历年高考数学真题精选32 二面角33 球

1、历年高考数学真题精选(按考试点分类)专题32二面角（学生版）1(20新课标)如图，长方体的底面是正方形，点在棱上,（1)证明:平面；（2）若,求二面角的正弦值(219新课标）图1是由矩形、和菱形组成的一个平面图形，其中，.将其沿,折起使得与重合,连结，如图2未经许可 请勿转载（1)证明：图2中的，四点共面，且平面平面；(2)求图2中的二面角的大小。3.（2019天津）如图,平面，,。（)求证:平面；(）求直线与平面所成角的正弦值;（）若二面角的余弦值为，求线段的长4。(2019北京）如图，在四棱锥中，平面,，,为的中点，点在上，且未经许可 请勿转载（）求证：平面;（）求二面角的余弦值；（）设点

2、在上，且判断直线是否在平面内,说明理由.（2019新课标）如图,直四棱柱的底面是菱形，,，分别是，的中点未经许可 请勿转载(1)证明:平面；(2）求二面角的正弦值.6（8新课标)如图,边长为2的正方形所在的平面与半圆弧所在平面垂直，是上异于,的点未经许可 请勿转载(1）证明：平面平面；（2）当三棱锥体积最大时，求面与面所成二面角的正弦值7(218新课标）如图,在三棱锥中，,，为的中点(1)证明:平面；（2）若点在棱上，且二面角为，求与平面所成角的正弦值.8.(20山东）如图,几何体是圆柱的一部分,它是由矩形（及其内部）以边所在直线为旋转轴旋转得到的,是的中点未经许可 请勿转载（)设是上的一点，

3、且，求的大小；（）当，时，求二面角的大小（2017新课标)如图，四棱锥中，侧面为等边三角形且垂直于底面,，是的中点未经许可 请勿转载（)证明:直线平面;（）点在棱上，且直线与底面所成角为，求二面角的余弦值1.(01新课标）如图，在四棱锥中,，且.(）证明：平面平面；（2）若,，求二面角的余弦值.1.（27新课标）如图，四面体中,是正三角形，是直角三角形，未经许可 请勿转载（)证明：平面平面；（2）过的平面交于点,若平面把四面体分成体积相等的两部分，求二面角的余弦值未经许可 请勿转载12.(2016浙江）如图,在三棱台中，已知平面平面，,，(）求证：平面；（）求二面角的余弦值。13.（26新课标

4、)如图，菱形的对角线与交于点，点，分别在,上，,交于于点,将沿折到的位置，未经许可 请勿转载(）证明：平面；(）求二面角的正弦值1.（216新课标）如图，在以，,，为顶点的五面体中,面为正方形,，且二面角与二面角都是未经许可 请勿转载（）证明平面平面；()求二面角的余弦值.历年高考数学真题精选(按考试点分类)专题32 二面角(教师版)1。（219新课标）如图,长方体的底面是正方形,点在棱上，（1)证明：平面;（2)若，求二面角的正弦值证明:（)长方体中，平面，平面解:（）以为坐标原点，建立如图所示的空间直角坐标系，设，平面，,则，1，,1,1,，0,，0，,面，故取平面的法向量为,0，,设平面

5、 的法向量，,，由,得，取，得，,，二面角的正弦值为。2（209新课标)图是由矩形、和菱形组成的一个平面图形，其中，将其沿，折起使得与重合,连结，如图.未经许可 请勿转载(1)证明：图2中的，四点共面,且平面平面；（2）求图中的二面角的大小.证明：（1）由已知得,，,确定一个平面，,，,四点共面，由已知得,面，平面，平面平面解:（2)作,垂足为,平面，平面平面，平面,由已知，菱形的边长为2,，,以为坐标原点,的方向为轴正方向,建立如图所求的空间直角坐标系，则，1，,，0,，0,，,0,，,，设平面的法向量，,则，取，得，6,，又平面的法向量为,1，,，二面角的大小为.(19天津）如图，平面，,

