周长的最小值为.5如图，已知直线l1l2，l1、l2之间的距离为8，点P到直线l1的距离为6，点Q到直线l2的距离为4，PQ=4，在直线l1上有一动点A，直线l2上有一动点B，知足ABl2，且PA+AB+BQ最小，此时PA+BQ=6.如图，直线y5x5交x轴于点A，交y轴于点C，过A，C两点的二次函数yax24xc的图象交x轴于另一点B.(1)二次函数的分析式为；(2)连结BC，点N是线段BC上的动点，作NDx轴交二次函数的图象于点D，求

6、线段ND长度的最大值；(3)若点H为二次函数yax24xc图象的极点，点M(4，m)是该二次函数图象上一点，在x轴，y轴上分别找点F，E，使四边形HEFM的周长最小，求出点F,E的坐标7矩形OABC在直角坐标系中的地点如下图，A、C两点的坐标分别为A（6，0）、C（O，3），直线y=x与与BC边订交于点D1）求点D的坐标；2）若抛物线y=ax2+bx经过D、A两点，试确立此抛物线的分析式；3）在（2）中抛物线的对称轴能否存在点P，使四边形ABDP的周长最小，并求出最小值；如图，抛物线yx2bxc与x轴交于A，B两点，与y轴交于点C，点O为坐标原点，点D为抛物线的极点，点E在抛物线上，点F在x轴

7、上，四边形OCEF为矩形，且OF2，EF3.(1)求抛物线的分析式；(2)连结CB交EF于点M，连结AM交OC于点R，连结AC，求ACR的周长；(3)设G(4，5)在该抛物线上，P是y轴上一动点，过点P作PHEF于点H，连结AP，GH，问APPHHG能否有最小值假如有，求出点P的坐标；假如没有，请说明原因10.已知，如图，二次函数yax22ax3aa0的图象的极点为H，与x轴交于A、B两点（B在A点右边），点H、B对于直线l：y3对称.x33（1）求A，B两点坐标，并证明点A在直线l上；2）求二次函数分析式；3）过点B作直线BKAH交直线l于K点，M，N分别为直线AH和直线l上的两个动点，连结

8、HN，NM，MK，求HN+NM+MK和的最小值.10(备用).在平面直角坐标系中，已知抛物线yax2bxc经过点A(3,0)、B(0，3)、C(1，0)三点(1)求抛物线的分析式和它的极点坐标；(2)若点P、Q分别是抛物线的对称轴l上两动点，且纵坐标分别为m，m2，当四边形CBQP周长最小时，求出此时点P、Q的坐标以及四边形CBQP周长的最小值备用图答案：1.在四边形ABEF中，AB，EF为定值，求AEBF的最小值，先把这两条线段经过平移，使得两条线段有公共端点如图6-2，将线段BF向左平移两个单位，获得线段ME如图6-3，作点A对于x轴的对称点A，MA与x轴的交点E，知足AEME最小由AOE

9、BHF，得OEHF解方程a6(a2)，得a4OAHB2432(1)图略，点A，B即为所求画法：作点M对于射线OP的对称点M；连结MN交OP于点A；作点N对于射线OQ的对称点N；连结NM交OQ于点B.(2)AMANBMBN.【专题过关】.2.4522.3.（，1）.418.54PEl1于E交l2于F，在PF上截取PC=8，连结QC交l2于B，作BAl1于A，此时PA+AB+BQ最短作QDPF于DRtPQD中，D=90，PQ=4，PD=18，DQ=，AB=PC=8，ABPC，四边形ABCP是平行四边形，PA=BC，PA+BQ=CB+BQ=QC=46.(1)yx24x5；(2)如图，图点B是二次函数

10、的图象与x轴的交点，由二次函数的分析式为yx24x5得，点B的坐标B(5，0)，设直线BC分析式为ykxb，直线BC过点B(5，0)，C(0，5)，5kb0k15，解得，直线BC分析式为yx5，bb5设ND的长为d，N点的横坐标为n，则N点的坐标为(n，n5)，D点的坐标为(n，n24n5)，则d|n24n5(n5)|.由题意可知：n24n5n5，225n(n5225，当n5dn4n5(n5)n2)时，线段ND长度42的最大值是25；4（3）点M(4，m)在抛物线yx24x5上，m5，M(4，5)抛物线yx24x5(x2)29，极点坐标为H(2，9)，如图，作点H(2，9)对于y轴的对称点H1