6、.（）求证：平面；(）求直线与平面所成角的正弦值;（）若二面角的余弦值为，求线段的长(）证明:以为坐标原点，分别以,，所在直线为，,轴建立空间直角坐标系，可得，0,，0，,，2，,1,0,设,则，2，。则是平面的法向量,又,可得又直线平面,平面；()解：依题意，,，设为平面的法向量,则，令，得.。直线与平面所成角的正弦值为；（）解：设为平面的法向量，则,取,可得，由题意，解得.经检验，符合题意。线段的长为.4。(219北京）如图，在四棱锥中，平面，,为的中点，点在上，且。未经许可 请勿转载（)求证：平面;（）求二面角的余弦值;(）设点在上,且.判断直线是否在平面内，说明理由。证明：（)平面，,

7、平面解：()以为原点，在平面内过作的平行线为轴，为轴，为轴，建立空间直角坐标系，0，,1，,，,0，平面的法向量,0,设平面的法向量，,则，取，得,1,，设二面角的平面角为，则。二面角的余弦值为（）直线在平面内,理由如下:点在上,且.，,，,平面的法向量,，,故直线在平面内5。（2019新课标)如图,直四棱柱的底面是菱形，,，,分别是,，的中点.未经许可 请勿转载(1)证明：平面；(）求二面角的正弦值.(1)证明：如图，过作，则，且,又,，四边形为平行四边形,则,由，为中点，得为中点，而为中点,，则四边形为平行四边形,则，平面,平面,平面；(2）解：以为坐标原点，以垂直于得直线为轴，以所在直线

8、为轴，以所在直线为轴建立空间直角坐标系，未经许可 请勿转载则，,1，,，,设平面的一个法向量为，由,取，得，又平面的一个法向量为,。二面角的正弦值为(28新课标）如图，边长为2的正方形所在的平面与半圆弧所在平面垂直，是上异于，的点未经许可 请勿转载（1)证明:平面平面;（2）当三棱锥体积最大时，求面与面所成二面角的正弦值。解:（1）证明：在半圆中，,正方形所在的平面与半圆弧所在平面垂直，平面，则，平面，平面，平面平面（2）的面积为定值，要使三棱锥体积最大，则三棱锥的高最大,此时为圆弧的中点，建立以为坐标原点,如图所示的空间直角坐标系如图正方形的边长为2，1，0，,则平面的法向量，0，设平面的法

9、向量为，则，2,，1，由，令,则，,即，,则，,则面与面所成二面角的正弦值7。（2018新课标)如图,在三棱锥中,，为的中点（1）证明：平面；（2)若点在棱上，且二面角为,求与平面所成角的正弦值.（1）证明:连接，,是的中点，且，又，,则，则，,平面；()建立以坐标原点，,，分别为,轴的空间直角坐标系如图:，,，0,，2,0,，2，设,，则，,，,，则平面的法向量为，0,，设平面的法向量为，则,，,则，令，则，,即,二面角为,即,解得或（舍,则平面的法向量，,2，,与平面所成角的正弦值，.8（201山东)如图，几何体是圆柱的一部分，它是由矩形(及其内部)以边所在直线为旋转轴旋转得到的，是的中点

10、未经许可 请勿转载（）设是上的一点，且，求的大小；(）当，时，求二面角的大小.解:(），,且，平面,，平面，又平面，,又，因此；（）解法一、取的中点,连接，四边形为菱形，取中点,连接，,则，,为所求二面角的平面角.又,.在中，由于,由余弦定理得：，因此为等边三角形,故所求的角为.解法二、以为坐标原点，分别以,，所在直线为,，轴建立空间直角坐标系由题意得：，0，0,，,，故,。设为平面的一个法向量，由,得,取,得;设为平面的一个法向量,由,可得,取，得二面角的大小为。(2017新课标）如图,四棱锥中,侧面为等边三角形且垂直于底面，,是的中点未经许可 请勿转载（1）证明：直线平面;(2）点在棱上,

11、且直线与底面所成角为，求二面角的余弦值(）证明：取的中点,连接,，因为是的中点,所以，,，是平行四边形，可得，平面，平面，直线平面；(2)解:四棱锥中,侧面为等边三角形且垂直于底面,是的中点取的中点，在底面上的射影在上,设，则,，,直线与底面所成角为,可得：，可得：,，作于，连接，,所以就是二面角的平面角，二面角的余弦值为:10。(207新课标）如图，在四棱锥中,且.（1)证明:平面平面;（2）若，,求二面角的余弦值（1）证明：,，,又,且平面,平面，平面,又平面,平面平面；（2）解：,四边形为平行四边形，由（）知平面，,则四边形为矩形,在中,由，可得为等腰直角三角形，设，则取中点，中点，连接

12、、，以为坐标原点,分别以、所在直线为、轴建立空间直角坐标系,则:,，0，。，,设平面的一个法向量为，由，得，取,得。平面，平面,，又，平面，则为平面的一个法向量，。由图可知,二面角为钝角，二面角的余弦值为11（21新课标)如图，四面体中，是正三角形，是直角三角形,未经许可 请勿转载（1）证明：平面平面；（）过的平面交于点,若平面把四面体分成体积相等的两部分，求二面角的余弦值。未经许可 请勿转载（)证明:如图所示,取的中点,连接，是等边三角形,。与中，,，.是直角三角形，是斜边，.又，平面又平面，平面平面.（2）解:设点,到平面的距离分别为,则平面把四面体分成体积相等的两部分，。点是的中点。建立

13、如图所示的空间直角坐标系.不妨取则，0,，,0,，0，0，,，.，0，,，设平面的法向量为，则，即，取.同理可得：平面的法向量为，1,二面角的余弦值为12（016浙江）如图，在三棱台中,已知平面平面，,，（）求证:平面；（)求二面角的余弦值.证明：延长，相交于点，如图所示，平面平面,平面,.又,，为等边三角形,且为的中点,则,平面.方法一：过点作，连接，平面。，则平面，是二面角的平面角.在中，,，可得.在中，,可得:.二面角的平面角的余弦值为.方法二：如图，延长,相交于点，则为等边三角形，取的中点,则，又平面平面，平面,以点为原点，分别以,的方向为，的正方向,建立空间直角坐标系.可得：，0,，

14、,0,，0，,，,，3,，,，。设平面的法向量为，,，平面的法向量为，由,可得，取。由,可得，取。二面角的余弦值为。13。（16新课标)如图,菱形的对角线与交于点，,点,分别在，上,交于于点，将沿折到的位置,未经许可 请勿转载（)证明：平面；（）求二面角的正弦值（）证明：是菱形，又,则,又由是菱形，得,则，,则,，,又，,则,，则,又,平面；(）解:以为坐标原点,建立如图所示空间直角坐标系，,，0，,，,，0,，,，设平面的一个法向量为，由，得，取,得,。同理可求得平面的一个法向量，设二面角二面角的平面角为，则。二面角的正弦值为.1(06新课标）如图，在以，,，,为顶点的五面体中,面为正方形，

15、且二面角与二面角都是未经许可 请勿转载（)证明平面平面；(）求二面角的余弦值（）证明：为正方形，平面,平面，平面平面；（）解：由,可得为二面角的平面角;由为正方形，平面，,平面即有，可得为二面角的平面角。可得.，平面，平面,平面,平面平面,平面,，四边形为等腰梯形以为原点，建立如图所示的坐标系,设，则，,，,，,，,，,，设平面的法向量为,则,则，取,，设平面的法向量为，,则,则，取，,。设二面角的大小为,则，则二面角的余弦值为历年高考数学真题精选(按考试点分类）专题33 球(学生版)一选择题(共9小题）（20新课标）已知三棱锥的四个顶点在球的球面上，是边长为2的正三角形，,分别是，的中点,，

16、则球的体积为未经许可 请勿转载AB.C2.(206新课标)体积为的正方体的顶点都在同一球面上，则该球面的表面积为 未经许可 请勿转载AB.CD。3.（05新课标）已知,是球的球面上两点,，为该球面上的动点，若三棱锥体积的最大值为36，则球的表面积为 未经许可 请勿转载ABC。D.4（2014陕西）已知底面边长为1,侧棱长为的正四棱柱的各顶点均在同一球面上,则该球的体积为 未经许可 请勿转载A.C.D5。(2014上海）若两个球的体积之比为，则它们的表面积之比为 AB.CD6（2013新课标)如图,有一个水平放置的透明无盖的正方体容器，容器高,将一个球放在容器口,再向容器注水，当球面恰好接触水面