11、，则点H1的坐标为H1(2，9)；作点M(4，5)对于x轴的对称点M1，则点M1的坐标为M1(4，5)，连结H1M1分别交x轴于点F，y轴于点E，H1M1HM的长度是四边形HEFM的最小周长，则点F，E即为所求的点图设直线H1M1的函数分析式为ymxn，直线H1M1过点H1(2，9)，M1(4，5)，792mnm3，y7x13.4m，解得5n1333n3当x0时，y13，即点E坐标为(0，13)；当y0时，x13，即点F坐标为(13，3377.故所求点F，E的坐标分别为(13，0)，(0，13)737（1）由题知，直线y=x与BC交于点D（x，3）y=3代入y=x中得，x=4，D（4，3）；（

12、2）抛物线y=ax2+bx经过D（4，3）、A（6，0）两点，x=4，y=3；x=6，y=0，分别代入y=ax2+bx中，得解得抛物线的分析式为y=x2+x；（3）如图1：作D（4，3）点对于对称轴x=3的对称点E（2，3），连结AE交对称轴于点P，直线AE的分析式为y=kx+b，图象经过点A，点E，得解得，直线AE的分析式为y=x+.当x=3时，y=3+，即P（3，）四边形ABDP周长的最小值=AB+DB+DP+AP=AB+DB+AE=3+2+=3+2+5=10.如图，抛物线yx2bxc与x轴交于点D为抛物线的极点，点E在抛物线上，点A，B两点，与y轴交于点C，点O为坐标原点，F在x轴上，四

13、边形OCEF为矩形，且OF2，EF3.(1)求抛物线的分析式；(2)连结CB交EF于点M，连结AM交OC于点R，连结AC，求ACR的周长；(3)设G(4，5)在该抛物线上，P是y轴上一动点，过点P作PHEF于点H，连结AP，GH，问APPHHG能否有最小值假如有，求出点P的坐标；假如没有，请说明原因解：(1)四边形OCEF为矩形，OF2，EF3，C点坐标为(0，3)，E点坐标为(2，3)将C、E点坐标代入抛物线分析式yx2bxc得：解得抛物线的分析式为：yx22x3；(2)由(1)得yx22x3，令y0，得x22x30.解得x11，x23.A(1，0)，B(3，0).AO1，CO3，在RtAO

14、C中，AC.COBO3，OBCOCB45.FMBF1.ROMF，RAOMAF，AROAMF.，即.解得RO.CROCOR3,AR，ACR的周长为：ACCRAR；（3）如解图，取OF中点A，连结AG交直线EF的延伸线于点H，过点H作HPy轴于点P，连结AP.图则当P在P处时，使APPHHG最小，A为OF中点，A坐标为(1，0).设直线AG的分析式为ykxa，将点G(4，5)，A(1，0)分别代入,得解得直线AG的分析式为：yx.令x2，得y，点H的坐标为(2，).切合题意的点P的坐标为(0，)（1）依题意，得ax2+2ax-3a=0（a0），解得x1=3，x2=1，B点在A点右边，A点坐标为（3

15、，0），B点坐标为（1，0）证明：直线l：y3x3，3当x=3时，y3（-3）30，点A在直线l上.3（2）点H、B对于过A点的直线l：y3x3对称，3AH=AB=4.过极点H作HCAB交AB于C点，则AC=AB=2，HC2.极点H(1，2)，代入二次函数分析式，解得a=-.二次函数分析式为y-3x2-3x+33；22（3）直线AH的分析式为y=3x33.直线BK的分析式为y=3x3，由y=3x3x=33，233，解得，即K，y=3x3y=23则BK=4，点H、B对于直线AK对称，K3，23，HN+MN的最小值是MB.过K作KDx轴于点D，作点K对于直线AH的对称点Q，连结QK，交直线AH于点E，KD=KE=23，则QM=MK，QE=EK=23，AEQK，依据两点之间线段最短得出BM+MK的最小值是BQ，即BQ的长是HN+NM+MK的最小值，BKAH，BKQ=HEQ=90.BK2QK2422由勾股定理得QB23238，HN+NM+MK的最小值为8.(备用)9.(1)将A，B，C的坐标代入函数分析式，得，解得抛物线的分析式为（2）如解图，将yx22x3(x1)24，即极点坐标为(1，4)；B点向下平移两个单位，得D点，连结AD交对称轴于点P，作BQPD交对称轴于Q点