17、时测得水深为，如不计容器的厚度，则球的体积为未经许可 请勿转载AC（2012新课标)平面截球的球面所得圆的半径为1,球心到平面的距离为，则此球的体积为 未经许可 请勿转载A.B.C.8.（2010全国新课标）设长方体的长、宽、高分别为、,其顶点都在一个球面上,则该球的表面积为 未经许可 请勿转载A。B.C。9（28全国卷）已知球的半径为2，相互垂直的两个平面分别截球面得两个圆，若两圆的公共弦长为2，则两圆的圆心距等于未经许可 请勿转载A1。CD.二.填空题（共9小题）（20全国)已知平面截球的球面所得圆的面积为，到的距离为3，则球的表面积为 .未经许可 请勿转载1（17新课标）已知三棱锥的所有

18、顶点都在球的球面上,是球的直径若平面平面，,三棱锥的体积为，则球的表面积为 .未经许可 请勿转载12.（01新课标)已知正四棱锥的体积为,底面边长为,则以为球心，为半径的球的表面积为 未经许可 请勿转载1。（2013新课标）已知是球的直径上一点,平面,为垂足，截球所得截面的面积为，则球的表面积为 .未经许可 请勿转载历年高考数学真题精选（按考试点分类）专题3 球（教师版）一选择题（共小题）1（2019新课标)已知三棱锥的四个顶点在球的球面上，,是边长为2的正三角形，分别是,的中点，则球的体积为未经许可 请勿转载ABC。D【答案:】D【解析】如图,由,是边长为2的正三角形,可知三棱锥为正三棱锥,

19、则顶点在底面的射影为底面三角形的中心，连接 并延长，交于,则，又,，可得平面,则，分别是，的中点，又，即，得平面,正三棱锥的三条侧棱两两互相垂直,把三棱锥补形为正方体，则正方体外接球即为三棱锥的外接球,其直径为.半径为，则球的体积为故选.2.（206新课标）体积为8的正方体的顶点都在同一球面上,则该球面的表面积为 未经许可 请勿转载A.D【答案：】A【解析】正方体体积为，可知其边长为2,正方体的体对角线为，即为球的直径，所以半径为，所以球的表面积为.故选：3.（5新课标）已知，是球的球面上两点,，为该球面上的动点，若三棱锥体积的最大值为36,则球的表面积为 未经许可 请勿转载B。D.【答案：】

20、C【解析】如图所示，当点位于垂直于面的直径端点时,三棱锥的体积最大，设球的半径为，此时，故,则球的表面积为，故选：。未经许可 请勿转载4。(214陕西)已知底面边长为1,侧棱长为的正四棱柱的各顶点均在同一球面上，则该球的体积为 未经许可 请勿转载B。C。D。【答案：】【解析】正四棱柱的底面边长为1，侧棱长为，正四棱柱体对角线的长为又正四棱柱的顶点在同一球面上，正四棱柱体对角线恰好是球的一条直径，得球半径根据球的体积公式，得此球的体积为.故选:.5.（14上海）若两个球的体积之比为,则它们的表面积之比为 A。B.C。D【答案：】B【解析】根据球的体积及表面积公式可知，两个球的体积之比等于半径之比

21、的立方，表面积的比等于半径之比的平方未经许可 请勿转载两个球的体积之比为两个球的半径之比为两个球的表面积的比为.（20新课标）如图，有一个水平放置的透明无盖的正方体容器，容器高，将一个球放在容器口,再向容器注水，当球面恰好接触水面时测得水深为，如不计容器的厚度，则球的体积为 未经许可 请勿转载A.BC。D.【答案:】A【解析】设正方体上底面所在平面截球得小圆,则圆心为正方体上底面正方形的中心如图设球的半径为，根据题意得球心到上底面的距离等于,而圆的半径为,由球的截面圆性质，得，解出，根据球的体积公式,该球的体积。故选：。7.（2012新课标）平面截球的球面所得圆的半径为1，球心到平面的距离为，则此球的体积为 未经许可 请勿转载.C。D【答案：】D【解析】因为平面截球的球面所得圆的半径为1，球心到平面的距离为，